双sine-Gordon方程的新精确解及其应用

林府标，张千宏

贵州财经大学 数统学院，贵阳 550025

双sine-Gordon方程

uxt=sinu+sin2u

(1)

在物理学和工程等领域有广泛的应用[1-10]．虽然已经有很多解析求解非线性偏微分方程的理论和方法[3-16]，但求解非线性偏微分方程没有统一而普遍适用的途径，而且许多非线性偏微分方程至今都还没有找到精确解．因此，继续探求行之有效的新解析求解方法并给出非线性偏微分方程的新精确解仍然是一项有实际价值和意义的工作．

在前人工作的基础上，首先利用试探函数法找到了文献[3-8]中并没有给出的方程(1)的许多新显式精确解，然后运用初等积分方法结合这些新精确解进一步找到了方程(1)的更多新显式精确解．其次利用这些新显式精确解和方程(1)的简化方程构造了双sine-Gordon方法．最后采用方程(1)的新显式精确解结合双sine-Gordon方法探求Burgers，KdV和BBM方程的新显式行波解．

1 试探函数法

试探函数法[11-12，14]的核心思想是巧妙地运用某些初等函数作为非线性偏微分方程解的试探函数，从而可以获得这些方程的显式精确解．假设u(x，t)=f(ξ)，ξ=x-αt，α∈R是方程(1)的解，则函数f=f(ξ)满足方程

αf″+sinf+sin2f=0

(2)

利用试探函数法假设方程(2)的精确解的表达式为

f(ξ)=±2arctan[v(ξ)]

通过计算可得

于是约化方程(2)变成

αv″(1+v2)-2αvv′2+3v-v3=0

(3)

依据试探函数法的基本思想，假设方程(3)的显式精确解可写成

通过计算可得

把v，v′，v″的表达式代入方程(3)，计算整理得关于w的多项式函数方程，分别令wj(j=0，1，…，8)的系数为零，得到关于待定参数v0，a，b，c，d，α，k的非线性代数方程组

b3d2(αk2+1)=0，b2d(5αbck2+2bc+3d2v0)=0

b(5αabd2k2-3abd2-4αb2c2k2-2αbcd2k2v0+αd4k2v02+

αd4k2-b2c2-9bcd2v0-3d4v02+3d4)=0

d(5αab2ck2+8αabd2k2v0-6ab2c-6abd2v0-2αb2c2k2v0+

5αbcd2k2v02+5αbcd2k2-9b2c2v0-12bcd2v02+12bcd2-d4v03+3d4v0)=0

5αa2bd2k2-3a2bd2+20αabcd2k2v0+αad4k2v02+αad4k2-3ab2c2-18abcd2v0-3ad4v02+

3ad4+11αbc2d2k2v02+11αbc2d2k2-3b2c3v0-18bc2d2v02+18bc2d2-5cd4v03+15cd4v0=0

d(9αa2bck2-6a2bc-3a2d2v0+20αabc2k2v0+αacd2k2v02+αacd2k2-18abc2v0-

12acd2v02+12acd2+11αbc3k2v02+11αbc3k2-12bc3v02+12bc3-10c2d2v03+30c2d2v0)=0

4αa2bc2k2-αa3d2k2-2αa2cd2k2v0-3a2bc2-9a2cd2v0+8αabc3k2v0-αac2d2k2v02-αac2d2k2-

6abc3v0-18ac2d2v02+18ac2d2+4αbc4k2v02+4αbc4k2-3bc4v02+

3bc4-10c3d2v03+30c3d2v0-a3d2=0

cd(-αa3k2-2a3-2αa2ck2v0-9a2cv0-αac2k2v02-αac2k2-12ac2v02+

12ac2-5c3v03+15c3v0)=0

c2(-a3-3a2cv0-3ac2v02+3ac2-c3v03+3c3v0)=0

(4)

所以方程(1)的行波解和方程(2)的精确解为

(5)

特别地若取a=b=1，则方程(1)的行波解和方程(2)的精确解的表达式为

(6)

类似地，利用试探函数法可求得方程(3)的精确解为

因此，方程(1)的行波解和方程(2)的精确解为

(7)

特别地若取a=-1，b=1，则方程(1)的行波解和方程(2)的精确解的表达式为

(8)

文献[3-8]没有给出方程(1)的显式行波解(5)-(8)．

2 初等积分方法

(9)

在方程(9)两边同时乘以2ω′，可得

然后两边同时关于ξ积分一次，记积分常数为c，于是有

(10)

1) 若取c=1，α<0，ε=±1，则方程(10)变成

(11)

(12)

其中f=f(ξ)见(5)式．

2) 若取c=0，α<0，ε=±1，则方程(10)变成

(13)

(14)

其中f=f(ξ)见(7)式．

(15)

ω=2arctan(ϖj(ξ))j=1，2

(16)

从而利用(16)式与ϖj(j=1，2)的关系式和三角函数恒等式，可得

(17)

因此，方程(1)的显式行波解和方程(2)的显式精确解的表达式为

u(x，t)=f(ξ)=4arctan(ϖj(ξ))j=1，2

(18)

4) 若取c=1，α=1，ε=±1，则方程(10)变成

(19)

注意到通过分离变量，方程(19)可改写成

两边同时积分得方程(19)的一般解为

ω=arccot[±sec(ξ+λ)]，λ∈R

(20)

从而方程(1)的行波解和方程(2)的显式精确解的表达式为

u(x，t)=f(ξ)=2arccot[±sec(ξ+λ)]，ξ=x-t，λ∈R

(21)

文献[3-8]没有给出方程(1)的显式行波解(18)和(21)．

3 双sine-Gordon方法的求解步骤

方程(11)，(13)，(15)和(19)是双sine-Gordon方程(1)和约化方程(2)的另一种被简化的变换形式，其对应的显式精确解分别为(12)，(14)，(16)和(20)．作为一种应用，这些变换方程及其相应的显式精确解可用来求解非线性偏微分方程

F(u，ut，ux，uxt，utt，uxx，…)=0

(22)

第一步：对变量x和t作行波变换，令ξ=x-αt，其中α为常数，表示波速．假设u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt为方程(22)的解，于是方程(22)可转化为关于v=v(ξ)的常微分方程

F(v，-αv′，v′，-αv″，α2v″，v″，…)=0

(23)

第二步：假设方程(23)的精确解的表达式可写成以下3种形式中的一种

(24)

其中α，a0，…，an是待定的未知实参数，ω=ω(ξ)满足方程(11)或(13)或(15)或(19)，n是正整数，可采用齐次平衡原理，通过平衡方程(22)中的非线性项和最高阶导数项而得到．

第三步：把表达式(24)代入方程(22)中，利用软件Matlab或Mathematica计算，可得到关于siniω，siniωcosjω，cosiω(i，j=0，1，…)的多项式．然后令多项式的各项系数为零，则进一步可获得关于待求实参数α，a0，…，an的代数方程组．

第四步：确定常数α，a0，…，an后，将方程(11)或(13)或(15)或(19)的对应解代入(24)式，即可获得非线性偏微分方程(22)的新精确解．

4 Burgers方程的新行波解

双sine-Gordon方法(24)与广义Tanh函数法[9-10]的基本思想类似，但有时又比广义Tanh函数法更简洁，且能找到方程(22)的新精确解．下面用双sine-Gordon方法(24)求解Burgers方程

ut+uux-βuxx=0，β>0

(25)

这里β是耗散系数，方程(25)的背景和其它应用介绍可参见文献[10，12]．假设u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt，α∈R是方程(25)的解．因此，方程(25)变成

αv′-vv′+βv″=0

(26)

注意到方程(15)和(24)，平衡方程(26)中的项vv′和v″，于是假设方程(26)的精确解的表现形式可写成

v(ξ)=a0+a1tan[ω(ξ)]，a0，a1∈R

(27)

这里ω满足变换方程(15)，其中ε=1．于是把(27)式代入方程(26)，通过计算整理得关于a0，a1，α的代数方程

(28)

其中ξ=x-αt，α>0，λ∈R，ε=±1．文献[9-12，16-20]没有给出方程(25)的显式行波解(28)．显式行波函数(28)的取值仅与相ξ=x-αt，α>0有关，当x→±∞时，可得到ξ→±∞．若取ε=1，则

若取ε=-1，则

因此，显式行波解(28)收敛，即显式行波解(28)具有冲击波的特征．显式行波解(28)的扭结型(kink)或反扭结型(ante-kink)依赖于(28)式中符号“±”和ε=±1的选取．

5 KdV和BBM方程的新行波解

5.1 KdV方程的新行波解

Korteweg和de Vries在研究浅水波的传播时建立了标准的KdV方程

ut+6uux+uxxx=0

(29)

并且探求出了方程(29)的孤立波解，KdV方程的常见其它形式参见文献[10-12，15]，其一般形式为ut+auux+buxxx=0，a，b∈R，但标度变换并不改变方程本身的固有特性．假设方程(29)的行波解可写成u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt，其中α为常数，表示波速．于是该行波变换将方程(29)化为关于ξ的常微分方程

αv′-6vv′-v‴=0

(30)

将方程(30)两边关于ξ同时积分一次，并令积分常数为零可得

αv-3v2-v″=0

(31)

利用方程(30)注意到(24)式，平衡最高阶导数项v‴和非线性项vv′推出n=2．因此，可假设方程(30)的解的表达式为

v(ξ)=b0+b1tan[ω(ξ)]+b2tan2[ω(ξ)]，b0，b1，b2∈R

(32)

其中ω满足变换方程(15)，而ε=1．把(32)式代入方程(30)，计算整理之后分别令sin2jω(j=0，1，…，8)和sin2j-1ωcosω(j=1，…，8)的系数为零，可得关于b0，b1，b2，α的代数方程组

b1(2α2-12αb0+36αb2+3)=0，-2α2b2+12αb0b2+6αb12-12αb22-9b2=0

b1(-62α2+372αb0-972αb2-87)=0，18α2b2-108αb0b2-54αb12+92αb22+77b2=0

b1(140α2-840αb0+1872αb2+183)=0，-52α2b2+312αb0b2+156αb12-220αb22-211b2=0

b1(-203α2+1218αb0-2250αb2-246)=0，25α2b2-150αb0b2-75αb12+84αb22+96b2=0

b1(196α2-1176αb0+1728αb2+219)=0，-8α2b2+48αb0b2+24αb12-20αb22-29b2=0

b1(-42α2+252αb0-276αb2-43)=0，46α2b2-276αb0b2-138αb12+76αb22+157b2=0

b1(364α2-2184αb0+1584αb2+339)=0，-44α2b2+264αb0b2+132αb12-36αb22-141b2=0

b1(-25α2+150αb0-54αb2-21)=0，α2b2-6αb0b2-3αb12+3b2=0，b1(4α2-24αb0+3)=0

(33)

α>0．因此，方程(29)的行波解为

(34)

5.2 BBM方程的新行波解

假设BBM方程

ut+ux+uux-uxxt=0

(35)

的行波解为u(x，t)=v(ξ)，ξ=x-αt，α∈R．于是方程(35)约化为常微分方程(1-α)v′+vv′-αv‴=0．类似地，可获得方程(35)的行波解为

(36)

其中ω=ω(ξ)见(16)式，利用(17)式可以写出行波解(36)的具体表达式，为了行文简洁省略其过程．文献[21-24]没有给出显式行波解(36)．另外，类似地可探求变系数的BBM方程ut+κux+βuux-γuxxt=0，κ，β，γ∈R的显式行波解．

6 结论与探讨