例谈导数求解函数单调性的类型及策略

云南 马孟华 赵寅辉

随着高考改革的不断深入，全国高考数学文、理卷(包括2021年不分文理的新高考Ⅰ，Ⅱ卷)中对导数的考查成为了重点、热点问题，也是高考中区分度高、难度较大的题目.纵观近年来高考数学中对导数的考查，往往以压轴题型登场，其考点主要集中在以下几个方向：(1)导数几何意义的应用(研究函数图象的切线问题)；(2)导数在研究函数的单调性、极值、最值上的应用；(3)导数在研究函数零点、方程的根问题上的应用；(4)导数在研究函数不等式恒成立、有解、证明不等式成立问题上的应用等.在上述考查方向的背景下，在函数中“引入参数”，就会使得问题变得更加复杂和困难，故也使问题有了较大的难度和区分度，这也是导数常常作为压轴题登场的原因之一.

下面以“导数的应用”为背景，从“导数求解函数单调性”问题的几类模型出发，提出利用导数解决函数单调性的系统方法.旨在引领考生攻克高考常考考点及重难点问题，为2022年高考备考提供指引和帮助！

1.类型一：直接求解型

此类模型主要适用于函数中不含参数，且求导后的“导数不等式”可直接求解，一般这类模型问题比较简单，如：

【例1】(2021·新高考Ⅰ卷·22(Ⅰ))已知函数f(x)=x(1-lnx).

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性.

【解析】f(x)的定义域为(0,+∞)，

又f′(x)=1-lnx-1=-lnx，

令f′(x)>0，得x∈(0,1)；

令f′(x)<0，得x∈(1,+∞).

故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.

【评析】对函数求导之后，对应导函数大于(小于)0的不等式可直接求解，求出函数的单调区间，但需要注意定义域的限制.

2.类型二：“逆向”求解型

此类模型是针对函数求导后不等式难以“直接求解”(如：导函数不等式属于超越不等式类型或导函数含参数)或无法求解时，可借助导函数的“零点”将函数定义域分为若干区间，在每一个区间上讨论导函数的正负性，进而求解出原函数的单调性.如：

【例2】已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点，求m并讨论f(x)的单调性.

2.1 “逆向讨论”策略

所以f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．

2.2 “数形结合”策略

当x∈(-1,0)时，f′(x)<0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，

故f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.

【评析】从方法二可以看到，2.1中的逆向讨论法在特定情形下，也可使用数形结合的方式讨论导函数的正负性，从而避免了分析导函数中各个构成函数的正负性问题，直接从图形上观察得到了在定义域内的不同区间上导函数正负性问题.事实上，两类方法的理论基础都建立在函数零点、方程的根以及函数图象交点的等价关系上.

同时，我们注意到，在不能直接求解导数不等式的背景下，引入“令f′(x)=0”这一方法，先来讨论导函数的零点(函数f(x)可能的极值点)，再通过“逆向讨论法”或“数形结合”的方式就可快速解决函数的单调性求解问题，这是最为有效的方法，也是通性通法.

3.类型三：含参数的函数单调性讨论

当导函数中含有参数，且该参数影响导函数的零点个数以及正负性时，需要带着参数对导函数的影响进行讨论，这种类型的单调性讨论往往伴随着参数的影响而难以求解，下面介绍利用“导函数的零点讨论法”求解此类问题.

3.1 含参函数的导函数为可因式分解型的求解策略

2021年高考中对此类问题的考查最为突出，下面来看例3.

【例3】(2021·新高考Ⅱ卷·22(Ⅰ))已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b．

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

【解】(Ⅰ)由函数的解析式可得f′(x)=x(ex-2a)，令f′(x)=0，即x(ex-2a)=0.

故有x=0或ex=2a，

【注】下面分析方程ex=2a是否有解，以及有解后与另一解x=0的大小关系，这就是对参数a如何进行讨论的“切入点”.

①当a≤0时，ex=2a无解，此时ex-2a>0，

故当x∈(-∞,0)时，f′(x)<0,f(x)单调递减，

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0,f(x)单调递增；

②当a>0时，ex=2a的解为x=ln2a，故讨论f′(x)=0的两解：x=0与x=ln2a的大小关系，

若x∈(-∞,ln2a)，则f′(x)>0,f(x)单调递增；

若x∈(ln2a,0)，则f′(x)<0,f(x)单调递减；

若x∈(0,+∞)，则f′(x)>0,f(x)单调递增；

若x∈(-∞,0)，则f′(x)>0,f(x)单调递增；

若x∈(0,ln2a)，则f′(x)<0,f(x)单调递减；

若x∈(ln2a,+∞)，则f′(x)>0,f(x)单调递增.

【评析】此题出现了导函数的零点讨论，讨论的“切入点”就是导函数方程“f′(x)=0”的解的个数及大小关系.通过对导函数的因式分解可以得到：导函数的零点一个是“定点”，一个是“动点”(含参数)，故可以通过分析“动点”与“定点”的三种位置关系(即ln2a<0，ln2a=0，ln2a>0)来找到讨论单调性的“切入点”，这样的“讨论依据”既可以做到对参数的讨论“有理有据”“不重不漏”，又具有较强的逻辑性，再结合2.1,2.2的处理方法即可在含参数的背景下直接求出函数的单调区间，这是高考中对含参函数单调性考查的重难点.

3.2 含参函数的导函数为不可因式分解型的求解策略

【例4】已知函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)．讨论f(x)的单调性；

【解析】f′(x)=3ax2+6x+3，令f′(x)=0，即3ax2+6x+3=0，其判别式为Δ=36(1-a)，

①Δ=36(1-a)≤0时，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；

【注】此处Δ=0时，虽然f′(x)=0有一解，但该解不是函数f(x)的极值点，故可以与Δ<0合并讨论.

②当Δ=36(1-a)>0时，即a<1时，f′(x)=0有两根，分别为x1,x2，不妨设

【注】此处先利用判别式Δ讨论f′(x)=0的根的情况，在确定了二次方程f′(x)=0根的个数之后，进一步确定二次函数的开口方向，从而清晰地得出原函数的单调区间，故此时应将a<1分为a<0和0

故可得x1<0,x1

当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时，f′(x)<0；

当x∈(x1,x2)时，f′(x)>0,

所以f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.

得x1<0，x2

当x∈(-∞,x2)∪(x1,+∞)时，f′(x)>0；

当x∈(x2,x1)时，f′(x)<0,

所以f(x)在(-∞,x2)和(x1,+∞)上单调递增，在(x2,x1)上单调递减.

综上所述，当a≥1时，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增；

【评析】例4与例3不同之处在于导函数对应的零点不能直接求出，即导函数不可因式分解，从而难以求出零点，需借助二次方程的求根公式.同时在参数的影响下，还需考虑导函数零点的大小关系，综合使用数形结合、分类讨论的数学思想进行综合分析讨论才能求解出函数的单调区间.从求解过程可以看出：导函数为含参数的二次型函数不可分解因式，可先根据判别式Δ的正负性来对二次方程的根的个数展开第一次讨论；在确定了二次方程的根的个数的情况下，对二次函数的开口方向进行第二次讨论；在二次方程有两根的情况下，需讨论两根大小关系进行第三次讨论，即可总结为“先Δ，后开口，最后比根大小”的讨论模式.这样的逐级先后对参数讨论会使讨论依据和切入点非常直观，并且讨论过程不重不漏，逻辑层次清晰，易于理解和掌握.

4.导数求解函数单调性策略的系统总结

导数作为求解可导函数单调区间的“神器”，其重心落在了求解导数大于(小于)0的不等式上.如果导数不等式可直接求解，则问题较为简单;若导数不等式无法直接求解，则需借助“导函数的零点”(即先处理f′(x)=0是否有解问题，再处理f′(x)>0和f′(x)<0不等式问题)作为“切入点”，尤其含有参数讨论函数单调性问题时，这种思维方法能够引领学生迅速找到分类讨论的突破口，从而不重不漏的在参数影响下解决函数的单调性问题.

结合对以上例子的分析以及求解策略的各自特点，我们可以总结得到利用导数求解函数单调性的系统方法：

(1)当导函数中不含参数时，可归纳为以下求解步骤：

①求函数f(x)的导函数f′(x)；

②观察f′(x)>0(<0)是否可以直接求解，若能，直接求出函数f(x)的单调区间；若不能转入下一步；

③令f′(x)=0.

(ⅰ)若方程无解，则f′(x)在其定义域上恒大于(恒小于)0，即f(x)在其定义域上恒增或恒减；

(ⅱ)若方程有解，则在定义域范围内讨论这些解(导函数的零点)左、右区间上的导函数f′(x)的正负性(或采用数形结合观察图象讨论f′(x)的正负性)，进而求出函数f(x)的单调区间，这种方式也称为“逆向讨论法”，即利用导函数的零点将函数定义域分开，再讨论不同区间上的导函数的正负性，进而求出各区间上函数f(x)的单调性.

(2)当导函数中含参数时，可归纳为以下步骤：

①求函数f(x)的导函数f′(x)，令f′(x)=0，考虑f′(x)=0的解是否受到参数影响，若参数取值不影响f′(x)=0的解，则直接求出单调区间;若影响，转为第二步；

②求出f′(x)=0在其定义域内的所有解.

(ⅰ)若f′(x)=0有一解，则在定义域范围内分析该解左、右两侧导函数的正负性即可求出单调区间；

(ⅱ)若f′(x)=0有两解，则讨论这两解(含参数)的大小关系，这是讨论的“切入点”，一般有三种大小关系，在两解位置关系确定的情况下，参数的取值范围也就被确定了，进而再利用“逆向讨论法”求出单调区间；