二维连接板式声子晶体低频带隙仿真研究

李天杰,顾云风,伍根生

(南京林业大学机械电子工程学院，南京 210037)

0 引 言

低频噪音干扰着人们的生活，长期在噪音中生活，会对人的身心健康造成严重的危害。为了隔音降噪，通常会用单位面积质量大的材料，如水泥墙、厚钢板等。单位面积质量越大，隔声效果越好。然而,采用厚度很大的隔声材料显然存在一定的局限性。

为了解决隔声材料的厚度问题，研究人员发现声子晶体能够有效地禁止某些频率范围中的声波传输，声波不能传输的频率范围就是带隙[1]。根据带隙形成机理的不同，声子晶体可分为布拉格散射型声子晶体和局域共振型声子晶体。当布拉格散射型声子晶体的基体为流体或气体时，第一带隙的中心频率一般位于c/2a(c为基体声速，a为晶格常数)附近[2]，因此当声子晶体尺寸较小时，难以获得低频带隙[3]。为了更便捷地获得低频带隙，刘正猷等在2000年提出了局域共振型声子晶体这一概念[4]，他们将包裹着硅橡胶的铅球嵌入环氧树脂基体中，形成三维三组元声子晶体。研究表明，声子晶体带隙的波长远大于晶格常数，实现了小尺寸控制大波长。由于类Fano现象的影响，局域共振带隙内弹性波衰减幅度比较小，所产生的带隙比较窄[2]。

为了获得较宽的低频带隙，人们对声子晶体的结构做出了许多研究。Li等[5]设计了一种由钢和硅橡胶组成的锥形散射体，通过硅橡胶填充材料解耦了质量-弹簧模型，使纵向和横向弹性波移动到相同的频率范围，经计算获得两个低频带隙，分别位于59～103 Hz和154～318 Hz。杨琦等[6]在Li的模型上进行改进，将环氧树脂板改为4个连接板，在0～1 100 Hz得到5条完全带隙，拓宽了带隙宽度，降低了带隙起始频率，其中第一带隙位于44.4～707.2 Hz。康太凤等[7]将有硅橡胶包裹的空心铅柱体嵌入到环氧树脂连接板中，得到5条完全带隙，总带隙宽度是传统模型的3倍，其中第一带隙位于160～580 Hz。进一步改变连接板宽度，发现随着连接板宽度的增加，第一带隙的起始频率增大，带隙宽度减小。蒋丽娜等[8-9]设计了一种硅橡胶包覆层和环氧树脂基体均开有孔的声子晶体，得到了41～256.73 Hz的低频带隙，这种新型结构质量轻，而且能够实现低频率和宽带隙的目标。孙向洋等[10]将散射体嵌入基体中，同时在散射体与基体中加入一层包覆层。通过增加包覆层厚度使第一带隙的起始频率降低，带隙宽度变大。郭旭等[11]提出了一种在声子晶体板附加多个圆柱形振子的结构，与附加单个圆柱形振子相比，可以优化隔振特性。

开孔设计的局域共振声子晶体大多是在基体部分，对于在包覆层的开孔设计很少。彭中波等[12]在二维声子晶体包覆层进行了开孔设计，得到140.73～398.4 Hz的低频带隙，通过进一步改变孔径的大小，发现随着孔半径的增大，带隙的起始频率降低，但是带隙宽度减小。可以看出，此模型的带隙宽度相对比较窄，带隙的起始频率相对比较高，不能很好地满足减振降噪需求。本文以彭中波设计的声子晶体结构为参考模型，在此基础上设计了一种连接板结构式声子晶体结构，通过有限元软件模拟方法计算了该结构的能带分布，并对带隙上下边界点对应的模态进行分析，得出带隙产生的原因，并通过改变连接板宽度和包覆层开孔大小进一步分析影响带隙的因素。

1 有限元模型及计算方法

本文所设计的声子晶体结构为铅圆柱状散射体外层包裹一层环形硅橡胶，在硅橡胶上均匀分布8个通孔，并将散射体和硅橡胶嵌入到四个环氧树脂连接板中，如图1(a)所示。参考模型如图1(b)所示。声子晶体的材料参数和几何参数如表1和表2所示。

图1 声子晶体模型对比Fig.1 Comparison of phononic crystal models

表1 计算参数Table 1 Parameters for calculation

表2 连接板声子晶体的几何参数Table 2 Geometric parameters of the plate-connected phononic crystal

因为有限元法计算速度快、精度高、收敛性好，所以本文将采用有限元软件来求解局域共振声子晶体的带隙。仅考虑弹性波面内模式在二维声子晶体中的传播，其波动方程为：

(1)

(2)

式中：ρ是组元介质的质量密度；λ，μ是组元的拉梅常数；u是位移矢量；t是时间。

图2 声子晶体第一布里渊区Fig.2 First Brillouin zone for the phononic crystal

因为声子晶体在二维平面上周期性排列，基于Bloch定理，可以将声子晶体结构进行简化，所以只要算一个单胞即可，位移场可表示为：

u(r+Rn)=u(r)ei(k·Rn)

(3)

式中：u表示位移矢量；r表示位置矢量；k表示Bloch波矢；Rn表示晶格矢量。

由于声子晶体有镜面及旋转对称性，所以波矢k只要沿着不可约布里渊区的边界进行扫描，即M→Γ→X→M，通过取不同的波矢k值，就可以得到结构的色散曲线，如图2所示。

2 仿真及分析

通过有限元软件对参考模型和设计模型进行计算，两种模型的能带结构如图3所示。

图3 两种模型的色散曲线对比Fig.3 Comparison of dispersion curves for two models

由图3(b)可知，设计结构的带隙范围是从29.37～354.07 Hz，带隙宽度为324.7 Hz，而参考模型的带隙范围是从140.73～398.4 Hz，带隙宽度为257.67 Hz。与参考模型相比，本文结构具有更低的起始频率和更宽的带隙。为了进一步说明所设计结构带隙产生的原因，选择色散曲线上下边界对应的A点和B点进行振动模态分析，如图4所示。

图4 色散曲线上下边界振动模态Fig.4 Vibration mode at the edge of the dispersion curves

A点位于带隙下边界29.37 Hz，其共振模式主要体现在铅圆柱状散射体的平移振动，同时伴随着对硅橡胶和通孔的拉伸或压缩变形，拉伸或压缩变形导致散射体对基体产生x或y方向的合力作用，该共振模式下，散射体振动与基体中传播的长波行波产生相互耦合的作用，从而导致带隙产生。

图中显示，A点和B点的共振模式类似，B点位于带隙上边界354.07 Hz，其共振模式主要体现在外部基体中，表现为连接板在水平或竖直方向上形成同相位的振动，同时伴随着硅橡胶和通孔的拉伸或压缩变形，在长波条件下，基体中的长波行波与该振动模式产生相互耦合的作用，从而导致带隙产生。

图5 第一带隙上下边界对应的系统Fig.5 Corresponding model at the edge of the first band gap

带隙的起始频率是由散射体振动造成的，截止频率是由连接板及包覆层振动导致的，二者的振动是相互独立的，没有发生耦合作用。因此带隙形成过程可以描述为弹性波频率从零逐渐增加，基体中振动模式中的某一模态被激活为主模态，振动在基体中以此模态进行传播，此时没有带隙产生，当弹性波频率接近散射体的本征频率时，A点对应的模态被激活成为主模态，弹性波以这个模态在基体中传播，散射体发生平移振动并对基体产生反作用力，基体中原有振动模式被抑制，使弹性波无法在基体中继续传播，从而形成带隙。随着弹性波频率继续增加至大于散射体固有频率时，散射体对基体的反作用力减小直到消失，此时，之前对基体中振动模式的抑制作用消失，B点对应的模态被激活成为主模态，弹性波以这个模态在基体中继续传播，带隙消失。

已有文献表明[13]，二维三组元声子晶体面内模式第一带隙起始频率的共振模式可以等效为一个质量-弹簧系统，截止频率的共振模式可以等效为一个质量-弹簧-质量系统，如图5表示。本文中，铅圆柱状散射体和连接板为等效质量,分别用m1和m2表示，硅橡胶为等效弹簧，用K表示。起始频率f1和截止频率f2计算公式如下：

(4)

(5)

3 影响带隙的因素

3.1 连接板宽度对带隙的影响

使局域共振声子晶体的晶格常数、硅橡胶半径、铅圆柱半径以及硅橡胶开孔半径大小等几何参数保持不变，只改变连接板宽度。连接板宽度从0.5 mm增加到4 mm，对应的带隙变化如图6所示，随着连接板宽度增加，带隙起始频率从29.37 Hz逐渐上移到149.93 Hz，截止频率从354.07 Hz逐渐下移到304.68 Hz，带隙宽度从324.7 Hz逐渐变窄到154.75 Hz，这是因为连接板宽度增加时，连接板质量增加，截止频率随之降低。由质量-弹簧系统可知，连接板质量的增加会导致振子质量的增加，随着振子质量的增加会使压力增大，从而使硅橡胶的等效刚度增加，进而使起始频率增加[7]。

3.2 硅橡胶通孔半径对带隙的影响

因为与传统声子晶体结构相比，在硅橡胶包覆层上开孔的设计更有利于获取低频带隙，所以对硅橡胶通孔半径进行研究是有必要的[12]。使局域共振声子晶体的晶格常数、硅橡胶半径、铅圆柱半径以及连接板宽度等几何参数保持不变，只改变硅橡胶通孔半径。硅橡胶通孔半径从1.0 mm增加到1.4 mm，对应的带隙变化如图7所示，随着硅橡胶通孔半径增加，带隙起始频率从39.44 Hz逐渐下移到16.69 Hz，截止频率从383.27 Hz逐渐下移到306.54 Hz，带隙宽度从343.83 Hz逐渐变窄到289.85 Hz，这是由于随着孔半径增大，声子晶体结构等效刚度下降，同时随着孔半径增大，声子晶体结构的刚度也会降低，抗变形能力变差，不利于在实际中减噪应用。

图6 连接板宽度对带隙的影响Fig.6 Effects of connecting plate width on band gap

图7 硅橡胶通孔半径对带隙的影响Fig.7 Effects of pore radius of silicone rubber on band gap

4 结 论

本文设计了一种由硅橡胶包裹的铅圆柱散射体嵌入到环氧树脂连接板构成的新型二维局域共振声子晶体结构，使用有限元软件计算该结构的色散曲线，进一步，通过振型图对带隙的产生进行分析。结果表明，该结构在低频范围内产生了29.37～354.07 Hz的带隙，带隙宽度为324.7 Hz，与参考模型相比，拥有更低的起始频率和更宽的带隙。

在该结构基础上，对环氧树脂连接板宽度以及开孔半径大小对带隙的影响进行分析。结果表明：随着连接板宽度增加，起始频率逐渐上升，截止频率逐渐下降，带隙宽度逐渐变窄；当通孔半径增大时，起始频率逐渐下降，截止频率逐渐下降，带隙宽度呈下降趋势。因此通过改变环氧树脂连接板宽度以及开孔半径大小可以调节带隙宽度以及位置。本文设计的结构为减振降噪领域的研究提供了新思路。