以形助数 化难为易
——试谈数形结合思想在小学数学教学中的应用

甘肃省临夏市逸夫第一小学 沈国强

“数”与“形”，在数学当中，二者互利共生，难以割舍，虽有本质区别却又高度统一。“数”我们通常指数字，数学公式，数学符号及数字信息。而“形”并不是我们通常认为的图形或是形状而是指可体现数学信息，严整的数学模型、几何模型等。我们所讲的数形结合便是“数”转换为“形”，又或是“形”转换为“数”，同样可以“形”体现“数”或者“数”体现“形”。以此，数形结合成为小学数学教学中最基本有效的教学方法。

一、教学过程中通过数形结合解析数学概念

“形”可带给学生最简单、最直观、最直接的视觉形式数学概念，因此数学大部分知识需要借助于“形”，需要“形”来提供最基础直观的思维支持。由于大部分数学概念尽管是小学数学也同样抽象难懂，使处于低年龄的小学生难以充分理解。这时“形”的直观作用就展现了极大优势，以“形”最清楚地展现数学难题。

例如以下问题：

（一）小明看一本书，第一天看了全书的十分之一还多5 页，第二天看了全书的五分之一还少10 页，还剩下100 页。这本书一共有多少页？

对于此问题，我们可以在解题之前画出一个线段代表全书总共的页数，第一天看了全书的十分之一并且多出五页，可以在一端取线段的十分之一进行标记代表整书的十分之一，并多取一小部分代表多出的五页，同理，在另一端取五分之一代表第二天看的整书的五分之一，并在这范围内取出一部分代表少看的十页，中间未标记部分与未看的十页组在一起，共同代表剩下的一百页，在线段中学生不难发现，剩下的一百页与第一天多看的五页所代表的分率为十分之七，而后可以通过105 除以十分之七得到整本书的页数为150 页。

（二）水果店的苹果占水果总数的三分之二，卖出120 千克苹果后，苹果占现在水果店水果总数的二分之一。原来水果店的水果有多少千克？

对此问题，我们同样可以在讲解之前画出线段以代表水果店的水果总数，对应单位“1”，取出整个线段的三分之二代表卖出120 千克苹果前的苹果数，然后取出整个线段的二分之一，标在三分之二的范围内，二分之一的标记与三分之二的标记所相差的距离就是120 千克苹果所代表的分率，也就是六分之一，因此，不难计算出原来水果店存有水果720 千克。

在以上问题中，“形”都可以最简单直观地将一连串数据展现出来，使问题从感性变为理性，由困难变为简单。在面对问题时，每个学生都应该注意有三个步骤，就是对问题中涉及的数学概念进行思考，用数学模型加以清楚分析，最后对问题进行详细的解决，做到这几点无论是对数量关系还是数据运算都有极大的帮助，因此，教师应当在以上方面对学生加以引导，让学生做到有能力，有方法，有思路地对数学问题加以解决。

“数”自始至终都是引导学生去探索规律，“形”的出现极大帮助了探索规律的效率，例如四边形或多边形及三角形的稳定性问题，在教学时我们可以举出实例，用木棍制成相应图形，在实践时每一个学生都不难发现无论是四边形还是多边形都会因为受力被拖拽而变形，只有三角形屹立不动，无法被改变形状。

数形结合实质上就是概念与实际的结合，将数学的两种形式进行表达与描述，一方面表现出数学知识的本质，另一方面表达出了数学知识与形式之间所存在的内在联系。这样，学生对于数学的理解就不会仅仅存在于对定义定理的记忆以及思维的定式，而是明白了数学知识所拥有的本质。

数学的种种规则中，都离不开“形”的支撑。“数”中的规则为学生学习过程中解决问题提供了推算办法，使学生在遇到不同问题时都有相应的办法去推算去解决，让学生学习规则。而“形”存在的意义便是让学生理解推算办法，理解种种规则，通过“形”的展示，让学生充分理解推算办法及规则的合理性，通过数形结合，大大降低所遇到的数学问题的困难程度，使问题变得简单而又清晰。

在解决问题时，思考过程中通常要有“形”的参与。“形”最大的优势与特点是可以将抽象的问题具象化，就是我们所说的化抽象为具体。将所获得数据与条件充分展示在数学模型上，可以清楚地反映数量间所存在的关系，从而得到最便捷的解题思路。最有代表性的便是题干字数多，复杂，难以理解的问题，通过将数字标示在数学模型当中，可以帮我们筛选最有效的信息，淘汰无用文字，化复杂为简单，将难理解的问题变得通俗易懂。恰当选择画图或列表等，可极大提高解题效率。

二、在图形解析问题中使用数形结合思想

“形”虽然可以直观简洁体现数据，降低解题难度，但它也有自己的缺点，比如一部分解题模型较粗略和繁琐并且不便于表达，这时需要通过简洁的“数”来更形式化地发挥“形”的优点，帮助学生更好地理解“形”更好地利用“形”。

对“形”加深认识需要“数”进行描述与表达。比如线段、射线与直线，现实中线段两端皆有端点，射线只有一段存在端点，直线两端皆无端点，由此线段长度不可进行变化，射线只可在一端进行伸长或缩短，而直线可在两端都进行伸长或缩短。用“数”进行数学语言描述便是“直”，“端点”，“直”，“无限延长”等，可以更好地建立相应形象，以便于理解。

对于几何图形，几何图形有周长，面积，表面积，体积等相关问题，此类问题都有其特有的数学公式进行相对应的推算及问题解决，是学生最直观地对形体认知的深化。对图形面积认知的建立，其实从最开始的数方格便开始了，从放置小正方形，到后来发现面积和长与宽等数学模型的关联，最终得到了图形的面积公式，使每个学生可以在更深层次认识图形，若要对图形性质进行判断，只有通过数学计算才可以得出最正确的结论。例如“画出周长为16 厘米的正方形”“画出面积为14 厘米的长方形”，对于第一个问题可以通过数学计算，计算出此正方形为边长为16÷4=4的正方形，对于第二个问题，我们通过数学计算可以得出此长方形长为7 宽为2。我们无法凭空绘出图形，先通过数学计算求出正方形的边长及长方形的长和宽各是多少，我们的答案自然就产生了。

对于以上问题的解决，我们将形的简洁明了与数的严谨精确融合在一起，简化了对于问题的理解。通过数形结合，简明地向学生展示了为何这样解决问题，如何用数形结合的方法解决问题，同时促进了学生对抽象思维和具象思维的融合应用，对于未来遇到问题可以充分发挥抽象思维和具象思维互惠互利的协同作用。如此，不仅帮助学生掌握了数形结合思维，又增强了学生抽象与具象转化的能力。

三、结语

有“数”就有“形”，有“形”就有“数”，数形结合所产生的作用无异于满天星，二者互补共生。在小学数学的教学中，可以渗透数形结合思维的问题还有很多，考虑到小学生的思考特点，教师应该引起学生兴趣，使其更好理解数形结合思维，让他们在自己心中装有相关概念，让数形结合思维从其数学学习生涯开始就伴随身边，拓展其思考深度，使其在解决数学问题时更具有创新创造性。