一类随机互惠种群模型的渐近行为

赵爱民,赵晓丹,刘桂荣

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

在生态系统中,物种的互惠现象是非常普遍的。为此，国内外许多学者建立了不同的互惠种群模型,并利用微分方程定性理论分析了种群动力学行为[1-5]。

此外,种群的生存还受环境噪声的影响。因此，利用随机微分方程刻画种群动力学行为更符合实际[6-8]。为此，文献[9]建立了下列具有饱和项的随机互惠种群模型

(1)

并利用随机微分方程基本理论，研究了模型(1)的灭绝性与持久性。

另一方面，系统(1)只考虑了环境对内禀增长率施加随机干扰的情况。然而，在种群生态系统中，模型的各个参数，包括内禀增长率和种内竞争系数都会受到随机噪声的影响[10-12]。基于上述研究动态，本文考虑下列带有双参数扰动的随机互惠种群模型

(2)

1 全局正解的存在唯一性

P{τ∞≤T}>ε，

(3)

即存在n1≥n0，使得对所有的n≥n1，有P{τn≤T}≥ε.

(4)

其中

其中IΩn为Ωn的示性函数.从而

这是一个矛盾。从而，τ∞=∞a.s. 进而τe=∞a.s. 定理1得证。

2 灭绝性

在研究生态系统的性质中，灭绝性也是一个很重要的性质。接下来，我们考虑模型(2)的灭绝性。记:

证明 定义Lyapunov函数V:R+→R+为V(x1)=lnx1.利用It公式可得

(5)

对(5)式两边从0到t积分得

(6)

利用Borel-Cantelli引理，存在Ω0⊆Ω满足P(Ω0)=1 使得对任意ω∈Ω0，总存在整数T0=T0(ω)>0，当T≥T0，0≤t≤T时，有

(7)

把(7)代入(6)可得 lnx1(t)≤lnx1(0)+b1t+σ11B1(t)+2lnT. 因此

3 随机最终有界性

本节我们讨论种群的随机最终有界性。

(8)

对(8)两边同时从0到t积分并取期望得

4 数值仿真

Fig.1 Size of populationx1图1 种群x1的数量变化

Fig.2 Size of populationx2图2 种群x2的数量变化