导数中多变元问题的解决策略

◇ 河北 陈雪冰 陈志文

◇ 河北 陈雪冰 陈志文

导数中的多变元问题是高考的一大难题，在高考中经常位于压轴题的位置，学生求解起来容易没有头绪，本文就对多变元问题的求解方法进行分析与总结.

1 利用函数的单调性进行转化

例1(2015年全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m 的取值范围.

(1)证明过程略；

(2)由(1)可知，对任意的m，f(x)在[－1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值.所以对于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是

设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1.当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0 时，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.

又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0.

当－1≤m ≤1 时，g(m)≤0，g(－m)≤0，故g(m)＋g(－m)≤0；当m ＞1时，由g(t)的单调性，易知g(m)＞0，即em－m ＞e－1；当m ＜－1 时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.

综上，m 的取值范围是[－1，1].

由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题可转化为求最大值和最小值问题，从而可求得m 的取值范围.虽为高考的压轴题，但只要合理地转化，就能使问题迎刃而解.

2 利用两个变量的关系二元换一元

例2(2018年全国卷Ⅰ)已知函数x＋alnx.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证 明：

(1)当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)单调递减，当a ＞2 时，f(x)在单 调 递 减，在单调递增.

(2)由(1)知a＞2，设0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则则问题转为证明即可，即证明即1)上恒成立，设易知h(1)＝0，求导得则h(x)在(0，1)上单调递减，h(x)＞h(1)，即故成立.

此题利用x1，x2为原函数的极值点，也就是导函数等于零的两个根，从而利用根与系数的关系将x1＋x2，x1x2用一个参数来表示，再研究函数的单调性和最值即可得到结论.但是此题容易在转化时出现错误，误在等式两边同时乘以分母构造新函数，此时函数单调.

3 构造新函数

例3已知函数lnx，其中a＞2.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，恒有求a 的取值范围.

(1)f(x)在(0，1)和(a－1，＋∞)单调递增，在(1，a－1)单调递减(求解过程略).

(2)不妨令x1＞x2，则不等式等价于f(x1)－f(x2)＞x2－x1，即

综上，实数a 的取值范围是(2，5].

因为0＜x1＜1＜x2，所以x1，x2不在同一区间内，而单调性的定义是在区间中任取x1＜x2都有f(x1)＜f(x2)，则函数递增；任取x1＜x2都有f(x1)＞f(x2)，则函数递减.复习时基本定义要理解准确.

4 极值点偏移

例4已知函数x (m∈R).

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围；

(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：lnx1＋lnx2＞2.

(2)证 法1要 证ln x1＋ln x2＞2，即 证x1x2＞e2，即

令则g(x)在(0，e)单调递增，在(e，＋∞)单调递减.设x1∈(0，e)，x2∈(e，＋∞)，可得即证

令φ(x)＝e2(2lnx－3)＋x2，则当x∈(0，e)时φ′(x)＞0，所以φ(x)在(0，e)上单调递增；φ(e)＝0，所以h′(x)在(0，e)上单调递减，h′(e)＝0，所以h(x)在(0，e)上单调递增，h(e)＝0，所以在(0，e)上h(x)＜0恒成立，即原命题成立.

函数在相邻区间增减性不同，故存在极值点，两个根在极值点两侧，可以用极值点偏移处理.此题除了可以用极值点偏移处理，也可以用变量集中处理.

5 变量集中

例4(2) 证法2由(1)知f′(x)＝lnx－mx，

因为函数f(x)在(0，＋∞)上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以

当涉及函数有两个零点或两个极值点，根又不可求时，可以把根带入作差，利用变量集中来解决.

6 三变元问题的处理

例5已知函数a，b∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)对于任意a∈[0，1]，任意x∈[2，e]，总有f(x)≤g(x)，求b 的取值范围.

(1)当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)单调递减，

则

设m (x)＝x－xlnx－2(x ∈[2，e])，则m′(x)＝1－(1＋lnx)＝－lnx＜0，所以m(x)在[2，e]单调递减，m(x)≤m(2)＝－2ln2＜0，即h′(x)＜0，所以h(x)在[2，e]单调递减，所以

此类问题变元个数较多，一般情况下是知道谁的范围就把谁当成主元，或者把谁当成主元函数较简单就先把谁当成主元，解题时要考虑减少变量的个数.

总之，求解导数中的多变元问题关键就是减少变元的个数，只要明白了本质，多变元问题即使作为压轴大题也不是那么难解决.