魔术里的数学秘密

涂玉霞 张淑芳

著名数学大师陈省身先生说，数学好玩。但对于大多数孩子而言，数学是枯燥的、乏味的、艰深的，想让他们爱上数学，那真的是一大难题。

没有办法解决吗？实际上，每个人都有天生的好奇心和求知欲，我们如果能够多给孩子们提供适合的学习材料，就会得到较好的改观。如魔术，它具有新颖和神奇的特点，孩子们都很喜欢。我们不妨从魔術里寻找数学，或者在数学里去创造魔术，让学生去想，去揭秘。在积极思考中，让他们的大脑得到真正的锻炼，把所领悟的知识、方法和思想运用到解决问题中去。为此，原汁数学研究团队编印了《100个原汁数学小魔术》学习材料，使之成为教师的教学素材。

当然，大脑对于信息的刺激、接受和处理，有着极其严密的规律。我们的研究只不过是在试图找到这个规律，为学生在增长智慧的路上指明一个方向。下面，以一个数学魔术的教学例子和三个数学魔术进行说明，期望能够与大家共同探讨。

一、用代数思想来给魔术揭秘活动简录

1.活动预热，渗透思想

【魔术之一】猜生日

师：同学们好！（走上前与一学生握手）来，握握手，成为好朋友。你多大了？

生：12岁。

师：你知道老师比你大几岁吗？

生：不知道。

师：不知道可以用什么表示？

生：x。

师：那老师的年龄是多少岁？

生：12+x。

师：既然是好朋友，我特别想知道你们的生日是几月几日。我有个神奇的本领，不用你告诉我，我就能够猜出你们的生日。当然，要请你们帮我做一件事：把你们的生日月份乘4，再加上9，然后把和乘25，再加上日期。（在几名学生汇报计算结果后，教师快速说出他们的生日是几月几日，学生们很好奇）

师：这是一个猜生日的魔术，里面隐藏着秘密。今天让我们以数学家的眼光来给魔术揭秘。

学习需要真实发生，产生关联感，只有当新旧知识实现了有效联结，师生之间实现了沟通融合，知识的根才能生长出来。

2.思维碰撞，感悟思想

（1）尝试代换

师：当我不知道同学们生日是几月几日的时候，我在心里是如何列式子的？请大家帮我列一列。

①（4a+9）×25+b②    4x+9×25+y

③（4x+9）×25+y ④（4x+9）×25+x

教师将学生列出的有代表性的式子进行分析。①和③都是正确的;②没有将和乘25;④中两个未知数一个表示月份，一个表示日期，应该用不同的字母表示。因此得出结论，用字母来表示月份和日期，列出式子，如：（4a+9）×25+b=100a+225+b。减去225后，剩下100a+b，则b就是日期，a就是月份。用同一个字母可以表示同一类未知的数据，可以帮助我们发现规律。

（2）转化应用

【魔术之二】称扑克

师：我说我能够用手称出扑克牌的张数，你们相信吗？（学生摇头，但表示很好奇）让你们来见证一下奇迹诞生的时刻。我请一位同学随便从桌上这副牌中拿走一摞，然后数一数拿走了多少张，将张数的个位数字加上十位数字，和是几就放几张牌在原来那摞牌上。我就能够称出桌上这副牌还有多少张。（学生拿走牌后，再放牌，老师一称，报出数据，果然一张不差，学生惊呼）

师：老师真的会称牌吗？变魔术的过程可否像刚才那样用式子呈现出来？

学生设十位数字为a，个位数字为b，再列出算式：10a+b-（a+b）=9a，发现桌上的牌一定是9的倍数，有9、18、27、36、45这几种可能，通过目测，看看厚度，就知道有多少张。结论是十位数字和个位数字均可以用字母来表示。

（3）延伸创造

【魔术之三】神机妙算

师：请你们任意写一个两位数，不要让我看见，你们只需要把它乘167，然后把计算结果的后两位数告诉我，我就能算出这个两位数是几。

生：54。

师：你写的这个两位数是62。老师是胡乱猜的吗？那是靠什么算出来的？前面两个魔术都是用字母表示数来帮助我们找到秘密的，假如把这个两位数用a来表示，把积再乘3，你们发现了什么？因为167×a×3=501a，所以积的后面两位数一定就是a。因此，把结果乘3，就能发现a是多少了。还有哪些数也有这样的特征？你们能够创造一个这样的魔术吗？

通过运用这样的材料，可以让学生在思考和交流中，在掌握知识技能的同时，理解知识的本质，感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养。

3.体会意义，提炼思想

师：有人说，魔术是忽悠人的。但会观察和分析的人，总喜欢去思考魔术是如何来忽悠我们的。（梳理）遇到不知道的数或者复杂的问题，用字母代入，可以让问题变得清晰明了。用数学的眼光看待生活，就不会盲目相信。（提升）数学有魔力，字母作用大。爱因斯坦说宇宙最不可理解之处是它是可理解的。当数学魔术遇见了“数学家”，神奇的魔术也只好乖乖地露出真面目。所有神奇的背后，都有规律可循。

获得知识的钥匙，获得情感的体验，激发后续学习的动力，是课堂总结很重要的目标。令人回味、启示颇多、跃跃欲试，是数学思考后的最佳效应。

代数思想，就是用字母来代替具体数值进行思考的思维形式，是将具体案例参数化，是一种抽象思维。常规的数学课堂，一般停留在告诉学生如何用字母来表示数，但对于为何要用、用了有什么意义、如何形成运用的自动化等问题是缺少深入探究的。因此，这节课的目的，就是要激荡起学生对“字母表示数”的好感，深切体会代数思想的现实价值。

二、三个数学魔术说明

1.手里的秘密（奇偶数）

老师的两只手上各放一摞牌，请学生在两边随意各抽取一张，不要让老师看见，亮给全班同学看，并记住是什么牌，再把牌插进去。老师可以很快地找到这两张牌。

揭秘：老师手上的牌一边全部是奇数，一边全部是偶数。趁同学们去看牌的时候，迅速把手上的牌交换位置（左手的牌换到右手，右手的牌换到左手），那么在每一摞里，总有一张跟其他牌的奇偶不一样，所以就能够很快找出来。

变式运用：学生分别在两张小纸条上写了两个数，一个是奇数，一个是偶数，然后将这两个数随机分别放入左、右手中。接着，把左手中的数加4次，右手中的数加3次，再将左右两边的得数相加，并告诉老师这个和是奇数还是偶数。教师要猜出学生所写的奇数在哪只手中。教师准确给出了答案：如果和是奇数，奇数就在右手上;如果和是偶数，奇数就在左手上。

揭秘：如果奇数在右手上，加3次是奇数，偶数在左手上，加4次是偶数，奇数与偶数的和就是奇数。如果奇数在左手上，加上4次是偶数，右手的偶数无论加多少次都是偶数，所以它们的和一定是偶数。

2.神机妙算（9的倍数）

请学生随便给出一个四位数a，然后把a各数位上的数字打乱，组成新的四位数b。a、b相减后，得到一个最新的四位数c（如果c不是四位数，就再换一下a各数位的顺序，或者换一个新的a），只要学生说出c其中的三个数位上的数字，教师就可以猜出另外一个数位上的数字。

揭秘：一个四位数可以用1000x+100y+10z+e表示，随意改变顺序后，如变成1000z+100x+10e+y，两数之差就变成900x+99y-990z-9e，一定就是9的倍数。变成其他的四位数亦如此。所以，只需要减去另外三位上的数字之和，就可以猜出另外一个数字是几。

变式运用：教师先写一个数放进信封里。然后请学生在计算器里输入一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，然后把这个三位数颠倒过来，变成一个新的三位数（个位变百位，十位不变），两个数相减，得出一个最新的三位数a。把a又颠倒过来（个位变百位，十位不变），得出b，则a与b的和刚好就是教师装进信封里的那个数。

揭秘：一个三位数可以用100x+10y+z表示，改变顺序后，就变成100z+10y+x（中间数不变），两数之差就变成99x-99z，所以，一定是9的倍数，而且个位数字与百位数字之和一定是9，十位数字是9，可用100e+10×9+（9-e）表示。再把这个数倒过来，得到新数100×（9-e）+10×9+e，再将两个数相加，和一定是1089。

3.预言牌（多位数加减法）

教师在一张纸上写了几下后，就把纸折起来交给学生，告诉他们里面藏有秘密，不能看。然后让学生在10～19之间，随便选一个数，告诉教师。以学生选15为例，教师拿起桌子上的一摞牌（教师提前已经洗好牌），从上往下数，数出15张。然后问学生，15的个位数字和十位数字的和是多少？ 学生答“6”。教师把刚刚数出来的15张牌从下往上数，数到第6张，把这张牌拿出来，假如是红心A。再请学生打开刚刚给他们的折纸，里面竟然也是写着红心A。

揭秘：教师事先洗牌的时候，把从上往下数的第10张牌看清楚了。比如，先数出15张牌（第10张牌的顺序仍然是第10张），再倒着数6张牌，就是从上往下数的第10张。也就是说，把“10+a”张倒着数“a+1”张，刚好就是第10张牌。

变式运用：请甲乙两位同学各写两个六位数（随便写），教师随后也写一个，然后请甲同学再写一个，教师再写一个。教师口算出这几个数的和，同学们用计算器算，比比谁算得快。比如，甲、乙两位同学写的分别是246534和881235。教师写了118764，然后甲又写了个671245，教师再写一个328754。教师在几秒钟之内就能够算出这5个数加起来的和是2246532，而学生们的数字还没有输完，他们会感到特别惊讶。奥秘在哪儿呢？

揭秘：教师每次写的数与前面一位学生写的数加起来是999999（881235+118764=999999，671245+328754=999999）。然后把第一个数加上2000000，再减去2，即可。

和孩子们一起玩数學魔术，不是为了证明教师有多厉害，而是要激起学生对数学的兴趣。数学魔术不在于有多难，而是让所有的学生都有破解的机会。开放有度、富有挑战的魔术，改变了数学传统的模样，以新鲜生动的样子唤醒学生的情趣，触动学生的心灵，引发学生的思考。

（作者单位：湖北省武穴市师范附属小学）

责任编辑：孙昕

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