用向量法解立体几何题，建系求点是关键

梁业兴

摘 要：利用空间向量法解立体几何题，可把抽象的空间图形关系转化为具体的数量运算，并有很强的规律性和可操作性，但在实际教学中发现，学生对某些几何体存在建系求点上的困难.本文主要通过实例探讨解决问题的办法。

关键词：立体几何;向量法;建系求点

向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是具有几何形式和代数形式的“双重身份”的概念，是沟通代数与几何的桥梁。将空间向量引入高中数学，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。解题时，只需建立合适的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，然后化为向量问题，通过进行向量运算，即可转化为几何问题。在这里，建系求点将是解决问题的关键。

一、问题的提出

学生用向量法解如下高考真题（例1）时容易求错或无法求出点P的坐标。

例1.如图1，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点。

（1）证明：AD⊥平面DEF;

（2）求二面角P-AD-B的余弦值。

二、问题分析

学生用向量法解立体几何题主要的错误有两个：一是建系不合理，二是求错甚至不会求点的坐标。

主要原因有两个方面：一方面是图形认知障碍.平面几何图形反映图形的真实情况，但在立体几何中，由于是用斜二侧画法画成的直观图，图形往往不能反映原形的真实结构和全部特点。例如在“水平放置的平面图形的直观图画法”中，正方形、矩形在水平放置后呈平行四边形，以及在图中看上去明显不垂直的两条线段却偏要证明他们互相垂直，明显是锐角的实际上却是一个钝角等;另一方面是缺乏空间想象能力。由于空间想象能力是一个比较复杂、抽象的思维过程，想象能力从二维到三维的拓展难度较大，在实际教学中，学生往往不易建立空间概念，在脑海中难以形成较为准确、直观的几何模型，不能灵活运用一些重要元素之间的位置关系，没掌握一些解题技巧（如局部图形建立平面直角坐标系作平面化处理），造成点的坐标求错，甚至求不出来等。

三、解决问题之建系方法研究

学生建系不合理，主要集中在x轴与y轴的建立，原因就是对图形的认知有障碍.所以主要方法就是把图形还原——局部平面化处理.画出底面的平面图，把建x，y轴的问题放在平面几何里完成。

例2.如图2，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60o，PA=AC=1，PB=PD=，点E在PD上，且PE=2ED。

（1）建立合适的坐标系，并写出A、B、C、D四个点的坐标。

分析：作底面平面图如图3，图4，图5所示.由此平面图可以比较清楚地看到以那两条互相垂直的直线分别为x 轴、y 轴为宜，且方便写出平面内各点的坐标。可以看到建系的方法并不唯一，要根据题意选用一个合适的坐标系。

解：以图5为例.因为底面ABCD是菱形， ∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=1。

在△PAB中，由PA2+AB2=2=PB2知PA⊥AB。

同理， PA⊥AD，又AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD。

以A为坐标原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，过A点作垂直AD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图6所示.由题设条件，相关各点的坐标分别为。

点评：平面内常见的垂直关系有：菱形、正方形的对角线;等腰、等边三角形的中线与底边（三线合一）;直径所对圆周角的两边;或在某个三角形中知道两边一角，先用余弦定理求出第三边，再用勾股定理证明线线垂直等。

四、解决问题之求点方法研究

（一）垂线法

在空间直角坐标系中，有些点的坐标可以通过向坐标平面或坐标轴作垂线，再求出垂线段的长，从而写出点的坐标。

例2.（2）在第（1）问建系的基础上求出点E的坐标。

解法一：过点E作EM⊥AD于M，作EN⊥AP于N，如图7所示.

由△DEM∽△DPA，得，所以，同理，得

所以。

点评：点E为线段PD的三等分点，个别学生可能会类比中点坐标公式，容易犯“将P、D坐标相加除以3得到E點坐标”这样的错误。此题还可以用下面的向量法解决。

（二）向量法

在空间直角坐标系中，利用两向量相等，可以求出点的坐标。

例2.（2）在第（1）问建系的基础上求出点E的坐标;

（3）在棱PC上是否存在点F，使BF∥平面EAC，并证明你的结论。

（2）解法二：设点E的坐标为E（0，y，z），P（0，0，1），

则，，

因为，即，

解得，

即。

点评：因为底面ABCD是菱形，对角线 AC 与 BD 互相垂直，所以可以以对角线的交点O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，那么点P的坐标将是解决问题的关键.这里采用待定系数法，根据题目给出的线段的长度：，，列方程组求解即可求出P点的坐标，使得问题迎刃而解。

参考文献：

[1]徐晓宇，屈黎明.向量法解立体几何题的点坐标求法——2017年高考浙江卷立体几何解答题的方法总结. 《数学教学》，2018（8）：33～36.

[2]卢学渊.向量法解立体几何题时动点的设法.《数学学习与研究：教研版》，2012（11）：107～107.

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