幂指数型非线性浓度梯度芯片设计及性能分析

姜云峰 张思祥 孟冀豫 王哲 李姗姗

摘要 微流体浓度梯度的生成与微通道结构及实验流体流量比例密切相关。本文通过对比传统与新型浓度梯度生成芯片的方法与特点，根据微流体的流动及传质扩散特性，采用被动混合原理设计了一种可在通道不同位置处生成不同浓度梯度的蛇形结构微通道芯片。建立了基于有限元的多物理场耦合模型，通过调整入口微流体流量比及扩散系数，得到流道内浓度分布结果，设计制作了带有蛇形微通道的PDMS微流控芯片并进行实验。两相流体分别选用去离子水和红色染料，实验流体在入口处总流量为10 μL/min。通过分析微通道出口处流体浓度的分布规律，验证了该装置的可靠性。

关 键 词 浓度梯度；有限元法；蛇形微通道；多物理场耦合；微流控芯片

中图分类号 O651 文献标志码 A

0 引言

一般情况下，特征尺寸大于1 000 μm的尺度称为常规尺度，介于1 ～ 1 000 μm之间的尺度称为微尺度[1-3]。相比常规尺度流体，微流体存在着尺度效应，其流动特性受流体流量、粘度、扩散系数及微通道尺寸、结构等多种因素影响[4-5]。微流体浓度梯度芯片技术的进步，对医学、化学、生物及相关学科的发展具有积极的促进作用。

传统浓度梯度生成装置存在一定不足，主要体现在效率低、精准性差、易产生误差等方面[6-8]。如利用吸管尖端或凝胶储集物生成溶液浓度梯度的方法费时费力，效率较低。实际中的药物筛选、趋化分析和毒性评价中往往需要大量不同浓度的样本溶液，而且诸如疾病诊断、精准医疗和药品检测等过程更需要精准的浓度梯度，这些都是传统生成浓度梯度方式难以克服的，并且在实验与应用过程中，传统方法容易产生误差，如在样品转移过程中，或者在吸管或器皿中有残留的溶液等都会产生误差。此外，传统方法产生的浓度梯度空间分辨率不高，难以控制梯度[9-10]。

微流体浓度梯度芯片较传统装置而言具有很强的优越性，比如：浓度梯度芯片的微通道尺度与单元尺度匹配度在几微米左右，且多维通道的网络环境相对独立；微通道的传质传热速度快、效率高，能满足高通量分析要求；微流体浓度梯度生成平台的多个操作单元可以进行灵活组合或集成，具有并行处理大量试验的能力等，因此被广泛用于药物筛选、趋化分析和毒性评价等领域。

目前，新型微流体浓度梯度生成芯片种类很多，包括纸基通道型[11-13]、基质吸附型[14-18]、液滴型[19-20]、时间演化型[21]、流阻型[22-23]以及圣诞树型[24-29]等。这些微流体芯片具有动态可控性，且可生成较精准的时空浓度梯度，但通常芯片结构设计较为复杂。本文利用蛇形微通道作为基础单元进行研究，具有结构简单，加工方便等特点。流体流经微通道时由于蛇形结构特性使得流体不停被动转换方向，不同浓度流体交界面处扩散加速，形成浓度梯度条带。通过改变入口流体的流量比例，可得到微通道不同位置处的浓度梯度条带。此外，通过改变流体扩散系数可使流体达到均一浓度时流经的微通道长度变短，由此说明仿真时可通过改变流体扩散系数实现复杂模型的简化，为复杂仿真简单化奠定了基础。

1 蛇形微通道浓度梯度生成的数学模型建立

1.1 雷诺数方程

对于微尺度流体的理论研究是基于微流体力学的基本理论，本文研究的是微流体在层流状态下通过流体扩散形成浓度梯度。要生成期望的浓度梯度，必须根据微流体动力学基本方程的原理对流体流动进行精确操控。

[Re=ρudη]， （1）

式（1）为雷诺数（Reynolds number）表达式。式中：ρ代表流体密度；[u]代表的是速度矢量；d为特征长度；η代表动力学黏度。雷诺数是描述微流体流动的无量纲参数，是流体惯性力与黏性力的比。当Re<2 000时，粘性力影响远大于惯性力，流体处于比较稳定的层流状态。一般来说，根据雷诺数公式估算可知微米尺度下流体的雷诺数约为10-2数量级，故其为层流状态。

1.2 連续方程

本文实验流体为具有一定速度的连续流体，当微流体稳定、连续不断地流过微通道时，由于通道中任意流体不能中断和堆积，所以，依据流体力学质量守恒定律，同一时间内，通过微通道任一截面微流体的质量相等，流场中任意一点的密度满足连续性方程

[∂ρ∂t+∇·（ρu）=0]。 （2）

当流体为定常流动的不可压缩流体时， ∂/∂t=0，流体密度ρ可认为恒定，此时式（2）可简化为

[∇·u=0]。 （3）

1.3 控制方程

假定实验流体为不可压缩的牛顿流体，根据动量守恒原理， 可导出流场中黏度与密度为常数的黏性不可压缩流体的运动方程，即纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），简称N-S方程。

[∂u∂t+（u·∇）u=1ρ（-∇p+η∇2u）+fv]， （4）

式中：p代表压力；[∇]代表拉普拉斯算子；[fv]代表单位质量流体的体积力。

N-S方程描述了真实流体的动力学基本规律，在流体力学中具有重要意义。理论上讲，若初始条件和边界条件确定，N-S方程组基本可以确定流体的流动。

1.4 传质方程

微流体在传输过程中通过扩散传质生成了浓度梯度，在实际的研究与应用中，大部分扩散都是非稳态扩散，其特点是扩散过程中，微元浓度和扩散通量均随时间变化而变化，并且通过各处的扩散通量随着距离改变而改变，对于这类扩散可应用菲克第二定律描述：

[∂c∂t=∂∂x（D∂c∂x）]， （5）

式中，c代表物质的浓度D代表扩散系数。对于流动中的流体，除了要考虑扩散传输特性外，还要考虑对流对其浓度分布的影响。这时，需要在菲克第二定律的方程中加上对流项，可得到式（8）的对流-扩散方程

[∂c∂t+u·∇c=D∇2c]。 （6）

方程中等号左边第2项为对流项，等号右边为扩散项。该方程描述的是微流体在流动过程中的传质规律，通过对方程求解可得微流体的浓度分布。当微流体受多个物理场影响时，可用有限元法（FEM）进行多物理场耦合求解。

2 蛇形微通道浓度梯度生成的物理模型建立

2.1 几何模型建立及网格划分

设置浓度梯度生成芯片的微通道高度为40 μm，宽度为100 μm，微通道总长度为2 mm。由于微通道的横纵比较大，故可将其简化为忽略高度的二维模型来进行仿真计算，其几何模型的网格划分如图1所示。使用基于有限元理论的Comsol Multiphysics 5.3 仿真软件进行数值模拟，通过求解多个耦合方程组得到最终结果的初始数据，之后进行数据处理。选用自由三角形网格对蛇形微通道的几何模型进行网格划分，其求解精度严重依赖于网格划分数目的多少。理论上，网格划分越密集求解精度越高，但网格数目过多则会增加计算时间并且耗费计算机大量内存。为平衡计算精度与计算时间的关系，本文芯片结构在微通道转折处网格设置较密，如图 1 所示，通过优化计算，此处选定网格数目为20 608个。

2.2 仿真参数设置

仿真实验中微通道结构以及流体性能都依赖于几何与物理参数的设置。参数设置支持常量或变量，通过对参数的调节可实现几何模型的结构改变，亦能改变实验样品的特性。本文采用不同浓度的水溶液作为实验流体，实验所需各参数设置如表1所示。

2.3 边界条件及控制方程

仿真选用层流模块模拟实验流体在微通道中的流动；稀物质传输模块模拟流体的扩散和对流。每个模块中均需要设置边界条件和控制方程来模拟流体实际流动状况。边界条件的设置如图2所示。

1）流场：Navier-Srokes（N-S） 方程

由第1节理论分析可知，低雷诺数流体流动过程中粘性力起主要作用，控制微流体运动的N-S 方程可表示为式（4）。

流体流动边界条件设置为：

①入口总流量为1 μL/min。

②出口处抑制回流，满足

[n.[-pI+η∇u+∇uT]=0]。 （7）

③微通道其余壁面流速边界条件为u = 0，无滑移。

④出口处压力满足p = 0。

2）稀物质传输：对流扩散方程

不同浓度流体流动过程中分子及离子会出现对流扩散现象，导致不同浓度流体混合，其原理可用式（8）表示。

微通道中物质浓度边界条件可设置为：

①入口处流体浓度分别为0 μmol/L和c0 = 1 μmol/L 。

②出口处浓度满足

[-n∙D∇c=0]。 （8）

③其余边界浓度表达式为

[n∙D∇c+uc=0]。 （9）

仿真中所采用主要参数如表1所示。

设置入口处流体总流量保持恒定，且2相不同浓度流体流量比可调，微通道正中心为浓度观察参考线，由此观察不同浓度梯度的生成。

3 实验材料与方法

3.1 实验试剂与仪器设备

实验试剂：去离子水；红墨水；PDMS聚合物和固化剂，美国DOW CORNING公司；异丙醇，天津市博迪化工股份有限公司；硅烷偶联剂，天津市风船化学试剂科技有限公司等。

实验仪器设备：光学显微镜，日本尼康公司，型号E100；机械注射泵，保定兰格恒流泵有限公司，型号LSP02-1B；等离子机，普特勒电气科技有限公司，型号PDC-MG；真空泵，浙江飞越机电有限公司，型号FY-1H-N；真空釜，上海三爱思试剂有限公司；电子天平，上海市双旭电子有限公司，型号YP3002；载玻片；注射器；镊子；手套；平头针头；四氟管；纸杯；胶带等。

3.2 浓度梯度生成的蛇形微通道制作与封装

依照仿真实验参数进行微通道结构设计，如图3a）所示，通道包含2个入口A和B，和一个出口C。2相流体由入口进入，经过蛇形微通道后，由出口C流出。带有微通道图案的芯片由PDMS澆注而成，所需模板由大连拓微芯片科技有限公司加工制作。微通道图案由AutoCAD绘图软件按尺寸参数绘制，定制了微通道形状的玻璃阳膜，阳膜高度为30 μm。实验时，将玻璃阳膜置于真空釜中进行硅烷化处理，之后将PDMS前聚物与固化剂以10：1的比例混合均匀并浇铸于玻璃阳膜上，保持80 ℃固化1 h成型，脱模后可得到PDMS微通道结构。将加工好的PDMS微通道入口和出口处打孔，带图案一面朝上与玻璃基底一起置于等离子键合机中进行氧等离子处理，约2 min后取出，并在1 min内键合，最后将芯片置于80 ℃加热台加热10 min，加强键合效果。封装之后的芯片实物图如图3a）所示。

3.3 实验平台搭建与芯片性能测试

如图3b）所示搭建实验平台，2台机械注射泵分别泵送缓冲液以及红墨水至微通道中，2只注射器分别固定在注射泵上，针头连接四氟管，四氟管另一端插入PDMS芯片预先打好的孔中，实现流体的注入。出口处接另一根四氟管将废液倒出置纸杯中，芯片置于显微镜上实时观察实验现象。通过调节2台注射泵可控制微通道内缓冲液以及红墨水的进样流量比，当两股流体流经蛇形微通道时，可形成不同浓度梯度。实验中，计算机与显微镜的CCD相机相连，进行实验结果（照片与视频）的记录。图3c）为本实验平台的结构框图。

4 结果与讨论

4.1 流场分布与流动过程分析

流体流动与传质相互耦合，流速是影响浓度梯度生成的重要指标。微通道内流体流速主要是给定入口处流体初始速度的体现，流体流量比为最简单的1∶1时，可对流速进行定性分析，假定微通道为理想的壁面光滑模型，微流体在通道内流动方向以及流动状态可由图4a）表示，蓝色线条表示流动形式，箭头表示流动方向，如图可以看出，流线分布均匀，故流体流动为层流状态，经过微通道后流动形式并无改变，符合层流仿真模块设定。云图4b）表示流体在微通道内流速大小分布，由图可知，流速在流道中呈现边缘低中间高的状态，原因在于流场边界条件③导致流体流速降低。此外，微通道各级处流速大小均保持了良好的一致性。

4.2 浓度场的分布与浓度梯度分析

本文研究目的旨在生成不同浓度梯度，为验证微通道结构以及物理参数设计的合理性，流体流量比为最简单的1：1时，对微通道内的浓度进行定性分析。蛇形微通道结构中流体生成浓度梯度主要靠分子扩散，扩散时间可用下式表示：

[t=l22D]， （10）

式中：l为扩散长度；D为流体扩散系数。当2相流体流量比为1∶1时，扩散长度l =Wch/2。此时，微通道宽度一定，扩散时间仅与流体扩散系数相关。设定两相流体扩散系数均为1×10-9 m2/s，微通道入口处2种流体的浓度分别为：缓冲液（buffer）浓度0 μmol/L，目标液体（dye） 浓度1 μmol/L。图5为两相流体以1∶1的流速比在微通道内混合后的浓度场分布与浓度梯度分布。彩色云图5a）表示流体在微通道内浓度分布，蓝色为低浓度，红色为高浓度，如图所示，流体可在微通道不同位置处生成不同浓度梯度，流体经过蛇形微通道后，达到完全混合的平衡状态。图5b）显示了微通道内各级浓度梯度的变化，红色表示梯度高，蓝色表示梯度低，箭头表示梯度的方向。由图可知：入口处梯度最高，梯度随单元匝数增加逐级递减，梯度大小可由彩色云图定性观察出来，微通道最后一级处梯度为0，表明流体达到了完全稳定的平衡状态，即充分混合。

4.3 浓度梯度生成的影响因素

在微通道几何模型结构一定的情况下，浓度梯度的生成还受许多物理因素影响。本文根据式（12）重点研究微通道入口处2种不同浓度流体的流量比以及扩散系数对浓度梯度生成的影响。入口处缓冲液流量用Qb表示，总流量用Q表示且保持恒定（1 μL/min），则目标液体的流量为Qd = 1 - Q b。改变Qb与Q的比值，设置流量矩阵Qb /Q = [0.1，0.25，0.5，0.75，0.9]，观察微通道不同级处浓度梯度分布。当扩散系数为1×10-10 m2/s时，如图6a） 所示，提取浓度观察线处的微通道各级浓度分布数值，绘制归一化位置与浓度曲线，改变流量比可得到不同浓度梯度的分布，浓度梯度变化率随微通道匝数增加而逐级递减，流体约在第11级处达到完全混合的平衡状态。

当Qb /Q较小时，出口处最终浓度接近于目标溶液浓度，当Qb /Q较大时，最终浓度接近于缓冲溶液浓度。特别当Qb /Q = 0.5时，经过蛇形微通道后，2相不同浓度流体逐渐混合均匀，达到0.5 μmol/L，可证明此蛇形微通道设计的合理性。为得到不同浓度梯度分布以及分析扩散系数对浓度梯度的影响，改变流体的扩散系数进行仿真模拟，分别增大扩散系数为1×10-9 m2/s和减小为1×10-11 m2/s，结果如图6b）、c）所示，当增大扩散系数时，流体达到平衡状态的时间缩短，且生成的浓度梯度更为均一；减小扩散系数时，流体需经过更长距离的微通道才能达到稳定状态。另外，无论流体扩散系数大小，流体均以相同的流动趋势进行混合，直至达到平衡。由此可见，增大流体的扩散系数可实现微通道结构简化，达到低扩散系数流体在复杂微通道中流动的相同效果。

4.4 實验结果分析

实验选定的两相流体分别由2台机械注射泵以确定的流量泵送至微通道中，由于注射泵固有精度的限制，流量调至1 μL/min时误差较大，故实验时入口总流量设定为10 μL/min。流量增大，流体流经微通道至出口所需的时间变短，因此，流体需要经过更长距离才可充分扩散。调节两相流体流量比，使缓冲液（去离子水）的流量占比满足流量矩阵Qb /Q = [0.1，0.25，0.5，0.75，0.9]，光学显微镜下微通道入口以及出口处缓冲液（去离子水）与目标液体（红墨水）在微通道中的分布如图7a）所示，由于拍摄图片为二维模式，两相流体流量比例直观地表现为各自在微通道中的宽度占比。两相流体经蛇形微通道混合后，在出口处分布形式如图7a）所示，由图可观察到，流体在出口处未达到完全混合状态，此时分析出口处的浓度梯度，相当于截取流体达到完全混合前的某一时间的浓度梯度分布情况。两相流体流量比不同时，可在出口处得到不同形式的浓度梯度条带。

为定量分析出口处浓度梯度的分布规律，选取微通道出口处100 μm×100 μm的部分图像用Matlab软件进行灰度化处理，灰度图像如图7b）所示，提取所选部分图像的中间位置为灰度值观察线，定量计算图像的灰度值。令缓冲液所表示的白色灰度为0（匹配浓度0 μmol/L），目标液体所表示的红色灰度值为1（匹配浓度1 μmol/L），由此可归一化不同浓度的数值。如图7b）所示，点图为不同流量比下灰度观察线处归一化位置与归一化浓度的关系，归一化位置坐标方向由图中蓝色箭头表示。选取拟合函数y=xb用Matlab软件对20个灰度值点进行曲线拟合，由图7b）所示，所选函数能较好拟合散点灰度值，当Qb/Q分别等于0.1，0.25，0.5，0.75，0.9时，函数中指数b分为为0.41，0.67，1.03，1.95，7.19，分别对应由上到下的5条曲线。

5 结论

本文基于流体对流扩散原理分析了蛇形微通道中微流体浓度梯度的生成，得到了微通道不同位置处生成的不同形式浓度梯度带。量化的微流体浓度梯度带可通过增减微通道匝数在出口处提取出来。另外，采用改变入口实验流体（缓冲液和目标溶液）流量比的方法得到不同浓度梯度序列。改变流体扩散系数进行仿真模拟，证明了无论扩散系数大小，流体最终都会以相同的变化趋势趋于平衡。因此，可通过改变流体扩散系数的方法来实现仿真模型的简化。通过实验，对微通道出口处浓度梯度进行定量分析，证明了浓度梯度分布符合指数函数y =xb的曲线分布，因此，该芯片可用于非线性浓度梯度的生成。

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[責任编辑 杨 屹]