例谈数列常见问题的解答

◇ 广西 梁志红

(作者单位:广西贵港市港南中学)

数列是高中数学的重点和难点,以抽象著称,相关习题难度较大.教学中为提高学生的解题能力,使其掌握数列常见问题的解答方法,有必要为学生展示常见问题的解题过程,以提高学生认识,对其解答类似问题以启发.其中递推问题、最值问题、存在性问题是数列的常见问题,本文围绕具体例题进行阐述.

1 递推问题

递推问题是数列的常见问题,对学生的逻辑思维能力要求较高.解答该类习题时应注重递推的严谨性、合理性,即认真审题,深入理解题干中的已知条件,找到递推的突破口.同时,递推的过程中应注重灵活运用所学的数列知识,保证每一步的推理都有理有据.

例1已知{an}满足

(1)求a1的取值范围,使得数列{an}为常数列;

(2)求a1的取值范围,使得an＋1＞an对任意的自然数n 均成立;

(3)若a1＝4,bn＝|an＋1－an|(n＝1,2,3,…),Sn为数列{bn}的前n 项和,证明

(3)由(2)可知a1＝4时,an＋1＜an对任意的自然数n 均成立,即an＋1－an＜0,则

2 最值问题

最值问题在数列习题中较为常见.解答该类问题思路较多,其一,可利用数列的递推关系,找到数列的最值;其二,因为数列是特殊的函数,所以可借助函数单调性分析出数列的最值;其三,部分习题可运用不等式知识进行解答.究竟采用哪一种思路,需要学生视情况而定,灵活选择.

例2已知数列{an}中(n∈N∗),数列{bn}的前n 项和N∗).

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

3 存在性问题

数列的存在性问题常和数列的性质联系在一起.该类问题一般涉及多个小问,解答该类习题应注重应用上个小问的结论进行推导,以构建参数之间的关系.同时,注重挖掘题干中的隐含条件,以做出正确的判断,如数列中的n 为正整数,解题时应根据得出的结论合理取舍.

例3等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10·4n－1(n∈N∗),数列{an}满足cn＝2an.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)数列{bn}满足为其前n 项和,求

(3)是否存在正整数m,n(1＜m ＜n),使得T1,Tm,Tn为等比数列,若存在,求出m,n 的值,若不存在,请说明理由.

(1)因为cn＋1＋cn＝10·4n－1,所以c1＋c2＝10,c2＋c3＝40,易求得公比q＝4,c1＝2,则cn＝2·4n－1,又因为cn＝2an,则an＝2n－1.

数列教学中,为使学生掌握常见问题的解答思路,教师既要做好例题的筛选与讲解,又要鼓励学生多进行总结与反思,争取将各种问题的解答思路搞清楚,将其内化为自己的知识.同时,在平时的训练中多加应用、不断巩固,争取达到融会贯通、灵活应用.