具有健康教育的戒烟模型的稳定性分析

唐永鲁，顾银鲁，宋桢桢

(银川能源学院 基础部,宁夏 银川 750105)

吸烟在明世宗嘉靖年间就已经开始，至今仍然有很大比例的成年公民和青少年在吸烟.2000年Castillo-Garsow等[1]第一次提出一个简单的戒烟模型，他们考虑了一个系统，将人群分为三个仓室：潜在吸烟者、吸烟者和戒烟者.文献[2-4]研究了具有健康教育的吸烟动力学模型.

文献[4]在Castillo-Garsow等[1]基础上，考虑了健康教育的因素，并建立了如下微分系统

(1)

其中，P表示未受教育的潜在吸烟者，E表示受教育的潜在吸烟者，S表示吸烟者，Q表示永久戒烟者.

吸烟能引起吸烟者患脑部疾病、呼吸系统疾病、血管类疾病等，二手烟还会对非吸烟者产生严重的影响.近些年来，国家出台各类政策：不允许在公共场合吸烟、吸烟有害健康宣传等.受到这些因素的影响，有些吸烟者就会选择临时戒烟或者永久戒烟.文献[5-7]主要针对含有临时戒烟模型做了稳定性分析.文献[8]考虑了“媒体和政府对吸烟的不连续干预策略”.文献[9]考虑了“人类行为”因素，建立模型并讨论了模型的稳定性.

文献[5]建立如下模型

(2)

其中，P表示未受教育的潜在吸烟者，L表示偶尔吸烟者，S表示吸烟者，R表示暂时戒烟者，Q表示永久戒烟者.

1 模型建立

在已有文献的基础上,将所研究的人群分为5个仓室：未受教育的潜在吸烟者P、受教育的潜在吸烟者E、吸烟者S、临时戒烟者R和永久戒烟者Q，并建立如图1所示的仓室图

图1 模型的仓室图

对应于仓室图的常微分方程如下

(3)

其中，Λ表示总人数，σ1表示潜在吸烟者的受教育率，β1表示P与S的有效接触率，β2表示E与S的有效接触率，δ1表示E的有效戒烟率，δ2表示S的有效临时戒烟率，δ3表示E的有效永久戒烟率，γ表示R转化到Q的有效转化率，μ表示自然死亡率.

2 正性和有界性

定理1若P(0)>0,E(0)>0,S(0)>0,R(0)>0,Q(0)>0，则系统(3)的解P(t),E(t),S(t),R(t),Q(t)对于所有t>0都是正的.

证明假设结论不成立，则至少有一个不是正的.因此，有以下五种情况

(i)存在t1，使得：

P(t1)=0，P′(t1)<0,E(t)≥0,S(t)≥0,R(t)≥0,Q(t)≥0，0

(ii)存在t2，使得：

E(t2)=0，E′(t2)<0,P(t)≥0,S(t)≥0,R(t)≥0,Q(t)≥0，0

(iii)存在t3，使得：

S(t3)=0，S′(t3)<0,P(t)≥0,E(t)≥0,R(t)≥0,Q(t)≥0，0

(iv)存在t4，使得：

R(t4)=0，R′(t4)<0,P(t)≥0,E(t)≥0,S(t)≥0,Q(t)≥0，0

(vi)存在t5，使得：

Q(t5)=0，Q(t5)<0,P(t)≥0,E(t)≥0,S(t)≥0,R(t)≥0，0

由(i)可知：P′(t1)=Λ(1-σ1)>0，与P′(t1)<0矛盾.

由(ii)可知：E′(t2)=Λσ1>0，与E′(t2)<0矛盾.

由(iii)可知：S′(t3)=0，与S′(t3)<0矛盾.

由(iv)可知：R′(t4)=δ2S(t4)>0，与R′(t4)<0矛盾.

由(vi)可知：Q′(t5)=δ1E+δ3S+γR>0，与Q′(t5)<0矛盾.

综上可得结论成立.

定理2系统(3)的所有可行解是有界的，并且可行域为

3 平衡点的存在性和基本再生数

在无烟平衡点E0处的雅可比矩阵为

其中

证明由系统(3)可得

β1P*+β2E*-(δ2+δ3+μ)=0.

(9)

将P*和E*代入(9)可得

a(S*)2+bS*+c=0,

(10)

其中a=β1β2(δ2+δ3+μ)，b=μβ2(δ2+δ3+μ)+β1(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1β2Λ，c=μ(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1Λ(1-σ1)(δ1+μ)-μβ2σ1Λ.

显然

a=β1β2(δ2+δ3+μ)>0，

因为

所以

μ(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1Λ(δ1+μ)<0.

再由

β2μ>β1(δ1+μ)，

可得

c=μ(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1Λ(1-σ1)(δ1+μ)-μβ2σ1Λ<0,

所以，(10)式有唯一的正解.

4 平衡点的稳定性分析

定理4当R0≤1时，无烟平衡点E0是全局渐近稳定的.

证明构造Lyapunov函数

则

Λσ1-β2ES-(δ1+μ)E+β1PS+β2ES-(δ2+δ3+μ)S+

δ2S-(γ+μ)R+δ3S+δ1E+γR-μQ

因为E0为无烟平衡点，所以σ1=0，即

因为R0≤1，即β1Λ≤μ(δ2+δ3+μ)<μ2，所以

β1Λ-μ2<0.

综上，V′≤0成立.

由LaSalle不变集原理[11-12]知，当R0≤1时，无烟平衡点E0是全局渐近稳定的.

则吸烟平衡点E*=(P*,E*,S*,R*,Q*)是全局渐近稳定性的.

证明构造Lyapunov函数

则V*的导数为

(11)

将E*=(P*,E*,S*,R*,Q*)代入系统(3)可得

(12)

把(12)式代入(11)式得

考虑下面的变量替换

(1-v)[zδ3S*+yδ1E*+uγR*-v(δ3S*+δ1E*+γR*)]

显然

当x,y,z,u,v满足下列四个关系之一

u<1,v<1,z≥u≥v,y≥v,

u>1,v>1,z≤u≤v,y≤v,

u>1,v<1,u≥z≥v,y≥v,

u<1,v>1,u≤z≤v,y≤v,

时，有V*≤0成立.

由LaSalle不变集原理[11-12]，E*是全局渐近稳定性的.

5 数值模拟

给出系统(3)的数值模拟来验证上面的理论证明.

例1令λ=0.2，σ1=0.5,β1=0.1,β2=0.07,δ1=0.5,δ2=0.09,δ3=0.3,γ=0.3,μ=0.1.经过计算参数满足定理4，给出初值(4.5,1,2,3,4)，则E0的全局稳定性如图2所示.

图2 当R0≤1时，无烟平衡点E0全局渐近稳定性.

例2令λ=0.2，σ1=0.5,β1=0.09,β2=0.07,δ1=0.03,δ2=0.02,δ3=0.05,γ=0.07,μ=0.01.经过计算参数满足定理5，给出初值(4.5,1,2,3,4)，则E*的全局稳定性如图3所示.

图3 当R0>1时，吸烟平衡点E*是全局渐近稳定性.

例3令λ=0.2，σ1=0.8,β1=0.1,β2=0.07,δ1=0.5,δ2=0.4,δ3=0.3,γ=0.3,μ=0.1.经过计算参数满足定理4，给出初值(4.5,1,2,3,4)，则E0的全局稳定性如图4所示.

图4 当σ1=0.8,δ2=0.4时，无烟平衡点E0全局渐近稳定性.

6 结论

本文考虑了具有健康教育的戒烟模型，由定理4和定理5可知，基本再生数R0=1是病毒感染发生与否的阈值.

由图2和图4可以看出当σ1和δ2的取值变大时，吸烟者明显消失得更快，图4中的P,E,S,R,Q比图2更早的趋近于稳定状态.这说明如果提高戒烟教育成功率和出台一些戒烟的措施，会有更多的人进入戒烟的仓室，能够使吸烟者更快的消失.

和文献[4]比较，本文把戒烟分为暂时戒烟和永久戒烟，这样更加接近现实生活情况.文献[4]中只讨论了吸烟平衡点的局部渐近稳定性，而本文给出了吸烟平衡点的全局渐近稳定性.由于现在全国加强“吸烟有害健康”的教育宣传，相对文献[5]考虑“吸烟有害健康的健康教育”因素，使得模型更加复杂，也加大了模型讨论的难度.

由以上结论可以给出以下建议：可以加强“吸烟有害健康”的教育宣传，从而提高戒烟教育的成功率；也可以出台一些政策，比如公共场合禁止吸烟，通过强迫人民去戒烟，达到提高戒烟率的目的.