一类带有变指数增长的Neumann问题

蒙 璐，储昌木，雷 俊

贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵阳 550025

考虑如下非线性Neumann问题：

(1)

其中Ω⊂RN(N≥3)是边界光滑的有界域，

(2)

(f1) 存在常数a>0和0<σ<1，使得对任意(x，s)∈Ω×R，|f(x，s)|≤a|s|σ；

近年来，对具有Neumann边界的椭圆型偏微分方程的研究引起了许多学者的注意，也获得了一些新的成果(见文献[1-10])．此外，文献[11]研究了如下带有变号位势的Neumann问题：

其中Ω是RN中光滑的有界域，p>1，a(x)是Ω上变号的连续函数，并利用约束最大化方法探讨了半线性椭圆型问题正解的存在性．

文献[12]研究了以下问题：

问题(1)对应的泛函为

其中u∈H1(Ω)，

由文献[10]知，H1(Ω)可作直和分解

H1(Ω)=R⨁V

其中

对u∈H1(Ω)，有u=t+v，其中v∈V，

时，有

证若不然，则对∀n∈N，存在tn∈R，vn∈V，使得当

时，有

(3)

或

(4)

由ωn在Lp-(Ω)和Lp+(Ω)上均趋于0知

当|tn|≤1时，对∀x∈Ω，|tn|p+-p-≤|tn|p(x)-p-≤1．(4)式两边同时除以|tn|p-，可得

即

同样，当n→∞时，有

综上所述，引理1的结论成立．

引理2假设条件(f1)，(f2)和(2)式成立，则存在λ*，β，ρ>0，使得对任意λ∈(0，λ*)，有：

证当|t|≤1时，对某一固定的η>0，若‖v‖2≤η|t|，则由引理1可知

其中

因此

(5)

(6)

由Sobolev不等式知，当‖u‖V=ρ<1时，存在常数C1>0，使得

故当‖u‖V=ρ<1时，

取

就有

由‖u‖V=ρ和(6)式，有

(7)

由条件(f1)知，存在常数C(ρ)>0，使得

因而，对‖u‖V=ρ，存在λ*>0，当0<λ<λ*时，有

由mes(Ω1)>0，则

注意到p->2，当t→∞时，Jλ(tv0)→-∞．取t1充分大，使得ω=t1v0满足‖ω‖≥ρ，则Jλ(ω)<0．

引理3假设条件(f1)，(f2)和(2)式成立，则存在Λ*>0，使得0<λ<Λ*时，Jλ满足(PS)条件．

证设{un}是H1(Ω)中的任一(PS)序列，则存在c>0，使得当n→∞时，有

(8)

由(8)式可得

(9)

(10)

由条件(f1)知

由于‖vn‖=1，则存在C≥0，使得

故当n→∞时，

类似地可以推出，当n→∞时，

由此，

则当n→∞时，可得

取任意的i，j∈N，就有

又因为

定理1假设条件(f1)，(f2)和(2)式成立，则存在λ*>0，使得0<λ<λ*，那么问题(1)有两个非平凡解．

证由引理2知

由山路引理知，问题(1)存在另一个解u2，满足Jλ(u2)=cλ>0．由于

Jλ(u1)<0=Jλ(0)

故u1和u2是问题(1)的两个不同的非平凡解．