代数正矩阵的若干研究

田 岩, 焦 旸

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

符号模式矩阵主要通过实矩阵的元素符号来研究矩阵具有的仅与其元素的符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质.矩阵的每个元素都是正数的实矩阵称为正矩阵.2016年, Steve Kirkland、Pu Qiao和Xingzhi Zhan[1]引入了代数正矩阵的概念:对于实矩阵A,如果存在实多项式f使得f(A)是一个正矩阵,那么A称为代数正矩阵.他们提出符号模式矩阵要求代数正和允许代数正这两个问题.2019年，Sunil Das和Sriparna Bandopadhyay[2]给出了代数正矩阵新的刻画，并且研究树符号模式矩阵允许代数正和要求代数正.本文将研究代数正矩阵的一些性质,给出代数正矩阵的性质在研究3阶不可约的三对角符号模式矩阵是允许代数正问题中的具体应用.

符号模式矩阵(简称符号模式)是指所有元素都来自集合{+,-,0}的矩阵.任意实矩阵A=(aij),以aij的符号为元素构成的符号模式矩阵称为A的符号模式矩阵.与符号模式矩阵A符号相同的矩阵构成的实矩阵集合用Q(A)表示.设符号模式矩阵A有性质P,如果Q(A)中每一个矩阵都具有性质P,则称符号模式矩阵A要求P.设符号模式矩阵A具有性质P,如果Q(A)中存在一个矩阵具有性质P,则称符号模式矩阵A允许P.

一个正矩阵(非负矩阵)是指所有元素都是正(非负)实数的矩阵.若矩阵A是正矩阵，即矩阵中每个元素都大于0,记作A>0.diag(d1,d2,…,dn)表示对角线元素为d1,d2,…,dn的对角矩阵.f(A)表示将矩阵A代入多项式f(x).矩阵A的第i行j列元素用A(i,j)表示.本文研究的矩阵都是实方阵.

1 代数正矩阵的性质

定义2.1[1]设A是实方阵,如果存在一个实系数多项式f,使得f(A)是一个正矩阵,则称A是代数正矩阵.

定义2.2设A是符号模式矩阵,若任意实矩阵B∈Q(A)都是代数正的,则称符号模式矩阵A是要求代数正的.

定义2.3设A是符号模式矩阵,若存在实矩阵B∈Q(A)是代数正的,则称符号模式矩阵A是允许代数正的.

引理2.1设A是n阶实矩阵,A是代数正矩阵当且仅当存在一个次数≤n-1的实系数多项式f(x),使得f(A)>0.

证因为A是代数正的,根据定义2.1,设存在一个实系数多项式g(x),使得g(A)>0.设A的特征多项式为

f(λ)=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0.

由Cayley-Hamilton[3]定理可知,

f(A)=An+an-1An-1+…+a1A+a0I=0.

由于

g(x)=f(x)h(x)+r(x),

其中,h(x)和r(x)为实系数多项式, ∂(r(x))<∂(f(x))，所以∂(r(x))

由于

g(A)=f(A)h(A)+r(A)，

则

g(A)=r(A),

故∂(g(A))

例1证明n阶上三角矩阵(或下三角矩阵)一定不是代数正的.

证假设n阶上三角矩阵A是代数正的, 根据引理2.1, 存在一个次数≤n-1的实系数多项式

f(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a0(ai∈,i=0,1,…,n-1),

使得

f(A)=an-1An-1+an-2An-2+…+a1A+a0I>0.

显然，Am(m=1,2,…,n-1)是上三角矩阵, 所以f(A)是上三角矩阵, 故不是正矩阵, 这与f(A)>0矛盾.因此,n阶上三角矩阵A不是代数正的.

同理可证，下三角矩阵不是代数正的.

引理2.2矩阵A是代数正矩阵当且仅当PAPT是代数正矩阵, 其中，P为置换矩阵.

证因为A是代数正矩阵, 根据引理2.1, 存在一个次数≤n-1的实系数多项式

f(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a0(ai∈,i=0,1,…,n-1),

使得f(A)>0，即

f(A)=an-1An-1+an-2An-2+…+a0I>0.

设P为置换矩阵, 则Pf(A)PT>0, 即

Pf(A)PT=P(an-1An-1+an-2An-2+…+a0I)PT

=an-1PAn-1PT+an-2PAn-2PT+…+a0IPPT

=an-1(PAPTPAPT…PAPT)+an-2(PAPTPAPT…PAPT)+…+a0I

=an-1(PAPT)n-1+an-2(PAPT)n-2+…+a0I

=f(PAPT),

故f(PAPT)>0, 所以PAPT是代数正的.

反之, 设PAPT是代数正的, 则存在实系数多项式f(x), 使得f(PAPT)>0.显然PT是置换矩阵, 则f(A)=f(PT(PAPT)P)=PTf(PAPT)P>0, 故A是代数正的.

推论2.3设A是n阶实矩阵, 若A是代数正矩阵当且仅当DAD-1是代数正矩阵, 其中,D为对角矩阵, 并且对角线的所有元素符号相同.

证因为A是代数正的, 根据引理2.1, 设存在一个次数≤n-1的实系数多项式

f(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a0(ai∈,i=0,1,…,n-1),

使得f(A)>0, 即f(A)=an-1An-1+an-2An-2+…+a0I>0.

设D=diag(d1,…,dn),di(i=1,…,n)符号相同, 故Df(A)D-1>0，即

Df(A)D-1=D(an-1An-1+an-2An-2+…+a0I)D-1

=an-1DAn-1D-1+an-2DAn-2D-1+…+a0DID-1

=an-1(DAD-1)n-1+an-2(DAD-1)n-2+…+a0I,

=f(DAD-1),

所以f(DAD-1)>0, 因此DAD-1为代数正的.

反之, 设DAD-1是代数正的, 那么存在实系数多项式f(x), 使得f(DAD-1)>0.显然,D-1是置换矩阵, 则

f(A)=f(D-1(DAD-1)D)=D-1f(DAD-1)D>0，

故A是代数正的.

注对于任意的可逆矩阵Q,QAQ-1不一定能够保持代数正的性质.

例2考虑n阶实对称的代数正矩阵

根据引理2.1, 存在一个次数≤n-1的实系数多项式

f(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a0(ai∈,i=0,1,…,n-1),

使得f(A)>0, 即f(A)=an-1An-1+an-2An-2+…+a0I>0.由于A是对称矩阵, 则存在可逆矩阵Q, 使得QAQ-1=diag(λ1,λ2,…，λn), 其中,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值, 显然f(QAQ-1)不是正矩阵, 所以QAQ-1不是代数正的.

将文献[4]的定理3进行推广，得到下列代数正矩阵的充分必要条件.

引理2.4设A是n阶实矩阵,A是代数正的当且仅当下列条件之一成立：

1)AT是代数正的;

2)-A是代数正的;

3)βA+αI是代数正的, 其中,α∈,β∈{0}.

证1)必要性.因为A是代数正的, 所以根据引理2.1, 设存在一个次数≤n-1的实系数多项式

f(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a0(ai∈,i=0,1,…,n-1),

使得f(A)>0, 故f(A)T>0, 即

f(A)T=(an-1An-1+an-2An-2+…+a0I)T

=an-1(An-1)T+an-2(An-2)T+…+a0IT

=an-1(AT)n-1+an-2(AT)n-2+…+a0I

=f(AT)>0,

所以AT为代数正矩阵.

充分性.设AT是代数正的, 则根据引理2.1, 存在一个次数≤n-1的实系数多项式

g(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b0(bi∈,i=0,1,…,n-1),

使得g(AT)>0, 所以(g(AT))T>0, 即

(g(AT))T=bn-1((AT)n-1)T+bn-2((AT)n-2)T+…+b0I

=bn-1((AT)T)n-1+bn-2((AT)T)n-2+…+b0I

=bn-1An-1+bn-2An-2+…+b0I>0,

故(g(AT))T=g(A)>0, 所以A为代数正矩阵.

3)必要性.设A是代数正的, 根据引理2.1, 则存在实系数多项式f(x), 使得f(A)>0.设q(x)为实系数多项式, 使得

则

q(βA+αI)=f(A)>0,

所以βA+αI是代数正的.

当β=-1,α=0时,A是代数正的当且仅当-A也是代数正的, 所以2)成立.

引理2.5设A是n阶实矩阵, 若A是代数正矩阵当且仅当(DP)A(DP)-1是代数正矩阵, 其中,D是对角矩阵，并且对角线的所有元素符号都相同,P是置换矩阵.

证因为A是代数正的, 根据引理2.1, 存在一个次数≤n-1的实系数多项式

f(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a0(ai∈,i=0,1,…,n-1),

使得f(A)>0, 即f(A)=an-1An-1+an-2An-2+…+a0I>0.

设D=diag(d1,d2,…,dn),di(i=1,2,…,n)符号相同, 则(DP)f(A)(DP)-1>0.

(DP)f(A)(DP)-1=(DP)(an-1An-1+an-2An-2+…+a0I)(DP)-1

=an-1(DP)An-1(DP)-1+an-2(DP)An-2(DP)-1+…+a0(DP)I(DP)-1,

=an-1(DPAP-1D-1)n-1+an-2(DPAP-1D-1)n-2+…+a0I

=f(DPAP-1D-1),

所以f(DPAP-1D-1)>0，故(DP)A(DP)-1是代数正的.

反之, 假设(DP)A(DP)-1是代数正的, 则存在实系数多项式f(x), 使得f((DP)A(DP)-1)>0.那么

f(A)=f((DP)-1((DP)A(DP)-1)(DP))=(DP)-1f(DAD-1)(DP)>0,

故A是代数正矩阵.

3 性质的应用

下面将所有3阶不可约三对角符号模式矩阵进行分类，给出3阶不可约三对角符号模式矩阵是允许代数正的充分必要条件, 从而给出代数正矩阵性质的具体应用.

设V是有限集合,E⊆V2, 则集合对D=(V,E)称为一个有向图.n阶实矩阵A=(aij)的有向图为D(A)=(V,E), 其中,V={1,2,…,n},(i,j)∈E当且仅当aij≠0.

定理3.1设A是3阶不可约三对角符号模式矩阵,A是允许代数正的当且仅当A或-A置换相似于集合S中的矩阵:

其中,*∈{+，-，0}.

证必要性.

(1)设A是3阶不对称的不可约的三对角符号模式矩阵, 则A或-A的形式如下:

易知, 无论A取上述何种形式,BA的图都不是强连通的, 所以由参考文献[5]定理3.2.1可知,BA是可约的.根据已知A是不可约的, 所以由文献[4]定理4可知,A不是允许代数正的.

(2)设A是3阶对称不可约三对角符号模式, 则A或-A置换相似于如下形式:

根据文献[1]定理12易知，第一个符号模式矩阵满足条件.

由于

充分性.

若A或-A置换相似于集合S中的第一个符号模式矩阵, 则Q(A)中存在矩阵M,M中除对角线以外的所有元素都非负.由文献[1]定理5可知,M是代数正的, 因此, 集合S中的第一个符号模式矩阵是允许代数正的.

4 结 论

本文主要研究代数正矩阵的性质, 通过具体例题给出其应用.符号模式矩阵允许代数正和要求代数正是两个著名公开问题，利用代数正矩阵的性质，将实矩阵进行约化，从而对于这两个问题的研究提供了途径和方法，具有一定的借鉴意义.