例谈数学分析中的有限与无限

李有连

(吕梁学院 离石师范分校,山西 吕梁 033000)

我们都知道数学分析这门课程就是用极限思想来研究函数的一门学科,而极限思想揭示了无限与有限的对立统一关系。借助极限思想,我们可以从有限认识无限,然后以无限为基础得到相应的结果。

一、有限与无限的区别

数学分析中,有许多命题或定理只有在 “有限”时成立,在 “无限”时不再成立。

(一)加法结合律

在“有限”的情况下,加法结合律成立,但在“无限”的情况下就不再成立。

例如:∀a,b,c都有(a+b)+c=a+(b+c)

按照有限的计算法则,假如数的加法可以任意结合,则有:

1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]+…=0

1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+[(-1)+1]+…=1

即出现了0=1,就有大问题了。所以说,有限到无限是引起 “质变”的。

(二)极限的四则运算法则

在“有限”的情况下,极限的四则运算法则成立,但在“无限”的情况下就不再成立。

按照有限的计算法则:

再例如:有限个无穷小的和是无穷小,但无限个无穷小的和就不一定是无穷小。

(三)连续函数的四则运算法则

在“有限”的情况下,连续函数的四则运算法则成立,即有限个函数都在点x0处连续,那么其和在点x0处也连续,但在“无限”的情况下就不再成立。

例如:研究函数项级数∑un(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…的和函数在其收敛域内的连续性,其中u1(x)=x,un(x)=xn-xn-1,n=2,3,…

解:显然sn(x)=x+(x2-x)+…+(xn-xn-1)=xn

所以和函数s(x)在区间(-1,1)内连续,但在点x=1处不连续。

从这个例子可以看出,虽然级数的每一项在点x=1处不但连续,而且可导;但其和函数在点x=1处却不连续,更谈不上可导了。

二、有限与无限的联系

在数学分析中“有限”与“无限”间建立联系的手段,往往很重要。

(一)无限由有限构成

(二)有限由无限组成

(三)有限转化成无限

在初等数学研究中，我们习惯于把有限的任一初等函数转化成无穷级数。

(四)无限转化成有限

在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和,这就是将无限转化为有限。

例如:要证

对于一切自然数都成立的话,就必须采用数学归纳法。数学归纳法的运用就是把无限步的推理过程转化为有限步,从而得到结果。在数学分析中计算数项级数的和也是同样的道理。

所以级数的n项部分和

故级数的和为1。

总之,有限和无限是一对很有特色的数学概念。两者相互交叉,相互联系,相互对立,相互统一,数学分析中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑,才能被理解,才能被应用。