基于Minkowski不等式的推论

毛雯庆 江明泽

摘 要：Minkowski不等式在微分方程和LP空间中有着广泛的应用，本文主要是基于Minkowski不等式的一些推论，以便于改进已有的结论。

关键词：Minkowski不等式;不等式;LP空间

引言：

Minkowski不等式是经典的不等式之一，它在数学各方面分支上都有重要的应用。自从发现这个不等式起，这一百多年来，人们对它的研究一直没有中断。正是其重要性，研究者们对它的探索也很多，相继得到了Minkowski不等式在数学各领域的不同表达形式及其种种改进、推广和应用。本文就Minkowski不等式的离散形式和积分形式作了一些推廣。

定理1  若且，则

当且仅当序列和成比例时等式成立.

这个不等式称为Minkowski不等式.

证明  首先有恒等式

对于相加得到

根据不等式，对于有

注意到，两式相加得到

同理可得积分形式的Minkowski不等式：设

则有

定理2 积分形式的Minkowski不等式的逆：

设 则

即

证明  如果，不等式显然成立.若或有一个不恒为零，则

令应用不等式：

在上述不等式两边同时除以即可得

定理3  设则

证明  由Minkowski不等式

证毕.

定理4  若函数在闭区间上连续，且则

证明  令即由不等式

即

令得到个不等式相加有：

则有

故

证毕.

参考文献：

[1]陈晓莉，吴妍翎.离散形式Minkowski不等式的几种证明[J].数学学习与研究，2018（23）：5-6+8.

[2]贾长友，杨丽君.积分形式Minkowski不等式的证明[J].哲里木畜牧学院学报，2000（01）：53-55.

[3]胡克.关于MinkowsKi不等式[J].江西师范大学学报（自然科学版），1995（04）：285-287.

作者简介：毛雯庆（1996.07-），女，汉族，学生，数学硕士，专业：基础数学，研究方向：偏微分方程。

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