一道面积问题的多解和两个一般性结论

蒋良金

[摘  要] 文章对一道平行四边形面积问题进行多种思路探究，得到多种解法和一个这类问题的一般性结论与一个这类问题的求解公式.

[关键词] 面积;多解;结论;公式

起因和解法1

一位学生向笔者请教一道课外习题：

如图1所示，在？荀ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上.

（1）若AB=10，AB与CD间的距离为8，AE=EB，BF=FC，求△DEF的面积.

（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积.

学生会做第（1）小题，要請教的是第（2）小题怎么解. 笔者看了一下第（1）小题，了解其解题思路和命题者的意图，于是画出图2.

过点F作FM⊥AB于点M，交DC延长线于点N. 设AE=a，BE=b，FM=x，FN=y，则有 a（x+y）=5， （a+b）y=4， bx=3，化为a（x+y）=10，  ①（a+b）y=8，   ②bx=6.        ③

由①+③=②×2得：a（x+y）+bx=2（a+b）y，所以ax+bx-ay-2by=0，该式不能解决问题.

由③×2+②=①×2得：2bx+ay+by=2ax+2ay，所以（b-a）（2x+y）=0. 因为2x+y≠0，所以b-a=0，所以a=b. 那么由②得by=4，所以bx+by=6+4=10，即b（x+y）=10，那么S？荀ABCD=a（x+y）+b（x+y）=20，所以S△DEF=20-5-3-4=8.

在上述的解题过程中，为什么由①+③=②×2得的结果不能解决问题，而由③×2+②=①×2得的结果能解决问题？这种解法怎么会有偶然性？这引起学生的疑惑和笔者的思考，促使笔者对此题进行深入探究，得到下列解法和一般性结论.

解法2

利用同高的两个三角形的面积比等于底边的比，两相似三角形高的比等于边长比，平行四边形对角线把其面积平分等知识求解，得到解法如下：

解 如图3，连结BD，设S△BDE=a，则S△BDF=a+1，设AD=m，AE=n，则由同高的两个三角形面积比等于底边的比得BE= ，再由两相似三角形高的比等于边长的比得BF= ，所以CF=m- ，所以 = ，化简得 = ，（a+1）（a-3）=12，解得a1=5，a2=-3（不合题意，舍去）. 所以S？荀ABCD=2（5+a）=20，S△DEF=20-5-3-4=8.

一般性结论1（解法3）

笔者顺着第（1）小题的解题思路，试着把一些量用字母表示并进行推导，结果喜出望外，于是得到具有一般性的解法：

解 如图2，过点F作FM⊥AB于点M，交DC延长线于点N. 设BE=a，AE=k1a，FM=h，FN=k2h. 则S△DEF=（1+k1）a（1+k2）h- k1（1+k2）ah- ah- （1+k1）a·k2h=（1+k1+k2+k1k2- k1- k1k2- - k2- k1k2）ah= （1+k1+k2）ah.

因为 k1（1+k2）ah=5， ah=3， k2（1+k1）ah=4，化为k1（1+k2）= ，k2（1+k1）= ，解得k1=1，k2= .

所以S△DEF=31+1+ =8.

有了这个解平行四边形中此类面积问题的一般性公式，使此类问题不再是难题. 例如，若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为6、3、4，则有k1（1+k2）=2，k2（1+k1）= ，解得k1= ，k2= .那么S△DEF=31+ + = .

解法4

笔者再利用平行线间同底等高的三角形面积相等，同高的两个三角形的面积比等于底边比，得到解法如下：

解 如图4，连结AC，AF，CE，AF与CE交于点G. 设S△EFG=x，S△CFG=y. 由等积变换知S△ACE=S△ADE=5，S△ACF=S△DCF=4，所以S△ACG=4-y，S△AEG=5-（4-y）=y+1. 由同高的两三角形面积比等于底边的比，得 = = ，所以 = . 设x+y=t，则（t+3）（t+1）=15，（t-2）（t+6）=0，因为t+6≠0，所以t-2=0，t=2. 所以S△ABC=2+3+5=10，S？荀ABCD=20，所以S△DEF=20-5-3-4=8.

在解法1、解法2和解法4中，都有明地或隐地得到E是AB的中点. 本题的难点是如何说明E是AB的中点. 能证明E是AB中点，其余就会迎刃而解，这也解答了解法1时的疑虑.

一般性结论2（解法5）

在找到解法4后，受一般性结论1的启发，再试着把解法4中的一些量用字母表示并进行推导，又得到喜人的结果，出现了更一般的解法：

解 如图4，设S△ADE=a，S△BEF=b，S△CDF=c，S△EFC=t，则S△AEF=t+a-c，S△BCE=t+b. 因为 = ，所以 = ，则（t+b）（t+a-c）=ab.

整理得t2+（a+b-c）t-bc=0，因为t为正数，所以t= . 因此得到解此类问题的公式S△DEF=2（a+t+b）-a-b-c= . 把已知代入即得S△DEF= =8.

当a=6，b=3，c=4时，S△DEF= = . 这验证了两种一般性解法是互通的.

对一些问题进行深入探究，可能会一无所获，也可能有意想不到的收获. 本例从解题疑惑引发笔者进行多种思路的探究，可谓收获颇丰，更值一提的是推导出了解此类问题的公式S△DEF= （公式中的a，c可以互换）.