一类输入饱和非仿射非线性系统的非线性动态逆控制

杨 浩,裴海龙

(华南理工大学 自主系统与网络控制教育部重点实验室;广东省无人机系统工程技术研究中心,广东 广州 510640)

1 引言

输入饱和普遍存在于各类实 际系统中,如空间飞行器[1]、电 机伺服系 统[2]等.输入饱和的出现有可能导致闭环系统暂态性能下降甚至发散[3].因此针对含有输入饱和系统的控 制器设 计吸引了大量研究人员的参与.文献 [4]针对一类含有输入饱和的线性系统提出了一种复合非线性控制方法.文献 [5]为一类含有输入饱和的多输入多输出非线性系统提出了基于估计的自适应控制算法.文献 [6]为在输入饱和影响下的Takagi-Sugeno系统提出 了容错约束控制器.文 献 [7]为严格反馈型输入饱和非线性系统设计了复合非线性反馈控制器.

然而上述控制方法仅适用于具有仿射结构的被控对象,无法直接应用于非仿射非线性系统,而该类系统常常出现于很多前沿应用领域,如大攻角机动飞行状态下的高超音速飞行器[8],大迎角飞行下的舵面控制系统[9]等.近年来针对含有输入饱和限制的非仿射非线性系统的控制研究取得了不少成果.如文献 [10]中基于扩张状态观测器的自适应控制方法,以及文献[11–12]中基于人工神经网络与模糊控制的相关算法等.然而基于扩张状态观测器的相关方法有可能伴随着结构复杂且控制器参数较多并缺乏调节依据等不足[13].而基于神经网络与模糊控制的方法往往伴随较重的计算负荷,从而限制了在实际系统中的应用[14].

本文为一类含有输入饱和的非仿射纯反馈非线性系统提供了一种基于奇异值摄动理论[10]的非线性动态逆控 制器设计方法.首先 通过被称 为“ 近似动 态逆”的控制方法[15–16]为不考虑输入饱和影响的标称系统设计一个快变子系统,并使该快变子系统能以指数形式收敛到期望的非仿射函数精确逆上.在慢时间尺度下,快变状态可以被视为标称系统的控制量,并将其转化为积分器串联的线性系统,从而应用已有的控制方法.之后,在快变子系统的基础上构建一个中间子系统,对输入饱和造成的影响进行估计和补偿.最后通过奇异值摄动理论保证闭环系统指数跟踪参考轨迹.

本文提出的非线性动态逆控制方法通过构建快变子系统和中间子系统引入多时间尺度,通过基于奇异值摄动理论的分析方法在不同的时间尺度中对原系统进行简化和控制器设计.本文所提控制方法的主要特点包括:1) 控制器有效性不依赖于原系统自身固有的时标分离特征;2) 避免了反步法中经常出现的“复杂性爆 炸 ”(explosion of complexity)问 题;3) 具有良好的扩展性.可以根据实际需求与不同的控制方法相结合,使大量已有的控制方法能够应用于含有输入饱和的非仿射纯反馈非线性系统;4) 闭环系统可以指数跟踪参考轨迹.

2 问题描述及准备

本文的主要数学符号定义如下:Da表示与变量a相关的开连通集;R表示实数域;Rn表示n维实向量空间;|a|表示a的绝对值;Br表示球域{x ∈Rn|‖x‖≤r}.

2.1 问题描述

考虑一类含有输入饱和的非仿射纯反馈非线性系统:

其中M >0为一正常数.系统(1)的标称系统定义如下:

设式(3)中的标称系统满足如下假设.

假设1在

注1假设1是传统近似动态逆控制器设计过程中的常用假设[15–16].

假设2参考轨迹yr及其高阶导数存在且有界.

假设3考虑如下积分器串联系统:

其中:x=[x1···xn]T∈Rn为状态向量,u ∈R为控制输入.存在反馈控制律u=G(x)使式(4)在原点处指数稳定.

注2积分串联系统的结构比较简单，且假设3对反馈控制律G的具体形式不做要求.这表明很多已有的控制方法都可以满足假设3.

本文将为式(1)中含有输入饱和的非仿射纯反馈非线性系统设计跟踪控制器,使输出轨迹y指数跟踪参考轨迹yr.

2.2 奇异值摄动理论

考虑如下非线性系统:

其中:0<ε <<1被称为奇异值摄动参数;x ∈ Dx为慢变状态,z ∈ Dz为快变状态;ξ(ε)和η(ε)为光滑函数;f和g为在定义域

上足够光滑的函数,其中Dx⊂Rn和Dz⊂Rm为开连通集,ε0>>0.如果对于(t,x)∈[0,∞)× Dx,方程0=g(t,x,z,0)都有k≥ 1个孤立实根:z=hi(t,x),i=1,2,···,k,则称(5)中的系统为奇异值摄动标准型系统.根据奇异值摄动理论,分别在慢时间尺度t和快时间尺度中令ε=0,则可得到两个降阶子系统,降阶慢变子系统:

和边界层子系统:

其中v=z −h(t,x),ξ0=ξ(0),η0=η(0).

引理1(定理11.4[17]) 考虑式(5)中的奇异值摄动系统.假设对所有

的点都满足下面的条件:

A1)f(t,0,0,ε)=0,g(t,0,0,ε)=0.

A2) 方程0=g(t,x,z,0)存在孤立根z=h(t,x),且h(t,0)=0.

A3) 对于z −h(t,x)∈ Bρ,函数f,g,h及其一阶、二阶偏导数有界.

A4) 降阶慢变子系统(6)在原点处指数稳定.

A5) 边界层子系统(7)在原点处指数稳定,在(t,x)上一致.

则存在一个正常数ε∗>0,当ε <ε∗时,奇异值摄动系统(5)在原点处指数稳定.

文献[16]指出,引理1中的条件(A5)可以通过下面的引理2局部验证.

引理2(定义11.1[17]) 当边界层子系统(7)的雅克比矩阵[]的特征值对于所有[0,∞)× Dx上的点都满足

则有平衡点v=0为边界层子系统的指数稳定平衡点，且在(t,x)∈[0,∞)× Dx上一致.

3 非线性动态逆控制器设计

本文所提非线性动态逆控制器的设计过程可以分为两部分.首先通过反步法为标称系统构建快变子系统,之后考虑含有输入饱和的原系统并设计中间子系统对输入饱和带来的影响进行估计与补偿.

3.1 快变子系统

快变子系统的设计过程包含n步.前面的n −1步设计虚拟控制量，最后一步设计实际控制量.

第1步 将跟踪误差e1=x1−yr=x1−α0代回标称系统(3)可得

3.2 中间子系统

4 稳定性分析

定理1考虑满足假设1的含有输入饱和的非仿射纯反馈非线性系统(1),以及满足假设3的反馈控制律G.假设所有上的点都满足下列条件,其中

则在式(10)(15)(20)(26)和式(28)构成的非线性动态逆控制器作用下,存在正常数ϵ∗>0和,使得对于所有ϵ <ϵ∗和,都有系统(1)的输出信号y指数跟踪参考轨迹yr.

证将式(10)(15)(20)(26)和式(28)构成的非线性动态逆控制器带入式(1)所表示的饱和非仿射纯反馈非线性系统,则闭环系统可以表示为如下奇异值摄动标准型:

其中z=[z1···zn]T,q=[Q1Q2···Qn]T,h=[h1···hn]T,且

基于奇异值摄动理论,令ϵ →0,可以得到闭环系统(32)的边界层子系统:

和降阶慢变子系统:

对于式(32)中的奇异值摄动系统,定理1中的条件(B1)–(B2)和条件(B4)直接满 足引理1中的条 件(A1)–(A3).通过条件(B5)可得[10–14]

考虑式(32)中的闭 环系统,条 件(B1)–(B2)(B4)直接满足引理1中的条件(A1)–(A3).根据文献 [15–16],结合假设1,条件(B5)和引理2可得边界层子系统(34)在原点处局部指数稳定.现在只需证明降阶慢变子系统(35)在原点处指数稳定.由其结构可以看出,式(35)也为奇异值摄动标准型.令ϵ1→0可得式(35)所对应的降阶慢变子系统:

和边界层子系统:

易知式(35)中的奇异值摄动系统满足引理1中的条件(A1)–(A3)(A5).根据假设3可知式(37)中的积分器串联系统在原点处指数稳定,并由引理1可知式(35)在原点处指数稳定.至此闭环系统(32)满足引理1中的全部条件.证毕.

5 仿真示例和分析

5.1 仿真示例1

为验证本文所提非线性动态逆控制方法的有效性,考虑如下二阶非仿射纯反馈非线性系统[18]:

其中:x1,x2为状态变量;u为控制输入;y为系统输出.为了验证本文控制方法的跟踪性能,使用文献 [18]中的自适应动态面算法进行对比仿真,其它条件不变,但只对本文控制器进行输入饱和限制.参考轨迹为;系统的初始状态设为

输入饱和设置为M=5;控制律使用文 献 [19]中的模型预测控制器:

从图1中的轨迹曲线可以看出,在本文所提控制方法的作用下,系统的输出量可以更快速地跟踪参考轨迹,并且完全消除稳态误差.相比于动态面控制,本文提供的非线性动态逆控制器具有更好的闭环跟踪性能.

图1 输出轨迹与参考轨迹Fig.1 Output trajectory and reference trajectory

图2中跟踪误差曲线则验证了定理1中闭环系统指数跟踪参考轨迹的稳定性结论.图3中,状态变量x2始终保持有界.

图2 跟踪误差e1=yr−x1Fig.2 Tracking errore1=yr−x1

图3 状态响应曲线x2Fig.3 Response curve ofx2

从图4中可以看出,在整个控制过程中,控制量都被限定在输入饱和允许的幅值范围内.仿真结果验证了本文非线性动态逆控制算法的有效性.

图4 控制输入曲线Fig.4 Curve of control input

为进一步验证控制方法的有效性,假设系统(39)的状态都受到测量噪声的影响:

为了方便进行对比,其它条件均保持不变.

从图5–8中可以看出,即便受到测量噪声的影响,本文中的控制器依然保持了良好的控制性能.从图9中可以看出,在测量噪声的干扰下,本文控制量没有产生明显波动.相较于对比方法,本文的控制方法在测量噪声和输入饱和的双重影响下可以取得更好的跟踪效果.

图5 测量噪声下的输出轨迹与参考轨迹Fig.5 Output trajectory and reference trajectory under measurement noise

图6 测量噪声下的跟踪误差e1=yr−x1Fig.6 Tracking error under measurement noisee1=yr−x1

图7 测量噪声下的状态响应曲线x2Fig.7 Response curve ofx2under measurement noise

图8 测量噪声下的控制输入曲线Fig.8 Curve of control input under measurement noise

5.2 仿真示例2

考虑如下单连杆机电系统:

其中:

单连杆机电系统的物理参数如下:

令x1=θ,,x3=τB,u=V,则式(41)中的单连杆机电系统可以重新表示为如下非仿射形式:

其中:

按照文献 [16]为三阶积分器串联系统设计传统近似动态逆控制器如下:

其中ki>0,i=1,2,3,为传统近似动态逆控制器的反馈增益系数.

现将系统的初始状态设为x1(0)=0,x2(0)=2,x3(0)=1,u(0)=0;参考轨迹选为;的反馈增益系数设置为k1=1,k2=3,k3=5.在本示例中,将传统近似动态逆控制器应用于式(42),作为对照组.在其它条件不变的情况下,仅对本文控制 器进行输 入饱和限制.奇异值 摄动参数设为ϵ=0.01,ϵ1=0.1.

从图9–10中可以看出,传统近似动态逆控制器要实现对参考轨迹的跟踪,所需要的控制量最大幅值约为110左右.而在本文所提的控制方法下,控制量虽然被输入饱和限制在[−10,10]的范围内,但依然取得了与传统近似动态逆控制方法相同的跟踪性能.

图9 响应曲线和参考轨迹Fig.9 Response curves and reference trajectory

图10 控制输入曲线Fig.10 Curve of control input

6 结论

本文针对一类含有输入饱和的非仿射纯反馈非线性系统提出了一种基于奇异值摄动理论的非线性动态逆控制器设计方法.该控制方法无需设计额外的观测器,并且避免了反步法中的复杂性爆炸问题.相比于传统的近似动态逆控制器增加了中间子系统,从而可以对输入饱和带来的影响进行估计和补偿.控制器的有效性不依赖于被控系统的时标分离特性,并具有良好的扩展性,能够与多种控制算法结合.仿真结果验证了本文所提控制方法的跟踪性能与有效性.