非对称的Lp-径向差体

齐继兵

(1. 上海大学理学院, 上海200444; 2. 合肥师范学院数学与统计学院, 合肥230601)

1 已有结果

近几年, 非对称的Lp-Brunn-Minkowski 理论是凸几何理论的一个新的而且发展迅速的方向[1-16]. 本工作给出了文献[14]的对偶结果, 研究了关于星体的非对称Lp-径向差体的一些性质, 建立了关于非对称的Lp-径向差体的均值积分的几何不等式. 作为其特例, 得到非对称Lp-径向差体体积的一些不等式.

设φn为n 维欧氏空间Rn中全体星体(关于原点)的集合, 关于原点对称的星体的全体记为φns. 设K ∈φn, 其径向函数定义[17]为

对于两个星体K,L, 如果存在一常数λ ＞0, 使得它们的径向函数满足ρ(K,·) = λρ(L,·),则称这两个星体相互膨胀. 设K,L ∈φn,p ≥1,λ,µ≥0 不全为0, Lp-径向线性组合λ·L ∈φn定义[17]为

式中, λ·K =λp1K. 特别地, 当p=n-1 时, λ··L ∈φn称为径向Blaschke 线性组合[18]; 当p ≤-1 时, λ·µ·L ∈φn称为调和-p 组合[19].

设K ∈φn,p ≥1,τ ∈[-1,1], 引出Lp- 径向差体K 与非对称的Lp-径向差体定义为

这里

设K ∈φn, K 的第i 个对偶均值积分定义[17]为

式中, S(·)为通常的球面Lebesgue 测度.

在φn中, 星体K的一种对偶被称为星对偶, 定义[20]为

本工作的主要目标是研究关于星体的非对称径向差体及其星对偶的对偶均值积分的极值问题. 进一步地, 本工作给出了关于星体的对偶Blaschke-Santal´o 型不等式.

定理1 设K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 则有

如果K 不关于原点中心对称, 则左边不等式等号成立当且仅当τ =0; 右边不等式等号成立当且仅当τ =±1. 如果K 关于原点中心对称, 则式(9)中的两个不等式是恒等式.

推论1 设K ∈φn, τ ∈[-1,1], p ≥1, 则有

如果K 不关于原点中心对称, 则左边不等式等号成立当且仅当τ =0; 右边不等式等号成立当且仅当τ =±1. 如果K 关于原点中心对称, 则式(10)中的两个不等式是恒等式.

定理2 设K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 则有如果K 不关于原点中心对称, 则左边不等式等号成立当且仅当τ =0; 右边不等式等号成立当且仅当τ =±1. 如果K 关于原点中心对称, 则式(11)中的两个不等式是恒等式.

在定理2 中取i=0, 可得到如下推论.

推论2 设K ∈φn, τ ∈[-1,1], p ≥1, 则有

如果K 不关于原点中心对称, 则左边不等式等号成立当且仅当τ =0; 右边不等式等号成立当且仅当τ =±1. 如果K 关于原点中心对称, 则式(12)中的两个不等式是恒等式.

设ωn为欧氏空间Rn中单位球的体积, 则可获得如下关于星体的非对称Lp径向差体的对偶均值积分的对偶Blaschke-Santal´o 型不等式.

定理3 设K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 则有

等号成立当且仅当K 为球心在原点的球.

推论3 设K ∈φn,τ ∈[-1,1], p ≥1, 则有

等号成立当且仅当K 为球心在原点的球.

2 准备工作

设K,L ∈φn,p ≥1,λ ≥0,µ≥0(不全为0), 调和p-组合λ··L定义[17,19]为

设Q,K,L ∈φn,p ≥1,λ ≥0,µ≥0(不全为0), 结合式(13)和(14), 有

引理1[21]如果K,L ∈φn,p ≥1,λ,µ＞0, 0 ≤i ＜n, 那么

式(16)和(17)等号成立当且仅当K 和L 互为膨胀.

引理2[22]若K,L ∈φn,p ≥1,λ,µ＞0, 0 ≤i ≤n-1, 则等号成立当且仅当K 和L 互为膨胀.

根据Cauchy-Schwartz 不等式以及式(7)和(8)容易得到下面的引理.

引理3 设K ∈φn,0 ≤i ＜n, 则

等号成立当且仅当K 是中心在原点的球.

3 非对称Lp-径向差体的一些性质

为了证明主要结果, 本工作给出了关于非对称Lp-径向差体的一些性质.

定理4 设K ∈φn, τ ∈[-1,1],p ≥1,φ 为非退化的线性变换, 有

若τ /=0, 则

证明 设u ∈Sn-1, 由式(1), (2)和(4), 可得

式(20)得证. 根据式(5), (8)和(9), 有

根据定理4, 容易得到下面3 个推论.

推论4 设τ ∈[-1,1], p ≥1,K ∈φn, 但

推论5 设K ∈φns,τ ∈[-1,1], p ≥1, 则

推论6 设K,L ∈φns,τ ∈[-1,1], p ≥1, 则

4 主要结果的证明

4.1 定理1 的证明

设K ∈φn, τ ∈[-1,1],p ≥1,0 ≤i ≤n-1. 根据式(4)和(18), 可得

根据式(2)和(4), 对于任意的u ∈Sn-1, 有

由式(6), 有

即

所以

4.2 定理2 的证明

设K ∈φn, u ∈Sn-1, 由式(1)和(11), 有

因此

对于τ ∈[-1,1], p ≥1, 由式(4), (8), (13)和(23), 得到

所以

对于0 ≤i ≤n-1, 结合式(17)和(25), 得到

等号成立当且仅当f1(τ)f2(τ)=0 或Ko和-Ko互为膨胀. 如果f1(τ)f2(τ)=0,则τ =±1.如果Ko和-Ko互为膨胀, 有Ko=-Ko, 根据式(8)和(23), 也就是说K =-K. 再根据推论5, 若K = -K, 则对于任意的因此不等式组(11)右边的不等式得证.

根据式(7), 得到

对于τ ∈[-1,1], 利用文献[4, 14]的证明技巧, 计算函数关于τ 的导数.根据式(14), (24) 和(27), 有

这里

由式(28), 等价于

根据式(23)和(25), 有

根据式(16), 得到

因为p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 所以

结合式(31)和(32), 得到

根据式(13), (30)和(33), 对于任意的u ∈Sn-1, 有

如果ρ(Ko,u)-p= ρ(-Ko,u)-p对于任意的u ∈Sn-1成立, 根据式(8)和(23), 这等价于K =-K. 再根据推论5, 如果K =-K, 得到

因此式(11)左边的不等式得证.

根据式(11), (26)和(34)可知, 如果K 不关于原点中心对称, 则式(11) 左边的不等式等号成立当且仅当τ = 0, 右边的不等式等号成立当且仅当τ = ±1. 如果K ∈φns，即K 关于原点中心对称, 则式(11)中左右两个不等式是恒等式. 综上，定理2 得证.

4.3 定理3 的证明

设K ∈φn, τ ∈[-1,1],p ≥1,0 ≤i ≤n-1, 根据式(9), (11)和(19), 有

由式(9)和(19)的等号成立条件, 得到式(12)中等号成立当且仅当K 为中心在原点的球.