四轮转向汽车的无模型自适应控制研究

许佳东 高远 袁海英

摘   要：為提高四轮转向汽车的操纵稳定性，提出一种以质心侧偏角和横摆角速度为反馈量，以后轮转角与横摆力矩为控制器输出的四轮转向汽车无模型自适应控制方法。具体设计方案为：从建立等效车辆的双输入-双输出紧格式线性化模型出发，结合车辆转向动力学的理想模型，引入输入准则函数和参数估计准则函数，采用极值原理分别设计出无模型自适应控制器及其伪雅可比矩阵的估计律，并理论分析了该控制方法的系统稳定性。该方法的控制器设计不依赖精确的整车数学模型，且具有后轮转角与横摆力矩相结合的复合控制特点。控制仿真对比结果表明：在不同车速和转向工况下，该控制方法均能对期望的横摆角速度与质心侧偏角具有良好的跟踪效果，有效提高了四轮转向汽车低速转向的机动灵活性和高速行驶转向的操纵稳定性。

关键词：四轮转向汽车;无模型自适应控制方法;动力学数学模型

中图分类号：TP273.2              DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.03.005

0    引言

四轮转向（four-wheel steering，4WS）汽车技术作为主动底盘控制系统的一种重要组成，已成为提高现代汽车主动安全性的发展趋势和新兴技术之一，倍受人们关注[1]。控制策略是4WS技术研究的重要方面，也是实现4WS车辆获得低速转向机动灵活性和高速行驶转向操纵稳定性的重要保证[2]。

迄今，针对4WS系统的控制问题，研究者们提出了前后轮转角成比例的前馈控制[3]、滑模控制[4]、模糊控制[5]等主动后轮转向控制方法，在一定程度上能改善车辆高速行驶的操纵稳定性和低速状态的机动灵活性。鉴于直接横摆力矩控制（direct yaw-moment control，DYC）作为当前另一种有效的汽车底盘控制技术，从提高4WS车辆动力学行驶稳定性角度考虑，提出了最优控制[6]、自适应滑模控制[7]、非光滑控制[8]等横摆力矩控制策略。然而，这些不同的单一控制方法，大都采用忽略轮胎与地面间非线性作用、低自由度的汽车转向数学模型[9]，故在改善汽车操纵稳定性方面的作用有限，特别是在车辆高速、急转弯等极限工况下，难以获得满意的控制性能，甚至会出现稳定性恶化现象。近年来，有学者提出神经网络[10]、遗传算法[11]等智能控制方法，以降低方法对转向数学模型的依赖性，但存在在线运算难以满足实时性控制的要求。近几年，研究者们提出了后轮主动转向控制技术和横摆力矩控制技术相结合的联合（或复合）控制方法[12]，可获得比单一控制方法更优的控制性能，能进一步改善车辆的操纵稳定性。

为提高4WS汽车低速转向的机动灵活性和高速行驶转向的操纵稳定性，本文提出了一种车辆后轮转角与横摆力矩相结合、具有复合控制特点的无模型自适应控制（model-free adaptive control，MFAC）方法，设计出双输入-双输出的无模型自适应控制器，并进行4WS控制系统的稳定性证明。搭建七自由度4WS车辆动力学仿真模型，不同控制方法的仿真对比结果验证了本文所提方法的有 效性。

1    4WS汽车的动力学数学模型

1.1   七自由度的转向整车数学模型

图1为七自由度的车辆转向运动学模型图。图中，[Fxi]、[Fyi]分别表示轮胎所受的纵向力和横向力（下标[i=1， 2， 3， 4]分别表示左前轮、右前轮、左后轮和右后轮）;[δf]、[δr]分别为4WS汽车的前、后轮转向角;[a]、[b]分别为汽车质心到前轴、后轴的距离，L= [a] + [b]即是车的轴距;[Bf] =[Br] =[W]为轮距;[vx]、[vy]分别表示汽车质心速度[V]在[x]和[y]轴上的速度分量;[γ]是汽车横摆角速度;[ωi]为各轮胎的转动角速度。该模型图给出了汽车绕[x]轴的纵向运动、绕[y]轴的横向运动、绕[z]轴的横摆运动，以及汽车4个轮胎的运动情况[13]。

根据汽车动力学理论，可建立起如下七自由度的4WS整车数学模型：

[m（vx-vyγ）=（Fx1+Fx2）cosδf-（Fy1+Fy2）cosδr+                             （Fx3+Fx4）sinδf-（Fy3+Fy4）sinδr，m（vy+vxγ）=（Fx1+Fx2）sinδf+（Fy1+Fy2）cosδf+                             （Fx3+Fx4）sinδr+（Fy3+Fy4）sinδr，Izγ=a[（Fy1+Fy2）cosδf]-b[（Fy3+Fy4）cosδr]+          0.5W[（Fy1-Fy2）sinδf+（Fy3-Fy4）cosδr]+M，Jwωi=Mdi-FxiR-Mbi， i=1， 2， 3， 4.]（1）

式中：[m]为整车质量，[Iz]为汽车绕z轴的转动惯量，[Jwωi]为各轮胎的转动惯量，R为轮胎半径，[Mdi]为差速器半轴上的输出扭矩，[Mbi]为轮胎所受的制动力矩，[M]表示车轮所受纵向力对车身所产生的附加横摆力矩，其值为：

[M=a（Fx1+Fx2）sinδf-b（Fx3+Fx4）sinδr+]        [0.5W[（Fx2-Fx1）cosδf+（Fx4-Fx3）cosδr]].    （2）

结合图1，根据汽车沿[x]轴和[y]轴上的速度分量可求出车辆质心侧偏角[β]：

[β=arctan（vx/vy）] .                    （3）

式（1）中的汽车运动纵向力和横向力可利用现有的车辆轮胎数学模型予以表达。本文采用文献[14]的Gim轮胎模型来体现车辆轮胎与地面间的非线性作用力特性，以及反映纵向力和横向侧偏力与刚度、路面附着系数的定量数学关系。

1.2   理想的车辆动力学模型

4WS汽车的控制，其本质是控制车辆运动状态，实现对理想目标状态的跟踪。假定汽车处于小角度转向的[vx]≈V正常时速行驶工况，此时只考虑车辆侧滑和横摆运动，那么可选择质心侧偏角[β]和横摆角速度[γ]作为衡量操纵稳定性的主要指标。在汽车正常运行且不改变驾驶员驾驶习惯的情况下，为提高汽车低速转向过程的机动灵活性和高速转向过程的操纵稳定性，可将具有稳态的期望横摆角速度[γd]作为4WS车辆[γ]的控制目标。为使车辆转弯过程保持良好的车身姿态，要求[β]能趋于0或其附近的期望质心侧偏角[βd]。

考虑[γ]对前轮转角输入[δf]的响应瞬态延迟，引入如下的一阶滞后环节，表明[γd]也具有该延迟效应[15]：

[γd（s）=kγ11+τγsδf（s）].               （4）

其中：[kγ]是[γd]相对前轮转角的一阶滞后响应的增益系数，[τγ]表示一阶滞后环节的滞后时间常数，两者的数学表达式分别为[kγ=Va+mabV2/2Cfa（a+b）]、[τγ=IzV2Cfa（a+b）+mbV2]，[Cf]为汽车前轮侧偏角   刚度。

定义期望状态矢量[xd=βdγdT]和期望输出矢量[yd]，可建立起如下的车辆转向理想模型：

[xd=Adxd+Bdδf，yd=xd.]                          （5）

式中： [A=diag0-1τγ]，[Bd=0kγτγT]。

2    4WS汽车的无模型自适应控制方法

鉴于单一的后轮转角主动控制策略在改善4WS车辆转向机动灵活性和操纵稳定性方面效果有限，横摆力矩控制也是提高车身动力学稳定性的一种有效策略。为降低控制器设计对精确对象或系统数学模型的依赖性，提高不同行驶工况下的控制性能，本文提出一种如图2所示的4WS车辆MFAC方法。由图2可见，控制系统以4WS汽车的质心侧偏角和横摆角速度为反馈量，将质心侧偏角控制误差[eβ]和横摆角速度控制误差[eγ]作为MFAC控制器输入，控制器输出后轮转角与横摆力矩以联合控制4WS车辆。

2.1   多输入、多输出的4WS动态线性化过程

根据图2所示的4WS汽车控制系统原理，可将4WS车辆模型等价为如下的双输入-双输出的非线性离散时间系统[16]：

[y（k+1）=f（u（k）， u（k-1）， …， u（k-ni），]

[ y（k）， y（k-1）， …， y（k-no））].     （6）

式中：[u（k）=δr（k）M（k）T∈R2×1]為4WS车辆控制输入矢量;[y（k）=β（k）γ（k）T∈R2×1]为车辆姿态输出矢量;[f（k）∈R2×1]为未知的非线性函数向量;[ni、no∈Z]（[Z]为整数集）为2个整数，分别表示输入、输出信号序列的长度。鉴于方向盘的操作使得前轮转角连续性变化，同时从汽车动力学安全稳定性角度考虑，后轮转角和横摆力矩的控制作用也应非跳变，且满足有界输入和有界输出（BIBO）的稳定性要求。因此，引入如下的2个假设条件：

假设1   函数[f（·）]关于控制输入[u（k）]的偏导数是连续的。

假设2  该系统满足Lipschitz条件，即对任意的[k]和[Δu（k）≠0]，存在关系：

[Δy（k+1）≤ξΔu（k）] .               （7）

式中：[Δy（k+1）=y（k+1）-y（k）]，[Δu（k）=u（k）-u（k-1）]，且[ξ]为大于0的常数，[·]表示2范数。

引理1  对于满足上述假设条件的非线性离散时间系统（6），对任意的[k]和[Δu（k）≠0]，必然存在一个伪雅可比矩阵[φ（k）]，使得系统（6）可转化为以下形式的紧格式动态线性化数学模型：

[Δy（k+1）=φ（k）⋅Δu（k）] .              （8）

式中：[φ（k）=φ11φ21   φ12φ22∈R2×2]，且满足[φ（k）≤ξ]。

引理1 的证明见参考文献[17]。伪雅可比矩阵[φ（k）]反映了双输入与双输出之间的耦合关系，矩阵各元素的数值大小表示耦合作用的紧密性，且数值的有界性满足BIBO条件要求。为充分发挥[δr（k）]、[M（k）]分别在提高转向运动轨迹跟踪能力和车身动力学稳定性方面的控制优势作用，对[φ（k）]的元素数值引入权重假设。

假设3  伪雅可比矩阵[φ（k）]满足对角占优条件，即满足关系：

[φij（k）i≠j≤ξ1]，[ξ2≤φij（k）i=j≤αξ2] .        （9）

式中：[α≥1];[i=1， 2];[j=1， 2];[ξ2≥ξ1（2α+1）]，[ξ1] 、[ξ2]表示2个大于0的常数。

2.2   控制算法设计

为使4WS汽车满足不同车速转向情况对机动灵活性和操纵稳定性的要求，设计恰当的控制律[u（k）]，控制车辆姿态[y（k）]对期望目标[yd（k）]的平稳趋近跟踪。为体现车辆姿态的跟踪控制性能和控制作用的平稳性，引入如下的准则函数：

[Ju（k）=yd（k+1）-y（k+1）2+]

[λu（k）-u（k-1）2] .                （10）

式中：权重因子[λ>0]，反映限制输入量过大变化的重视程度。基于准则函数最小值准则，将式（8）代入式（10），并对[u（k）]进行极值运算，则可得到：

[u（k）=u（k-1）+ρφT（k）（yd（k+1）-y（k））λ+φ（k）2].（11）

式中：[ρ∈0， 1]是步长因子。由于式（6）非线性函数未知，难以得到式（11）中准确的伪雅可比矩阵。因此，本文采用最小参数估计准则函数思想来设计伪雅可比矩阵的估计算法。首先定义如下形式的估计准则函数：

[Jφ（k）=Δy（k+1）-φ（k）Δu（k+1）2+]

[ζφ（k）-φ（k-1）2] .                      （12）

式中：[ζ>0]是权重因子。对上式估计准则函数进行极值运算，可获得[φ（k）]的估计算法：

[φ（k）=]

[η（Δy（k+1）-φ（k-1）Δu（k-1））⋅ΔuT（k-1）ζ+Δu（k）2+φ（k-1）] .                                                             （13）

式中：[η∈0， 2]是步长因子。通过对[φ（k）]的估计，所设计的无模型自适应控制器表达式（11）变为：

[u（k）=u（k-1）+ρφT（k）（yd（k+1）-y（k））λ+φ（k）2]. （14）

为保证伪雅可比矩阵在合理的范围内变化，伪雅可比矩阵的估计算法中引入一种重置机制，即当[φ（k）≤ε]或[sgn（φ（k））≠sgn（φ（1））]时，有[φ（k）=φ（1）]，其中[ε]是一个很小的正数。

2.3   控制系统稳定性分析

定义控制误差向量[e=yd（k）-y（k）]。现结合紧格式动态线性化系统模型式（8），证明在估计算法（13）和控制律（14）的作用下，通过对[φ（k）]的有界估计，使得4WS车辆的控制误差向量满足[limk→∞e=0]。

证明如下：

定义伪雅可比矩阵估计的误差矩阵[φ（k）=φ（k）-φ（k）]，则式（13）变为：

[φ（k）=φ（k-1）+φ（k-1）-φ（k）-]

[ηφ（k-1）Δu（k-1）⋅ΔuT（k-1）ζ+Δu（k）2].      （15）

由引理1可知，由于[φ（k）≤ξ]，所以[φ（k-1）-φ（k）≤2ξ]。令[z=ηΔu（k-1）2ζ+Δu（k-1）2]，由于[η∈0， 2]，且[ζ>0]，那么有：

[0≤z<2].                      （16）

对式（15）两边取范数，利用[z]的定义式进行简化有：

[φ（k）≤2ξ+φ（k-1）-]

[ηφ（k-1）Δu（k-1）⋅ΔuT（k-1）ζ+Δu（k-1）2=]

[2ξ+φ（k-1）-φ（k-1）z] .        （17）

并對式（17）最后两项取平方得：

[z-2z+1⋅φ（k-1）2≥0] .       （18）

结合式（18）和式（16）可知，[z]的边界关系为：

[1≤z<2] .                        （19）

所以可存在一个[d=（1-z）∈-1， 0]，使得：

[φ（k）≤2ξ+dφ（k-1）≤]

[1-dk-11-d2ξ+dk-1φ（1）] .            （20）

由式（20）可知，[φ（k）]有界，这表明对伪雅可比矩阵的估计[φ（k）]也是有界的。

当[k→∞]时，转向理想模型的输出[yd（k）]具有稳态特性，即有[yd（k+1）=yd（k）]。联立式（8）和式（14）可得：

[Δy（k+1）=ρφ（k）φT（k）λ+φ（k）2（yd（k+1）-y（k）），y（k+1）-y（k）=ρφ（k）φT（k）λ+φ（k）2（yd（k+1）-y（k）），e（k）-e（k+1）=ρφ（k）φT（k）λ+φ（k）2e（k），e（k+1）=1-ρφ（k）φT（k）λ+φ（k）2⋅e（k） .]

（21）

由于[ρ∈0， 1]，且[λ>0]，则：

[1-ρφ（k）φT（k）λ+φ（k）2∈0， 1].              （22）

根据式（21）和式（22），故有[limk→∞e（k）=0]。

3    仿真分析

结合图2所示的系统框图，利用Matlab/Simulink软件环境将七自由度整车模型式（1）、文献[14]轮胎模型、转向理想模型式（5）、伪雅可比矩阵估计律式（13）、控制器表达式（14）等模块程序化，建立起4WS汽车控制仿真模型。对模型设置表1车辆参数，设置控制器及估计律有关参数[ρ=η=ζ=1]、[λ=1.5]、[ε=10-5]、[φ（1）=diag2-0.1]。为验证MFAC控制方法的有效性，控制仿真一方面考虑不同车速（20 km/h和100 km/h），以及前轮不同波形（图3的非理想角阶跃波形和图4的角正弦波形）转向的行驶工况;另一方面对比无控制的前轮转向（FWS）汽车（简记：无控制）、文献[3]的后轮转角比例前馈控制4WS汽车（简记：比例前馈）的转向性能效果。

图5给出了4WS汽车不同行驶工况下的质心侧偏角控制响应曲线。比较图5（a）—图5（d）可知，无控制的FWS汽车，各种行驶工况下的质心侧偏角稳态响应均不为0，特别是高速转弯时，质心侧偏角数值较大且与前轮转角方向相反，这反映出高速行驶的FWS汽车甩尾和侧滑的趋势增大。当4WS汽车实施MFAC控制，相比后轮转角比例前馈控制方法，不同行驶工况均能实现质心侧偏角为0，达到理想的期望稳定状态，使得4WS汽车能很好地维持车身姿态，具有良好的路径跟踪能力，极大地改善了汽车的操纵性。

图6给出了4WS汽车在不同行驶工况下的横摆角速度控制响应曲线。由图6可以看出，无控制的FWS汽车，高速车辆阶跃波形转向时的横摆角速度响应具有较大的超调振荡现象，易发生严重的激转现象，从而使车辆失去稳定性。4WS汽車受MFAC控制时，相比单一的后轮转角比例前馈控制，能获得更优的横摆角速度期望跟踪控制性能。低速时[γ]较大，有助于汽车低速转向时少打方向盘或减少转弯半径，进而提高车辆低速转弯的机动灵活性;高速时[γ]较小，不存在前馈控制的超调现象，且振荡现象明显得到抑制，特别是阶跃波形转向情形，无超调和振动现象，这表明4WS汽车的行驶稳定性得到有效提高，降低汽车高速状态下驾驶员猛打方向盘造成的危险。

4    结论

本文所提出的4WS汽车无模型自适应控制方法，其控制器设计基于系统输入和输出信号构建的紧格式动态模型，不依赖4WS系统精确的数学模型及参数;其根据紧格式动态线性化模型和车辆理想转向模型，引入输入准则函数和参数估计准则函数，并利用极值原理设计出无模型自适应控制器，是一种后轮转角控制和直接横摆力矩控制相结合的复合控制方法。仿真结果表明，在不同的车速和转向条件下，该控制方法以车辆转向理想模型输出作为控制期望，相比于后轮转角的比例前馈控制方法，能较好地对质心侧偏角和横摆角速度进行稳定跟踪控制，并有效地提高了汽车的行驶操纵稳定性和安全性。

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The model-free adaptive control of

four-wheel steering vehicle

XU Jiadong1 ， GAO Yuan*1，2 ， YUAN Haiying1

（1.School of  Electrical， Electronic and Computer Science， Guangxi University of Science and

Technology， Liuzhou 545616， China; 2. Guangxi Key Laboratory of Automobile Components and Vehicle

Technology（Guangxi University of  Science and Technology）， Liuzhou 545006， China）

Abstract： A model-free adaptive control （MFAC） strategy was presented to improve the steering stability of four-wheel steering （4WS） vehicle， which took side slip angle and yaw rate as feedback， and the rear wheel angle and yaw moment as the controller output. The design scheme was as follows： firstly， the double-input-double-output compact linearization model of the equivalent vehicle was established combined with the ideal model of vehicle steering dynamics; secondly， the input criterion function and parameter estimation criterion function were introduced; thirdly， MFAC controller and the estimation law of pseudo Jacobian matrix were designed respectively by the extremum principle;  finally， the stability of the 4WS control system was analyzed. The proposed method provides a compound controller with the combination of rear steer angle and direct yaw moment， where the design process is independent of the accurate 4WS model. The control simulation results of 4WS vehicle show that under different vehicle speeds and steering conditions， the control method can track the expected yaw rate and side slip angle， and effectively improves the maneuverability of low-speed steering and the steering stability of high-speed steering of 4WS vehicle.

Key words： four-wheel steering vehicle; model-free adaptive control; dynamic mathematic model

（责任编辑：罗小芬）