点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用

2021-03-11 06:47武增明
数理化解题研究 2021年4期
关键词:差法中点定点

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

一、点差法的基本原理

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时,设出弦端点坐标,并分别代入圆锥曲线方程得两式,将其两式相减,可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式,这种解题方法叫做点差法.

二、点差法的简单应用

与弦中点相关的问题有三种,一是平行弦的中点轨迹;二是过定点的弦的中点轨迹;三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.

1.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程

此类问题是点差法的最基本的简单应用.

(1)求直线AB的方程;

(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆,为什么?

故直线AB的方程为y-2=1·(x-1),即x-y+1=0.

(2)解略.

评注此问题用常规方法也易求解,但没有用点差法来得快.

2.用点差法简求轨迹方程

(1)点Q的轨迹方程;

(2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),则有x1+x2=2x,y1+y2=2y.

故点Q的方程为2x2+y2-2ax-by=0.

(2)解略.

3.用点差法简求圆锥曲线的方程

(1)求M的方程;

(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.

解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则

因此,a2=6,b2=3.

(2)解略.

评注此问题若没有想到点差法,就不易求解了,甚至解不出来.

4.巧用点差法简解对称题型

一般地,对称直线、对称点的题目,用点差法求解较为简便.

评注解此类题关键是用了点在圆锥曲线内部的充要条件,应认真领会.

5.注意中点的构造,创造点差法的条件简解题

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);

(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

分析(1)略.

解(1)略.

又存在x02∈(0,a2)使上式成立,

评注(1)命题者(官方)给出的解答计算量较大,详见文[4].(2)此问题,解法较多(详见文[1]),上述解法最简捷.

点差法在高考中有着广泛的运用,如:2010年高考,山东卷·文9,新课标全国卷Ⅰ·理12,安徽卷·理19;2012年高考,湖北卷·理21;2013年高考,新课标全国卷Ⅰ·理10;2015年高考,全国卷Ⅱ·理20,浙江卷·理19;2018年高考,全国卷Ⅲ·理20.

综上所述,点差法在各式各样的题目中均有广泛的应用,同时作为一种基础数学方法,它与其它数学方法之间有着极大的相关性,这是我们在解题过程中所不能忽视的,在学习点差法的解题过程中要熟练掌握运用其它方法,才能够把数学解题思想方法运用到解题过程中,来提高解题效率与质量.

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