一次方程（组）解法例析

文 唐荣喜

一次方程（组）是初中代数的重要内容，利用一次方程（组）的知识解决问题在中考中屡见不鲜。该类试题在解法上除了列方程（组）直接求解外，还出现了代数式变形求值、设辅助元、不定方程求整数解等，考查了同学们灵活变通的能力。

一、列方程组直接求解

例1（2019·四川乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8 钱，会多3 钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）。

A.1，11 B.7，53

C.7，61 D.6，50

【解析】设有x 人，物价为y 钱，根据题意得解得故选B。

【点评】本题属于常见的盈余问题，等量关系较为明显，根据题中的等量关系可以轻易列出方程，进而解决问题。

二、求不定方程的整数解

例2（2019·江苏盐城）体育器材室有 A、B 两种型号的实心球。1 只 A 型球与 1 只 B 型球的质量共 7 千克，3 只 A型球与1只B型球的质量共13千克。

（1）每只A 型球、B 型球的质量分别是多少千克？

（2）现有A 型球、B 型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？

【解析】（1）每只A 型球3 千克，每只B型球4千克（过程略）。

（2）设A型球有a只，B型球有b只。

则3a+4b=17，因为a、b都是正整数，所以可求得a=3，b=2。

答：A型球有3只，B型球有2只。

【点评】本题中第二问设两个未知数，只能列一个方程，但考虑到a、b均为正整数，故通过求不定方程的整数解可以解决问题。

三、代数变形，整体求值

例3（2019·浙江宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5 支玫瑰和3 支百合，则她所带的钱还剩下10 元；若买3支玫瑰和5 支百合，则她所带的钱还缺4 元。若只买8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）。

A.31元 B.30元

C.25元 D.19元

【解析】设一支玫瑰x元，一支百合y元，小慧带了z元，根据题意得：

【点评】本题列方程组较为简单，关键是对方程进行变形，根据变形后的等式可求出实际问题的解。

四、设辅助元求解

例4（2019·重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连，增加经济收入。经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比为4∶3∶5。根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3∶4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是_______。

【解析】设该村土地总面积为a 亩，该村已种植的川香、贝母、黄连面积分别为 4k 亩、3k 亩、5k 亩，根据题意得 5k+解得 a=20k。在余下的土地（20k-9.5k-4k-3k）亩中，再令种植贝母x 亩，根据题意，得（4k+3.5k-x）∶（3k+x）=3∶4，解得x=3k。故该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是

【点评】同学们首先要读懂题目。其次，巧妙地设辅助元k，你会发现它能帮助我们快速理清题意。然后再通过两个方程，分别求得还需种植贝母的面积、种植三种中药材的总面积分别为3k、20k，从而求出比值。