冲击荷载下锚固体动力学方程与数值分析

汤红枪，党鹏远，陈 达

(1.河南能源化工集团 永煤公司城郊煤矿，河南 永城 476600；2.中国矿业大学 力学与土木工程学院，江苏 徐州 221008)

随着煤矿开采深度的增加，矿压冲击危险性加剧。锚杆支护动态荷载作用下的锚杆支护作用机理引起了众多学者和工程师的密切关注[1-4]。Mc Creath等[5]通过大量实验和理论分析对冲击地压巷道支护机理问题进行了研究，认为在有冲击危险的巷道中，所选用的锚杆必须具有较好的延展性能，即锚杆具备较强的吸收弹性应变能的能力。Anders Ansell[6-7]利用落锤试验研究了一种新型吸能锚杆的动态力学性能，指出吸能锚杆的吸能原理是锚杆和围岩一起屈服并产生大塑性变形。Charlie C L等[8-9]研发了一种新型能量吸收锚杆——D锚杆，并详细分析了D锚杆在静力和动力荷载下杆体的力学响应。鞠文君[10]认为，冲击地压下锚杆支护能够强化围岩体整体强度，约束围岩变形破坏，并吸收冲击剩余能量。薛亚东等[11]对回采巷道锚杆支护进行了地震动载模拟，发现端锚支护巷道受动载的破坏较全锚小，表明动载巷道锚杆支护应采用端锚方式。付玉凯等[12]采用自由落锤冲击实验，分析了侧向冲击荷载下锚杆的动力响应。同时，在锚杆支护材料上也进行了相应的研究[13-15]，开发了超高强且具有冲击吸能功能的高级锚杆钢筋。

从现有研究成果看，锚杆支护能够起到一定的防冲吸能作用，从而可降低灾害程度[16-19]。当巷道发生冲击地压时，可利用锚杆的这种吸能作用，控制冲击地压发生时的灾害效应。笔者从锚杆支护在冲击地压下的工作机制入手，分析锚固体在动载作用下的响应特征，探索锚杆支护在冲击地压下的减灾机理和作用。

1 锚固体动力学方程

锚杆通过锚固段对围岩产生作用，围岩在外界荷载下产生变形与位移，从而对锚杆产生作用。目前对于静载作用下，锚杆支护作用机理的研究已取得了很多成果，并得到广泛应用[20-22]，但对于动载作用下锚杆支护机理的研究还不够。在此，首先建立锚固体动力学理论模型，分别建立锚固体自由段和锚固段的动力学偏微分方程，并给出初始条件和边界条件。

1.1 锚固体动力学模型

锚杆与围岩组成的锚固体示意图，如图1所示。

图1 锚固体示意图

图1中，锚杆体长为L，锚固段长为Lm，自由段长为Lz，则外露长度为(L-Lm-Lz)，截面积为Sb，截面周长为l，锚杆材料密度ρ，不计重力。在此作出如下假设：

1)锚杆体为有限长等截面均质杆，材料为质量连续分布的线性弹性体，其弹性模量为Eb(锚固体模型弹性模量)；

2)锚杆及围岩形成的锚固体为均质，且对锚杆体的作用可以用一个线性弹簧和线性阻尼器以平行的方式耦合，其分布式弹簧系数为k，阻尼系数为η，如图2所示；

3)深部围岩对锚杆的作用简化为线性分布式弹簧，其弹簧常数为kb；

4)锚杆轴向振动时锚杆、固结体及围岩只发生线性弹性变形；

5)外界动载Q(t)沿锚杆轴线方向，且均布于锚杆末端。

图2 锚杆示意图

1.2 锚固体动力学方程

1.2.1自由段分析(0≤x≤Lz)

在自由段截取锚杆单元体如图3所示。

图3 自由段锚杆微元

(1)

(2)

式中：u为锚杆体质点的位移，是x和t的函数， m；F为锚杆微元体截面的内力， N。

1.2.2锚固段分析(Lz

在锚固段截取锚杆单元体如图4所示。

图4 锚固段锚杆微元

取锚杆体微元作动力平衡分析得：

(3)

(4)

动载作用下锚杆位移沿全长偏微分方程：

(5)

方程(5)是二阶偏微分方程，表征动荷载作用下锚杆与围岩相互作用的关系。由式(5)可知，锚杆位移u(x，t)是关于锚杆长度与时间的函数，该方程的解析在数学上存在一定的困难。为了进一步揭示该方程的物理意义，采用数值模拟的方法进行分析，可揭示在冲击荷载作用下锚杆和围岩的动力响应特征，包括锚杆轴力、锚杆纵向及横向位移、围岩应力、围岩应变、振动速度变化特征等。

2 数值计算模型

利用FLAC5.0建立平面数值模型，如图5所示。模型尺寸1.0 m×1.6 m，单元数量为4 080个。其中，锚杆单元80个(自由段单元为60个，锚固段单元为20个)，岩石单元4 000个。采用Cable单元模拟锚杆，岩石采用Mohr-Coulomb模型；锚杆长度1.6 m，其中锚固段长度为0.4 m，自由段长度1.2 m。模型上下边界条件为固定X、Y方向位移，并在上下边界施加静止边界，四周施加自由场边界，初始条件为静止状态。基于城郊煤矿现场勘测结果，外界输入动荷载采用半正弦速度荷载，其方程为：v=5sin(10π×t)，频率5 Hz，峰值5 m/s，动荷载施加位置为模型右边界中部0.24 m处，上下各0.12 m对称施加，作用时间为100 ms。具体围岩和锚杆单元参数见表1和表2。

图5 锚固体模型图

表1 围岩物理参数

表2 锚杆物理参数

为观测模型各物理参数的变化规律，在模型左边界布置围岩振动速度监测线，沿整根锚杆布置位移、轴力、剪切应变等参数监测线，在离锚杆最近的围岩处布置围岩监测线。模型监测线布置见图6所示。

图6 监测线布置图

3 锚固体动力响应特征与规律

由于动力学问题会引进时间因素，导致问题的分析变得复杂，在不同时刻，动力方程可能会有不同的解，此时需要控制时间不变，分析同一时刻下锚杆与围岩的响应规律；同时，为了揭示公式(5)的物理意义，还需要对部分关键点进行时程历程分析，充分了解锚固体在不同时刻、不同位置的动力响应规律。

3.1 锚杆位移变化特征分析

3.1.1锚杆轴向位移

图7是在冲击荷载作用下不同部位锚杆单元轴向位移的时间历程曲线，图中标注表示从锚杆托盘处计算的锚杆分段长度。图8是锚杆全长在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms这4个时刻的轴向位移变化曲线。

由图7可以看出，无论是自由段还是锚固段，轴向位移随着动载作用时间的增加均在不断增大，在动载作用结束时达到最大，离动载施加处越近最终位移越大，最大值为64 mm。其增长曲线与余弦曲线相似，增长率在动载峰值处达到最大。锚杆自由段并没有与围岩产生直接作用，而且距离冲击荷载施加位置较远，锚杆对冲击荷载的响应不存在局部差异，这点通过图8也可以看出。而锚固段与围岩有直接作用，距离冲击荷载施加位置又较近，该部分对冲击荷载响应存在明显区域差异。

图7 锚杆轴向位移-时间历程曲线

图8 不同时刻锚杆轴向位移曲线

由图8可以看出，锚杆长度在1.20～1.52 m之间，锚固段位移随着与冲击源距离的减小而增大；锚杆长度在1.52～1.60 m之间，锚固段位移随着与冲击源距离的减小而越小。最终位移在距离冲击荷载施加位置80 mm处(即整根锚杆长度95%，锚固段长度80%处)达到最大。锚固段单元之间具有相对位移和整体位移，整体位移即自由段位移为43 mm，最大相对位移为21 mm，占整体位移的48.8%，而自由段只有整体位移。这是由于动载在锚杆体和岩体中产生的位移不一致，围岩与锚杆发生了相对位移，锚杆的整体位移即围岩的位移。

3.1.2锚杆径向位移分析

图9是在冲击荷载作用下不同部位锚杆单元径向位移的时间历程曲线。图10是锚杆全长在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms这4个时刻的径向位移变化曲线。

由图9可以看出，在25 ms之前，锚杆几乎没有径向位移，这也可以通过图12中25 ms的曲线看出，这是因为半正弦动载在刚开始的时候速度并不大，对锚杆的影响也不明显。25 ms之后，径向位移随着时间的增加而不断增大，在85 ms达到最大，之后不再变化。说明25 ms后，动载对锚杆开始产生作用，85 ms后动载振动速度下降，对锚杆的作用也随之减少。锚杆起始点(托盘处)和锚固段末端0.2 m范围内的锚杆径向位移在整个冲击过程中变化都很小，最大不超过1 mm。

图9 锚杆径向位移-时间历程曲线

图10 不同时刻锚杆径向位移曲线

由图10可知，25 ms后，锚杆长度方向1.02 m(即整根锚杆长度63.75%，自由段长度85%处)处径向位移始终最大，在85 ms达到最大值，最大值为7.13 mm。以锚杆1.02 m处为界，随着距该处距离的增加，锚杆径向位移不断减小。整体趋势是中间位移大，两边位移小，而锚固段径向位移变化率大于自由段。由于锚固段受到围岩约束，锚杆托盘处对锚杆位移也有约束，而自由段锚杆没有位移约束，可以沿径向振动，所以锚杆两边位移小，中间位移大。自由段不同位置距动载距离不同，而动载对其作用与其距离呈正相关关系，加之锚固段围岩对距其较近的自由段锚杆的约束效果的综合作用，最终呈现出在自由段85%处位移最大的现象。而位移最大出现的位置与动载的作用效果和锚固段围岩约束效果的相对强弱有关。

3.2 锚杆轴力变化特征分析

图11和图12分别是在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms时锚杆轴力和剪切应变曲线。

图11 不同时刻锚杆轴力曲线

由图11可知，100 ms时，锚固段不同位置锚杆轴力不同，当锚杆长度处于1.2～1.6 m(锚固段范围)之间时，随着锚杆长度的增加轴力不断减小。对比锚固段和自由段轴力可以发现，锚固段轴力比自由段轴力要小，在轴力增长时锚固段增长速度也小于自由段增长速度，在自由段与锚固段分界处，轴力变化幅度较大，锚杆的轴力是由于围岩与锚杆的相对位移产生的，锚固段围岩与锚杆相对位移较自由段小，所以自由段轴力较锚固段大。

图12 不同时刻锚杆剪切应变曲线

由图12可以看出，自由段锚杆剪切应变变化不大，锚固段剪切应变随锚杆长度增加不断减小，这与锚固段轴力变化趋势基本吻合。在自由段与锚固段分界点位置即锚杆长度为1.2 m处，锚杆剪切应变急剧增大，在此处锚杆轴力也变化较大，这种剧烈变化程度随着动载作用时间增加而进一步加深。该位置最有可能发生局部破坏，从而导致锚杆整体失效。所以在冲击荷载作用下锚杆的破坏过程中，自由段与锚固段分界点位置是一个关键控制点。另外，冲击荷载对锚杆的影响有滞后效应，即冲击荷载发生一段时间后锚杆才有响应。

3.3 围岩位移变化特征分析

此处围岩指的是离锚杆最近处同一监测线上的围岩，如图6中所示的围岩监测线。

3.3.1X方向(轴向)位移分析

图13中横坐标的距离是指沿锚杆始端(模型左边界)到锚杆终端(模型右边界)的距离。由图可以看出，随着动载的施加，围岩在X方向位移不断增大，自由段锚杆区域围岩X方向位移近乎直线增加，在100 ms之后稳定下来。不同位置最终位移虽不相同但相差不大，最大相差2.6 mm。这说明自由段锚杆范围围岩没有相对位移，只有整体位移，因为这部分围岩距离冲击荷载施加位置较远，受冲击荷载影响不明显，不存在局部差异。而锚固段锚杆区域围岩受冲击荷载影响明显，该范围围岩在X方向位移的增长速度先逐渐增大后逐渐减小，在50 ms时达到最大，位移增长曲线与余弦曲线相似。该区域围岩最终位移最大相差7.1 mm，说明该区域受冲击荷载影响较大，对冲击荷载响应存在区域差异。

在锚固段，围岩X方向位移随着锚固段长度增加而增大，最终位移在距离冲击荷载施加位置8 cm处达到最大，随后减小。锚固段围岩之间具有相对位移和整体位移，整体位移即自由段围岩位移，最大相对位移为2.19 cm，占整体位移的51.6%，这一点与锚杆位移的分析基本一致。

图13 不同时刻围岩X方向位移-距离曲线

3.3.2Y方向(径向)位移分析

图14是围岩在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms时同一监测线上围岩Y方向位移曲线。

由图14可以看出，同一时刻围岩在Y方向上位移随距离变化曲线的最大特征就是中间大两边小。具体来说，是在距离为1.02 m处位移达到最大，最大位移为7.37 mm。在25 ms之前围岩Y方向上的位移几乎为0；25 ms之后，在距离为0～1.02 m之间时，位移随着距离增加而增大，增长率随着时间增加而变大。在距离为1.02～1.40 m之间时，位移随着距离增加而迅速降低；在距离为1.40～1.60 m之间时，位移接近为0，变化不大。这说明冲击荷载对施加位置附近围岩Y方向位移影响不大。

图14 不同时刻围岩Y方向位移-距离曲线

3.4 围岩表面振动速度变化特征分析

图15是围岩表面不同时刻振动速度随距离变化的历程曲线。图16是不同时刻左边界浅部围岩随距锚杆始端距离的变化曲线。

图15 边界围岩振动速度-时间历程曲线

由图15可以看出，围岩表面振动速度整体呈现先增大后减小最后保持不变的变化规律。在60 ms左右达到最大振动速度，最大值为0.62 m/s。振动速度最大值到达时刻比动荷载峰值到达时刻延迟10 ms，且左边界围岩振动速度峰值远小于动载峰值，动荷载在传递过程中不断被锚固体耗散，最终到达边界的振动是锚杆系统未吸收的能量，并会以动能的形式释放出去。

由图16可以看出，同一时刻围岩浅部不同位置的振动速度基本一致，动荷载在传递过程中不断扩散，这种扩散范围随着传递距离增大而变大，不过同一波阵面处岩石振动速度相同。动载从围岩深部通过锚固体传递到围岩表面，同一时刻整个边界上的振动速度基本相同。对于动载施加范围(以锚杆为对称轴，对称分布锚杆上下侧0.12 m范围内)，动载传递扩散至围岩表面，作用范围至少增大了3倍，扩散范围与围岩参数和锚杆参数有关。动载传递扩散范围越大越有利于围岩吸收能量，通过调整支护参数，可以改变扩散范围，从而改善围岩吸能性能。

图16 不同时刻边界围岩振动速度

4 讨论

由数值模拟结果分析可知，①锚杆位移最大出现的位置与动载的作用效果和锚固段围岩约束效果相对强弱有关；②在冲击荷载作用下的锚杆破坏过程中，自由段与锚固段分界点位置是一个关键控制点；③冲击荷载对施加位置附近围岩Y方向位移影响不大；④围岩的吸能特性可以通过支护参数的调整而得到改善。

根据能量理论，冲击地压是由于煤岩体破坏时释放的能量大于其吸收能量所致，即剩余能量的释放是冲击矿压发生的根本原因。如果锚固体可以吸收掉部分或全部剩余能量，冲击矿压灾害程度就会得到降低，甚至不会发生。在锚固体中锚杆是最主要的吸能构件，其吸收能量可以由其工作特性曲线确定，锚杆吸收的能量就等于其工作阻力(轴力)对变形量的积分。图17是锚杆支护的一般工作特性曲线，图中阴影面积即为最大吸能值[10]。

图17 锚杆吸能原理

与围岩相比，各种支护方式的承载能力都很小。与其他支护方式相比，锚杆具有良好的延展性，可与围岩同步协调变形。锚杆这种柔性特征，使其对于冲击荷载有良好的适应能力，锚杆对于冲击荷载不是硬顶，而是让压，在保护自身不被破坏的前提下始终给围岩一定约束力，控制围岩变形和进一步的破坏。因此，锚杆支护的本质作用，无论是冲击还是非冲击地压巷道，均是通过保持围岩的完整性使围岩承载能力不降低或少降低。锚杆支护与围岩共同承受冲击荷载，因此，要求锚杆应具有足够的抗冲击能力[16]，避免锚杆受较大冲击荷载后破断，失去支护作用。

5 结论

1)动载作用过程中，锚杆轴力先基本保持不变，而后迅速增大。锚固段轴力比自由段轴力小，锚固段增长速度也小于自由段增长速度，在自由段与锚固段分界处，轴力变化幅度较大。

2)动载作用过程中，自由段与锚固段分界点位置剪切应变急剧变化，这种剧烈变化程度随着动载作用时间增长而进一步加深。

3)动荷载在传递过程中不断被锚固体耗散，最终到达围岩表面的是锚固系统未吸收的能量，并以动能的形式释放出去。

4)动荷载从深部通过锚固体传递到围岩表面，作用范围成倍增大，动载传递扩散范围越大越有利于围岩吸收能量。通过调整支护参数，可以改变扩散范围，从而改善锚固体吸能性能。