基于核心素养的高中数学微专题复习课的教学设计
——以立体几何二面角问题教学为例

广东省广州市真光中学(510380) 杨 晖

1 问题提出的背景

微专题教学通常以某个知识点为主题,围绕教学的重点和关键点设计的,利用具有紧密相关性的知识或方法形成的专项研究,能达到有效突破重难点的效果,给高中数学复习课的教学带来了生机和活力,是提升复习课效率的有效果途径.但是微专题的设计如果只定位知识和技能,对发展学生的数学核心素养是不利的,《普通高中数学课程标准(2017年版)》中指出:“学科核心素养是育人价值的集中体现,是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.”数学学科核心素养包括: 数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析,它们既相对独立又相互交融,是一个有机的整体.为培养学生的学科核心素养,我们需要在日常教学中转变传统复习课的观念,传统的高中数学复习课基本上以教师讲题、学生练习为主,教师设置几道典型例题学生做几道变式题,或教师提问学生回答,亦或学生上台板书等等,其侧重点在接受、练习与记忆,基础训练扎实,但存在对某些重难点知识不能有效集群,对学生的易错点针对性不强等问题,而微专题对知识点的整合和优化能弥补传统课堂的这些问题,能够在短时间内专门解决问题集.如果在进行教学设计时,把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计,从不同角度体现数学学科核心素养,把数学知识的横纵联系合理建构,在关注知识与技能的同时,思考知识与技能所蕴含的数学本质、体现数学思想,最终实现学生形成和发展数学核心素养的目标是非常有价值的,为此笔者提出了基于高中数学核心素养的微专题设计方案,本文以“立体几何二面角问题”教学为例,浅谈一下自己的认识.

2 构建微专题复习课教学设计

(1)确定微专题: 微专题的设置就是为了解决某个具体的问题,一般是复习过程中学生暴露出来的易错点、重难点知识而提炼出来的主题.

(2)分析教学内容: 确定了微专题后,要对这个知识点进行教学内容分析,确定教学的的具体内容,教学内容要紧紧围绕着微专题点去阐释,设计的教学内容要有一定的层次和丰富性,有提升能力的要求但也不能过于拓展.

(3)教学设计的思路和目标: 通过同一问题不同的角度的思考,让学生观察、分析、对比、总结出求立体几何二面角问题的一般方法,提升学生的数学核心素养.需要注意的是我们在确定教学目标时,需要明确教学目标的主体是学生,亦即教学目标要有主体性,核心素养是面向学生的,这也是培养核心素养所最为强调的.

3 微专题复习课的教学案例

(1)案例分析: 在复习教学中,布置学生做这样一道作业题:

(2019•新课标卷Ⅲ理科第19 题)图1 是由矩形ADEB、RtΔABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.

图1

(1)证明:图2 中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE;

(2)求图2 中的二面角B −CG −A的大小.

图2

设计意图: 本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,命题的本意是让学生回顾线面关系及二面角问题的一般方法,并用它来解题.但是批改结果不尽如意,第一问证明平行于垂直关系比较常规,学生的解答尚好,第二问绝大部分学生用了“向量法”求解,但存在建系不好、逻辑混乱、计算错误诸多问题.这说明学生解题视野不开阔,对于立体几何问题的思考只局限于所谓万能的“向量法”,其逻辑思维能力、创造力、分析力严重被削弱,不符合数学核心素养的培养目标,由此可提炼出关于“立体几何二面角问题”的微专题.

(2)类题展示,合作探究

例题1如图,边长为2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.

(1)证明: 平面AMD⊥平面BMC;

(2)当三棱锥M −ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.(注: 例题1 第一问证明面面垂直不是本节课的重点,略)

环节一 一题多解

老师: 请同学们思考点M运动到何位置时三棱锥M −ABC体积最大?

学生(齐答) : 点M为弧CD最高点即中点时三棱锥M −ABC体积最大

老师: 请同学们完成第二问的解答并展示解答过程

学生1: 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M −ABC体积最大时,M为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(−2,0,0).

设n= (x,y,z) 是平面MAB的法向量,则可取n=(1,0,2).是平面MCD的法向量,因此cos

学生2: ∵ΔABC的面积为定值,∴要使三棱锥M −ABC体积最大,则三棱锥的高最大,此时M为圆弧的中点,建立以O为坐标原点,如图所示的空间直角坐标系,∵正方形ABCD的边长为2,∴A(2,−1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的法向量m=(1,0,0),设平面MAB的法向量为n= (x,y,z),则= (−2,1,1),由=−2x+y+z= 0,令x= 1,则y= 0,z= 2,即n= (1,0,2),则cos< m,n >=设面MAB与面MCD所成二面角为α,则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值:sinα=

老师: 二面角问题是高考的高频考点,基本在立体几何大题中考查,难度中等,从前面同学们的展示来看同学们对“向量法”已经非常熟悉,事实上教材还给我们提供了“几何法”它能规避“向量法”繁琐的运算,同学们也应加以重视,有没有同学可以展示“几何法”?

学生3: 二面角的公共棱找不到,没有公共棱怎找二面角的平面角?

老师: 找二面角的棱是关键,同学们能不能尝试寻找到公共棱呢?

学生4: 二面角的棱应该是面MAB与面MCD的交线,但是题中只有一个交点M.

学生5: 如右图,因为DC//AB,从而DC// 平面ABM,由线面平行的性质定理可知DC与面MAB与面MCD的交线平行,所以过M做一条直线EF//DC,那么EF就是面MAB与面MCD的交线,连接M与AB与DC的中点O、P,那么角∠OMP就我们要找的平面角.

MO=1,OP=2,MP=即sin ∠MOP=

学生6: 我的直观想象比较差,不理解公共棱的做法!

学生7: 如右图,将原几何体补成如图所示的长方体,平面DCM// 平面ABN,于是将两个平面的二面角转化成平面ABN与平面ABM的二面角,他们的交线显然是AB,从而∠MPN为所求二面角的平面,解RtΔMNP得到sin ∠MPN=

学生6: 我明白了,补成长方体以后(如右图) 平面ABM也就是平面ABC′D′,那么公共棱很显然就是C′D′.

学生: 是哦! (掌声)

学生6: 这种方法很直观,理解起来很容易.

老师: 同学们棒极了!

设计意图: 以“向量法”为切入点,通过一题多解引导学生探究“几何法”,让学生体会到一题多解的乐趣,拓宽学生的视野,整合所学的知识,培养学生的数学抽象、直观想象、数学建模的数学核心素养.

环节二 一题多变

变式1: 当三棱锥A −MBC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

变式2: 当DM与平面ABCD所成角是时,求面MAB与面MCD的二面角的正弦值.

变式3: 当M在圆弧上运动时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值的取值范围.

变式4: 当面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是求直线AM平面MBC所成角的正弦值.

设计意图: 引导学生从“变”中发现“不变”的本质,从“不变”中探究“变”的规律,帮助学生使所学的知识融会贯通,培养学生数据分析、数学运算等数学核心素养.

学 生 9: 做EK⊥CG,由 题意 知AB⊥BE,即AB⊥CG,即DE⊥CG易知CG⊥平面DEK,从而AB⊥CG,从而DK⊥CG,所以∠EKD就是二面角B −CG −A的平面角,而且∠HED是直角,易求得∠EKD=30°.

老师: 真厉害,从作业来看大部分同学是建系求解的,请你们对比一下这两种解法,相信一定会有收获.

设计意图: 通过案例再现,进一步强化学生的认识,让学生体验到学习的乐趣,增强自信心,树立积极思考的学习态度,提高学习的自我效能感,达到触类旁通,举一反三的作用.

(3)课后反馈,动手实践

1.如图,正方体ABCD −A1B1C1D1中,点E,F分别是BB1和DD1的中点,则平面ECF与平面ABCD所成的角的余弦值为( )

2.如图,在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC −A1B1C1中,侧面AA1C1C ⊥底面ABC,底面ΔABC是边长为2 的正三角形,A1A=A1C,A1A ⊥A1C.

(1)求证:A1C1⊥B1C;

(2)求二面角B1−A1C −C1的正弦值.

3.(2017 新课标卷Ⅰ理科第18题)如下图,在四棱锥P −ABCD中,AB//CD,且∠BAP= ∠CDP=90°.

(1)证明: 平面PAB ⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD= 90°,求二面角A −PB −C的余弦值.

4.如下图,在四棱柱ABCD −A1B1C1D1中,AB//CD,AB=BC=CC1=2CD,E为线段AB的中点,F是线段DD1上的动点.

(1)求证:EF//平面BCC1B1;

(2)若∠BCD=∠C1CD=60°,且平面D1C1CD ⊥平面ABCD,求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.

设计意图: 设计课后反馈题,是教师掌握学生课堂学习效果与质量的重要环节,反馈题围绕本节课的学习内容,让学生独立思考,要求学生尝试一题多解,通过对比小结,提高学生的分析问题与解决问题的能力,促进学生实践能力和创新意识的发展.

4 小结与反思

用向量来处理立体几何问题,体现了“数”与“形”的有机结合,降低了思维难度,但是也淡化了传统几何从“形”到“形”的推理论证.许多教师和学生在处理空间角的计算问题时采用一种单纯的代入公式法,无需任何分析,加上平时教学对二面角及相关的概念的不重视,学生只知道“法向量”这个万能工具,导致了学生只会这一种方法,实际上“几何法”有时也有优势,而且从近几年高考立体几何解答题来看“法向量”有弱化的趋势,这值得我们关注.因此在设计微专题时,以“向量法”为切入点,通过知识的回顾、一题多解、一题多变、案例再现等环节引导学生探究“几何法”,将传统的“以知识为点为核心”的教学观念转变为“以核心素养为导向”的教学观念,激发学生的求知欲.引导学生学会发现问题、分析问题、解决问题、多角度的思考问题,进而提高复习效率,提升学生数学核心素养.