双有源桥直流变换器相平面分析与优化

肖子衡，何志兴，陈峻岭，陈燕东，欧阳红林，罗 安

（1.广东志成冠军集团有限公司，东莞523718；2.国家电能变换与控制工程技术研究中心（湖南大学），长沙410082）

相平面分析是描述线性周期时变系统行为的图解方法，已成功应用于多种谐振变换器[1-5]。此外，文献[6]中提出多种基于相平面分析的控制方法。对谐振变换器进行相平面分析的主要优点是状态变量天然的微分特征，使其相平面为圆和椭圆的分段轨迹， 一个开关周期中的状态轨迹形成闭合曲线，因此可以直观得到其稳态特性。如果考察相邻周期的状态轨迹，可以得到一簇曲线，因而也可以获得暂态特性。 除了谐振类变换器，线性周期时变系统中还有其他类型的非谐振变换器，最具代表性的是双有源桥DAB（dual active bridge）直流变换器。DAB具有电气隔离，双向降升压能力，固有的软开关特性和高功率密度的优点，在直流微电网[7-9]、电动汽车[10-11]以及固态变压器中的隔离级[12-14]得到了广泛关注。为了提高DAB 的效率和功率密度，开展了很多研究，并提出了一些调制方法。文献[15]提出了单移相调制方法，易于实现，得到了广泛应用，且在额定功率和电压匹配下可以实现较高的功率密度和效率，但是，在低功率或者电压不匹配条件下，单移相调制方法的效率较低，零电压开通ZVS（zero voltage switching）范围较小；为了提高DAB 的性能，文献[16]提出了双移相调制方法用于减小无功功率；文献[17]对其进行了改进，在低功率条件下得到了较好的性能；文献[18]提出了扩展移相调制方法用于减小循环功率，然而，由于双移相调制方法和扩展移相调制方法的附加约束条件，DAB 的性能未得到全局优化。 由于DAB 的性能与电感电流密切相关，对DAB 的优化就转变为对电感电流的优化。 文献[19-21]关注电流应力IPeak并提出了许多减小IPeak的调制方法；文献[22-23]给出了电感电流有效值IRMS最小化的调制方法， 此调制方法被称为电感电流最优调制方法，其工作区间分为低功率、中等功率和高功率三种， 然而， 在中等功率区间由于需要求解四次方程，文献[22]中控制坐标的解析表达式过于复杂，控制坐标需要离线计算之后才能在实际中进行应用，在文献[23]中，控制坐标只给出了数值解。

综上所述， 对DAB 电感电流的优化存在2 个难题。第一个难题是由于传输功率的等式约束条件会造成可行域非凸， 因此， 拉格朗日乘数法LMM（Lagrange multiplier method）或KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件等常规凸优化方法可能失效[23]；此外，由于优化目标的表达式在不同可行域是不同的，在某个可行域中只能获得局部最小值，因此，优化过程需要以分而治之的方式完成。 另一个难题是IRMS的表达式过于复杂，导致以IRMS为优化目标难以获得最佳控制坐标的解析表达式，电感电压有效值具有表达式简单、与IRMS相关程度高且能部分反映变换器磁性元件损耗等优点，可以作为优化变量来间接优化IRMS，为了同时考虑ZVS 区域和IPeak，以电感电流作为状态变量， 对DAB 进行相平面分析，从DAB 的相平面轨迹中可以直接得到开关管的ZVS实现情况与IPeak， 且相平面轨迹与坐标轴围成的面积恰好反映了电感电压有效值。 本文基于DAB 的相平面分析，采用相对偏导增益法，用分而治之的思想在全功率范围内获得了电感电压有效值最小化的解析表达式。电感电压有效值最小化调制方法具有控制坐标简单、在输出功率变化时变换器效率较高以及可用于数字处理器等优点。实验结果证实了分析的正确性以及所提调制方法的可实现性。

1 DAB 时域与相平面分析

1.1 DAB 拓扑与等效电路

DAB 的拓扑结构以及典型工作波形如图1 所示，DAB 由输入直流电容CDC1、 输出直流电容CDC2、原边开关管S1～S4、副边开关管S5～S8、功率传输电感L 和变比为1∶n 的高频变压器组成， 开关频率固定为fs。 Vin、Vout、Iin和Iout分别为DAB 的输入电压、输出电压、输入电流和输出电流。 高频变压器的端口电压和原边电流分别为vAB、vCD和iL。

图1 DAB 的拓扑结构与典型工作波形Fig. 1 Topology and typical operation waveforms of DAB converter

DAB 正向传输功率和反向传输功率的典型工作波形如图1（b）所示，DAB 存在3 个自由度，分别为原边占空比φ1、副边占空比φ2和移相角α，其中α 的取值范围为[-π，π]，φ1、φ2的取值范围均为[0，π]，则DAB 的控制坐标表示为（α，φ1，φ2）。

为了简化分析，对DAB 的电气参数进行标幺化，电压、电流、功率和时间的基准值分别为

式中：M 为电压增益，表示为输出电压与输入电压的比值。

DAB 在稳态时半个周期后电压和电流的极性与初始值相反，因此只需研究半个周期即可。 在半个周期内，DAB 一共存在6 种状态A、B、C、D、E、F，如图2 所示。 这6 种状态的状态变量如表1 所示，其中，IA（0）、IB（0）、IC（0）、ID（0）、IE（0）和IF（0）分别为6 种状态的初始电流。 半个周期内6 种状态出现的组合顺序组成了DAB 的状态轨迹OST（operation stage trajectory）， 如OST ACF 指DAB 在半个周期内先进入状态A，再进入状态C，最终进入状态F。

DAB 的输入功率Pin、输出功率Pout、控制坐标（α，φ1，φ2）与各个状态持续时间（θA，θB，θC，θD，θE，θF）的关系分别为

忽略DAB 的损耗， 由功率守恒定理可得DAB的传输功率为：P=Pin=Pout。在控制坐标α、φ1和φ2的取值范围均为[0，π]的情况下，可能的OST 共有6 种，分别为：ABCF、ABEF、ADEF、BCBE、BCFE 和BEFE，其余的OST 均为这6 种OST 的特例。这6 种OST 的功率表达式和传输功率范围如表2 所示。

图2 半个周期内DAB 的6 种状态Fig. 2 Six operation states of DAB converter in a half switching cycle

表1 6 种状态中的状态变量Tab. 1 State variables in six states

表2 6 种OST 的功率表达式和传输功率范围Tab. 2 Power expressions and transmission power range in six OSTs

其中OST ABEF、ADEF 和BEFE 不包含C 状态，因此必须先将能量储存在电感中，使得电感电流急剧增加，再由电感将存储的能量向输出端口传递。 由于这3 种OST 不能增大DAB 的功率传输能力，因此在接下来的优化分析中将不被考量[23]。

根据DAB 的电压增益和功率传输方向，DAB可以划分为4 块工作区域，即：降压且正向传输率（M<1，P>0）、升压且正向传输率（M>1，P>0）、降压且反向传输率（M<1，P<0）和升压且反向传输率（M>1，P<0）。 由于DAB 的对称结构，这4 块工作区域中的控制坐标存在如图3 所示的映射关系，因此只需要研究（M<1，P>0）的工作区域即可。

图3 DAB 工作区域映射关系Fig. 3 Mapping relation in DAB operation region

1.2 DAB 的相平面分析

将DAB 时域波形的x 轴和y 轴替换为电感电压VL和电感电流IL可得DAB 的相平面图，如图4所示，以OST ABCF 为例展示了这个变换过程。

图4 上边为电压和电流的时域波形，实线表示DAB 的时域电压和电流，虚线表示频率近似的电压和电流。 图4 下边多边形代表VL和IL的相平面轨迹， 闭合曲线分别代表VL和IL的基波近似及3 次和21 次谐波近似的相平面轨迹。 随着谐波次数的叠加，其相平面轨迹越来越接近于一个多边形。

在相平面轨迹中，点a、b、c 和d 的坐标分别为（VA，IA（0））、（VB，IB（0））、（VC，IC（0））和（-VF，IF（0））。由于一个周期内时域波形的起点和终点分别为-π和π，因此相平面轨迹起点为a，逆时针周期运动，最小周期为2π。 从相平面图可知：IA（0）<0、IB（0）>0、IC（0）>0、IF（0）>0，因此原副边的开关管都可以实现ZVS。 电流应力可以表示为IPeak=IF（0）。 相平面上的每个点都是DAB 稳态运行时经过的点，相平面轨迹越靠近原点则说明DAB 拥有更小的IL。 为了衡量相平面轨迹离原点的平均距离， 可以考察相平面与坐标轴围成的面积S。 以上述为例，S 可以表示为

虽然S 的最小化并不等同于IRMS的最小化，但通常来说，一个较小的S 对应的IRMS也较小。 对于OST ABCF、BCFE 和BCBE，其IRMS和S 的表达式如表3 所示。

图4 DAB 时域波形与相平面轨迹Fig. 4 Time-domain operation waveform and phase-plane trajectory of DAB converter

表3 OST ABCF、BCFE 和BCBE 的IRMS 和S 的表达式Tab. 3 Expressions of IRMS and S in OST ABCF, BCFE, and BCBE

表3 中，IRMS的表达式复杂，为控制坐标的三次函数，而S 的表达式简单，仅为控制坐标的一次函数。 由于OST ABCF、BCFE 和BCBE 的可行域并不是凸集且有重叠部分[23]，因此本文采用相对偏导增益法对其进行分段优化处理。

2 基于相平面的DAB 优化

根据上述相平面分析，DAB 的优化问题可以转换为标准形式，即

式中：X=[α，φ1，φ2]为控制坐标；A（X）=S 为优化目标；P（X）=P 为传输功率的等式约束条件；Bi（X）≤0（i=1，2，…，q）为不同OST 的不等式约束条件。 由于P（X）和A（X）均为X 的连续可微函数，则P（X）和A（X）的全微分记为

记Xopt为在给定P（X）=P 下使得A（X）最小化的坐标，对Xopt进行小扰动，扰动后的坐标记X*1、X*2和X*3，可得

式中，ξi（X）（i=α、φ1、φ2）为相对偏导增益。 假设Xopt是连续的，则Xopt的性质为

文献[23]中，式（11）被称为全局最优化条件。值得注意的是，如果式（11）的解得到的控制指标在可行域范围内，则此解有效；若此解得到的控制指标为固定的电压增益或者传输功率， 则此解无效；若此解得到的控制指标不在可行域内，则需要进一步考察可行域的边界。

2.1 OST ABCF 下的优化

将式（11）运用于OST ABCF 可得

因此可解得控制坐标为

式（13）～式（15）中，传输功率的下限由OST ABCF 的可行域条件限制， 低于这个功率下限，则OST ABCF 将转变为OST BCF。 假设最优控制坐标连续，将式（11）运用于OST BCF 可得

由于第1 个解为固定的电压增益， 并不有效，将第2 个解代入OST BCF 的方程可得

类似地，式（17）中传输功率的下限由OST BCF的可行域条件限制，低于这个功率下限，则OST BCF将转变为OST CF。 将式（11）运用于OST CF 可得

2.2 OST BCFE 下的优化

类似地，将式（11）运用于OST BCFE 可得

在M<1、P>0 条件下进一步可得控制坐标的关系为

式（20）所求得的控制坐标位于OST BCFE 可行域之外。 进一步考察OST BCFE 的边界α∈[0，π]，φ1∈[0, α]，φ2∈[π, φ1+π]，将α 置零时OST 将由BCFE 转变为OST CFE，此时的控制坐标为

式（21）中的功率上限由OST CFE 的可行域条件限制，超过这个上限，则OST CFE 将变回OST CF，当功率进一步增大时，OST CF 会变回OST BCF。

2.3 OST BCBE 下的优化

将式（11）运用于OST BCBE 可得

由于式（22）无解，因此最优控制坐标始终不在OST BCBE 中。

2.4 不同OST 最优解区域的合并和扩展

图5 全范围最优解区域划分Fig. 5 Division of optimal solution region in full operation range

表4 在M<1, P>0 场合下的最优控制坐标Tab. 4 Optimized control coordinate when M<1 and P>0

由式（13）～式（22）可知，不同OST 的最优解有重叠部分，将OST ABCF、BCFE 和BCBE 中的最优解进行合并，并通过图3 将其扩展至全范围。

其他场合其他OST 下的最优控制坐标，均可采用图3 所示的映射关系得到，在此不再赘述。

3 实验结果及分析

为了验证所提基于相平面分析与优化方法的正确性与有效性，本文以TMS320F28335 为核心控制系统搭建了基于IGBT 的DAB 变换器实验样机，对单移相调制、电流有效值最优化调制以及所提基于相平面优化调制方法进行对比。实验样机主要参数如表5 所示，基于相平面优化的控制框图如图6所示。其中，Vin和Vout分别为DAB 的输入电压和输出电压，二者相除得到电压增益M，Vref为输出电压参考值，Vref与Vout之差通过PI 控制器可以得到功率指令P*。在得到了M 和P*之后，可通过表4 计算获得相平面最优控制坐标（α*，φ*1，φ*2）。 为了防止控制坐标的剧烈变化造成的输出电压波动，最优控制坐标指令先经过一个低通滤波器再进入DAB 的脉宽调制器， 最终将控制指令送到DAB 主电路的开关管驱动。

值得注意的是，由于电流有效值最优化的控制参数在中等功率段解析表达式复杂，无法进行数字控制[22]，因此在电流有效值最优化的实验中只进行了开环实验。

当输入电压Vin=400 V、 输出电压Vout=320 V、输出功率为1.6 kW 时，图7 给出了DAB 变换器在3 种调制方法下的电压、电流实验波形。

表5 DAB 变换器实验样机参数Tab. 5 Parameters of experimental prototype of DAB converter

输出功率增大为6 kW 时，图8 给出了DAB 变换器在3 种调制方法下的电压、电流实验波形。

图6 基于相平面优化的控制框图Fig. 6 Control block diagram based on phase-plane optimization

图7 输出功率为1.6 kW 时3 种调制方法下的电压、电流实验波形Fig. 7 Experimental waveforms of voltage and current under three modulation schemes with 1.6 kW output power

图7 中， 在单移相调制下副边开关管硬开通，而电流有效值最优化调制和相平面优化均可实现全部开关管ZVS；在电流有效值和电流应力方面，3种调制方法的电流有效值分别为6.8、3.9 和4.8 A，电流应力分别为13.6、9.6 和10.2 A。 图8 中，3 种调制方法均可实现全部开关管ZVS；3 种调制方法的电流有效值和电流应力十分接近，电流有效值分别为23.7、23.1 和23.3 A， 电流应力分别为32.3、31.9 和31.7 A。

图8 输出功率为6 kW 时3 种调制方法下的电压、电流实验波形Fig. 8 Experimental waveforms of voltage and current under three modulation schemes with 6 kW output power

实验条件为： 输入电压Vin=400 V， 输出电压Vout=320 V。 变换器在所提控制方法下的动态实验波形如图9 所示。 图9（a）为输入电压突变所对应的动态过程，Vin由400 V 降低至320 V，Vout为320 V，负载功率为0.6 p.u.，电流应力由23.5 A 下降至20.8 A，Vout的响应时间与电压波动分别为90 ms 和55 V。 图9（b）为负载突变所对应的动态过程，负载功率由0.3 p.u.增大至0.6 p.u.，电感电流应力由15 A 上升至23.5 A，Vout的响应时间与电压波动分别为104 ms 和63 V。

由于图6 基于相平面优化控制框图中采用了较为保守的PI 参数，以确保变换器在调节过程中没有超调，且最优控制坐标指令先经过低通滤波器以避免控制参数的波动，因此，变换器的动态响应时间相对较长。

当输出功率由额定负载的10%逐渐增大至满载时，3 种调制方法的效率、电流有效值、电流应力以及电压有效值对比分别如图10（a）～（d）所示。

从图10 中可以看出， 随着输出功率的逐渐增大，3 种调制方法的电流有效值和电流应力都增大，在输出功率小于0.63 p.u.时，单移相调制由于副边开关管硬开通、 电流有效值和电流应力大等缺点，导致其效率较低。 相平面优化调制虽然在功率较小时效率比电流有效值优化调制略低，但是输出功率大于0.32 p.u.时二者差异已经很小，随着输出功率的逐渐增大，3 种调制方法的效率差异不断减小，效率最高点在输出功率为0.88 p.u.时由相平面优化调制得到，为95.1%。

在电流有效值和电流应力方面，相平面优化调制和电流有效值优化调制的电流有效值和电流应力接近，都优于单移相调制，这点在输出功率较小时尤为明显。

图10 3 种调制方法下运行效率、电流有效值、电流应力以及电压有效值与输出功率的关系曲线Fig. 10 Curves of operation efficiency, IRMS, current stress, and VRMS with respect to output power under three modulation schemes

在电感电压有效值方面，相平面优化调制的电感电压有效值小于电流有效值优化调制的电感电压有效值， 小于单移相调制下的电感电压有效值，这个结果可以在一定程度上说明相平面优化调制具有较小的磁性元件损耗。

4 结论

本文针对DAB 提出了一种基于相平面的优化方法。 以DAB 相平面轨迹与坐标轴围成的面积为目标函数，该目标函数具有表达式简单、能部分反映DAB 电感电流有效值的优点。 对该目标函数采用相对偏导增益法和分而治之的优化方法，得到了全范围优化控制坐标。 最后，将所提相平面优化调制与单移相和电感电流有效值最优化调制进行了对比，结论如下。

（1）本文所提出的相平面优化调制方法控制坐标简单，可以方便地进行数字控制。

（2）除了在极低功率下，相平面优化调制与电流有效值优化调制具有接近的电流有效值、电流应力和效率，二者均优于单移相调制，这点在功率较小时尤为明显。