劈裂步量子行走的平均手征位移和拓扑相

孙晓宇,李志坚

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

量子行走描述了一个粒子在分立的格点空间从初始态以一定的概率幅向相邻格点运动的动力学过程,它具有分离时间量子行走[1]和连续时间量子行走[2]两种形式,前者的传播方向由粒子的硬币态决定,后者则由不含时的哈密顿量描述。作为经典随机行走在量子力学上的推广,从一个格点开始演化的量子行走的概率分布不同于经典随机行走扩散而成的高斯分布,量子行走的位置标准偏差正比于时间,表现出弹道传输行为。因此,与经典随机行走相比,量子行走表现出许多不同且具有优势的动力学性质,例如,人们已经证明量子行走可以被用来实现量子搜索算法[3],可以作为量子信息理论中的通用计算原胞[4-5]等等。实验方面,在许多不同的物理系统中已经实现了量子行走,例如光学晶格中的超冷原子[6]、囚禁离子[7-8]、核磁共振[9]以及光子系统[10-11]等都可以实现量子行走。这些实验系统为利用量子行走模拟强关联多体量子系统提供了很好的平台[12]。

近年来,物理系统的拓扑相及其相关性质引起了人们的广泛研究[13],除了拓扑绝缘体和拓扑超导体少数天然材料外,在人工合成系统中也可实现类似的拓扑结构[10,14-17],其中利用分离时间量子行走实现拓扑相引起了人们的极大兴趣。一般定义的分离时间量子行走只具有一种非平庸的拓扑相,而劈裂步量子行走表现出更丰富的拓扑相结构,通过调节外部参数可以实现平庸与非平庸拓扑相之间的转变[17]。在劈裂步量子行走中,由于能量的周期性,通过选取不同的演化开始时间,系统的拓扑相可以用成对的拓扑不变量来表征,从而确定不同拓扑相的相边界处能量为0和π的束缚态的数目。量子行走系统会受到外界的干扰[18-19],然而在具有手征对称性的量子行走系统中,当引入不破坏手征对称性的微扰时,系统的拓扑性质具有鲁棒性[20]。本文推广劈裂步量子行走模型,通过Zak相公式证明了平均手征位移可以用来描述系统的拓扑相,进而得到劈裂步量子行走的拓扑相图,并讨论了当微扰存在时平均手征位移的鲁棒性。

1 劈裂步量子行走

一般定义的分离时间量子行走的一步演化由硬币算符Rθ和条件平移算符S相继作用于其量子态得到,即

|ψ(t)〉=U(θ)|ψ(t-1)〉,

(1)

U(θ)=S(ΙP⊗Rθ),

(2)

其中ΙP表示位置空间HP的单位算符,Rθ是硬币空间HC中的硬币算符,这里我们以硬币态的旋转为硬币操作,选取

(3)

条件平移算符S的定义为

〈x|⊗|↑〉〈↑|+|x-1〉〈x|⊗|↓〉〈↓|).

(4)

分离时间量子行走的态矢量|ψ(t)〉所处的希尔伯特空间是由位置希尔伯特空间HP和硬币希尔伯特空间HC构成的直积空间,条件平移算符S表明,系统的硬币态决定量子行走移动的方向,如果硬币态为|↑〉,位于格点x处的粒子向右平移一步到格点x+1,如果硬币态为|↓〉,则位于格点x处的粒子向左平移一步到格点x-1。

一般定义的劈裂步量子行走就是将(4)式定义的一步条件平移算符分为只有硬币态为|↑〉的粒子向右平移的算符T+和只有硬币态为|↓〉的粒子向左平移的算符T-两次操作,并在二者之间再应用一次硬币态的旋转操作方程(3),也就是一般定义的劈裂步量子行走的时间演化算符形式为

U(θ1,θ2)=T-(ΙP⊗Rθ1)T+(ΙP⊗Rθ2),

(5)

(6)

方程(5)和方程(6)比较,唯一的差别是在前者定义的量子行走中,每演化一步粒子移动到相邻格点,而在后者定义的量子行走中,每演化一步粒子移动到次近邻格点,但容易证明方程(6)实际上可以改写为

(7)

也就是(6)式定义的劈裂步量子行走可等价于由(2)式定义的分离时间量子行走时间演化算符U(θ2)和U(θ1)的连续两次操作。

2 劈裂步量子行走的平均手征位移

分离时间量子行走可以看作有效哈密顿量的闪频模拟器,其演化算符可以用有效哈密顿量Heff作为生成元构造,也就是有

(8)

(9)

相应地,有效哈密顿量在动量k空间表示为

(10)

其中

(11)

是布洛赫球上的单位矢量,表示系统在硬币空间的本征态的极化方向;σ0是二维单位矩阵,σ=(σx,σy,σz)是泡利矩阵;能量E满足色散关系

cosE=cos(2k)cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2.

(12)

从方程(11)中容易看出,矢量AΓ={cosθ2,0,sinθ2}垂直于n(k),也就是当动量k在布里渊区[-π,π]内变化时,n(k)绕AΓ且在垂直于AΓ过球心的平面内绕布洛赫球旋转。定义手征算符

Γ=AΓ·σ=cosθ2σx+sinθ2σz,

(13)

容易证明Γ满足Γ=Γ+=Γ-1且Γ-1H(k)Γ=-H(k),这说明劈裂步量子行走具有手征对称性。在具有手征对称性的系统中,系统的拓扑结构被手征对称性所保护,对于一维系统,我们可以利用Zak相计算绕数来表征系统的拓扑结构。Zak相γ由布洛赫球上的单位矢量n(k)定义为

(14)

相应的绕数ν为

(15)

表示当k在布里渊区变化时,单位矢量n(k)绕AΓ旋转的圈数。这样,可以通过Zak相求解绕数得到系统的拓扑相图。

除了绕数之外,我们解析地证明也可以用平均手征位移动力学描述劈裂步量子行走的拓扑相。考虑粒子初始局域在x=0格点,初态为|ψ0〉=|0〉⊗|φ0〉,其中|φ0〉为硬币态,则t时刻量子行走的平均位移为

(16)

作傅里叶变换,在动量空间中进一步表示为

(17)

相应地,平均手征位移C≡〈Γx(t)〉在动量空间中可表示为

(18)

上式的前一项与Zak相γ成正比,后一项是振荡项,在t→∞的极限下,振荡项为零。由此可见平均手征位移包含Zak相,且在长时间极限下正比于Zak相。平均手征位移可以作为动力学拓扑不变量来描述系统的拓扑相。另外值得注意的是,在动量空间求平均手征位移时并不需要给出硬币初始态的具体形式,平均手征位移与初态无关。

(19)

(20)

其中r,r′取值与方程(19)相同。由上式,类似方程(18)可以计算平均手征位移C1和C2,并重新定义

C(0)=C1+C2

C(π)=C1-C2.

(21)

这样就可以用成对的拓扑不变量(C(0),C(π))来描述系统的拓扑相结构,不同拓扑区域C(0)的差值和C(π)的差值分别对应不同拓扑相的相边界处能量为0和π束缚态各自的数目[17]。

Fig.1 Takingand different time stepst,(a),(b) and (c)show the mean chiral displacementC1,C2and topological invariantsC2(C(0),C(π)),respectively,as functions of the coin parameterθ1.In (c), orange and green solid lines are corresponding to topological invariantsC(0) andC(π) whent=7,while the dashed lines are analogue whenttends to ∞.(d) presents the variations of energy dispersion relation for different values ofθ1andθ2图(c)中橙色和绿色实线(虚线)分别表示演化步数t=7(t=∞)对应的拓扑不变量C(0)和C(π)；图(d)给出选取不同的θ1和θ2时，能量随动量变化的色散关系曲线。图1 选取和不同的时间演化步数t=7、∞，图(a)、(b)和(c)分别给出平均手征位移C1、C2和拓扑不变量(C(0),C(π))随硬币参数θ1的变化曲线

3 平均手征位移的鲁棒性

(22)

(a) is the dynamical perturbation case; (b) is the static perturbation case.Fig.2 Takingandthe dashed lines are the mean chiral displacement as functions of the time stepst.The blue and red line are corresponding toandAs a comparison, the solid lines give the ideal cases ofΔ=0. As a reference,dotted lines represent the expected result fort→∞.(a)动态微扰；(b)静态微扰。图2 选取和蓝虚线和红虚线分别给出当和时，平均手征位移在微扰下随时间 的变化曲线。蓝实线和红实线对应Δ=0的理想情况。作为参考，图中点线给出t→∞时的预期理论值。

4 结论