经典Volterra型算子在导数Hardy空间上的不变子空间

林庆泽

（中山大学 数学学院，广东 广州 510275）

1 预备知识

在无穷维可分的复Hilbert空间上的每一个有界线性算子是否有非平凡不变子空间至今仍是一个公开问题。在这一方面最突出的成果是在20世纪70年代，一位年轻的前苏联数学家Lomonosov通过构造一些新的技巧证明了：在无穷维Banach空间上，任何一个与非零紧算子可交换的有界线性算子一定有一个非平凡不变子空间[1]。

用H(Δ)表示复平面单位圆盘Δ:={z:|z|＜1}上所有解析函数f所组成的函数空间。当1 ≤p ＜∞时，用Hp表示复平面单位圆盘Δ上所有满足

的解析函数f所组成的Hardy空间[2]。

当p= ∞时，用H∞表示复平面单位圆盘Δ上有界解析函数f组成的函数空间，其范数定义为：

另一方面，数学家们开始研究具体算子在具体函数空间上的不变子空间问题。Arne Beurling于1949年完全解决了Hardy空间上shift算子(Mzf)(z):= zf(z)作用下的不变子空间问题，这一结果是泛函分析与复分析领域中的一个重大的突破。在此基础上，许多学者建立了不同的解析函数空间上的shift 算子作用下的（类似于Hardy 空间的）Beurling型定理[3]。

对于任意的g ∈H(Δ)，经典的Volterra型算子Tg及其伴侣算子Sg分别定义为：

1988 年，Richter 首次刻画了shift 算子Mz在Dirichlet 空间上的不变子空间[4]。1996 年，Aleman 等人给出了shift算子在Bergman空间上的不变子空间的刻画[5]。2008年，Aleman和Korenblum系统地研究了Hardy空间以及Bergman空间上的Volterra型算子对应的不变子空间问题[6]。

当1 ≤p ＜∞时，导数Hardy 空间Sp为复平面单位圆盘Δ 上所有满足f ′∈Hp的解析函数f 组成的函数空间，其范数定义为：

容易验证Sp是一个Banach空间，而且可以证明Sp⊂H∞，关于导数Hardy空间Sp的一些基本性质可参考文献[7-9]。

2015 年，Cuckovic 等人通过作用在导数Hardy 空间的一个子空间上的shift 算子的不变子空间来给出shift算子加上Volterra算子在Hardy空间H2上的不变子空间的完整刻画[10]。2018年，Cuckovic等人进一步刻画了shift 算子加上整数倍Volterra 算子在Hardy-Hilbert 空间H2上的不变子空间[11]。Lin 将其结果推广至一般的Hardy空间[12]。Aleman、Cima、Siskakis和Korenblum在关于Tg作用在各种函数空间上的问题做出了一系列成果[6，13-15]。与本研究相关的一些其它算子的不变子空间的研究工作可参考文献[16-18]。

目前对于一般的Volterra型算子，其不变子空间是较难刻画的，因此本研究主要通过shift算子的相关性质，研究了最经典的两个Volterra型算子在导数Hardy空间上的不变子空间问题并首次给出了它们的结构的刻画。最后，本研究留下一个待解问题，期待未来在这个问题上有实质性的进展。

2 经典Volterra型算子在导数Hardy空间上的不变子空间

定理1 若1 ≤p ＜∞，则M是算子Tz在导数Hardy空间Sp上的不变子空间当且仅当存在一个非负整数n使得M = znSp:={znf:f ∈Sp}。