广义协变Hamilton系统的应用

王 根

(厦门大学 数学与科学学院,福建 厦门 361005)

1 广义结构Poisson括号与广义协变Hamilton系统

其中，结构矩阵Jij(x)=-Jji(x)，广义Hamilton系统的表达式为

定义1[6]r上两个函数f,g∈C∞(M,)的广义结构Poisson括号

{f,g}={f,g}GPB+G(s,f,g),

其中,G(s,f,g)=-G(s,g,f)∈C∞(M,)为几何括号，并且它的表达式为

G(s,f,g)=f{s,g}GPB-g{s,f}GPB.

几何括号的引进对于推广后的广义Poisson括号是必须的, 它成功地将流形结构与函数的动力学演化连接了起来, 极大地扩大了研究的范围.因此，完整的广义结构Poisson括号可以写为

{f,g}={f,g}GPB+f{s,g}GPB-g{s,f}GPB.

显然，通过在流形上引入一个几何标量函数，一个结构函数或势函数s∈Ck(M)，它是一个由相应的流形空间决定的实值光滑函数.注意，s∈Ck(M)中的势函数s只表示流形本身的属性.换句话说，它的具体公式由流形给出.这将适用于许多环境.

很显然，根据广义结构Poisson括号立刻就可以给出广义协变Hamilton系统的表达式.

定理1[6]根据广义结构Poisson括号,则有

定理2[6]流形上典则完备Hamilton方程与典则协变Hamilton方程分别为

式中{·,·}={·,·}GPB+G(s,·,·)为广义结构Poisson括号,Di=∂i+Ai为广义导数算子.

正则协变哈密顿方程，由广义协变哈密顿系统关于xk和pk给出，可以精确地写成

式中，bk=JjkAj, 以及Ak=∂ks为结构导数，对于坐标与动量的完整广义Hamilton系统分别为

{xj,pk}=δjk+xjAk-pkbj.

2 V-测地线方程

对于V-测地线方程，代入S-动力学系统，很显然，我们可以得到

3 算例

这是广义Hamilton系统理论描述的.

下面我们考虑广义协变Hamilton系统.首先考虑完整的广义Hamilton系统，

式中,Ak=∂ks.此时的S-动力学系统经过计算表达式为

4 展望

研究广义协变 Hamilton系统已经取得了一些成果，由于它本身就是描述非线性系统，这一点可以从V-测地线方程看出，对于广义协变Hamilton系统的许多细节还有待于进一步研究，例如广义协变Hamilton系统的对称性问题等.