动量守恒定律中的动能关系

崔渝珩

(重庆市大学城第一中学校 400013)

对动量守恒的系统，如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞.如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞.对爆炸等，系统的动能还会增加，现归纳如下：

结论典型实例情景图动能不增动能守恒(弹性碰撞)一动撞一静:m1v0=m1v1+m2v212m1v20=12m1v21+12m2v22解得:v1=m1-m2m1+m2v0v2=2m1m1+m2v0推论一:牛顿速度公式Δv1=-Δv2;推论二:m1:v共-v1=v1′-v共m2:v共-v2=v2′-v共弹簧双振子:弹簧长度再次恢复原长时,两物速度差最大.子母球模型:子球反弹的最大高度可达初始高度的9倍1/4圆弧:球上升到最高点后再次滑回最低点时,两物体相当于弹性碰撞,两物体速度差最大.静电场:两个带电体的动能转化为电势能后,电势能再完全转化为动能时,两物体的运动相当于弹性碰撞.动能损失(非弹性碰撞)动能损失最大(完全非弹性碰撞)m1v0=(m1+m2)vΔEKmin=12m1v20-12m1v21-12m2v22解得:v=m1v0m1+m2ΔEKmax=m1m2v202(m1+m2)弹簧双振子:弹簧长度最短或最长时,两物有共速,弹性势能最大.同上1/4圆弧:球在最高点时,两物有共速,重力势能达最大.同上静电场:两个带电体达共速时,系统的动能最小,电势能最大.同上滑板模型(子弹打木块):两物有共速时,产生的内能最大,相对位移最大.电磁感应:双杆共速时,系统的动能转化为焦耳热,相对位移最大.结论:两物体共速的过程,是系统的动能转化为其他形式能的过程,若其他形式的能还能完全转化为动能,则是弹性碰撞;若其他形式的能为内能,则两物一直共速(不再有差异).动能损失较大(非完全弹性碰撞)m1v0=m1v1+m2v2ΔEK=12m1v20-12m1v21-12m2v22介于以上两种情形之间

例1 质量为M的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块冲来，设小球不能越过滑块(越过的情况不影响结果)，求：(1)小球能达到的最大高度；(2)小球、滑块的最终速度.

解析对小球和滑块，在相互作用的过程中，相互作用的支持力(内力)使小球做减速运动，使滑块做加速运动，当水平方向速度相同(小球相对滑块的速度为零)时，小球到达最高点，如果水平方向小球的速度大于滑块的速度，小球相对于滑块将继续上升，如果水平方向小球的速度小于滑块的速度，小球相对于滑块将向下运动，所以二者水平方向速度相同时小球达到最高点，即小球从图1位置Ⅰ到位置Ⅱ，小球的动能转化为滑块的动能和小球的重力势能，从图1位置Ⅱ到位置Ⅲ，小球的重力势能又转化为二者的动能，但从图1位置Ⅰ到位置Ⅲ，总机械能不变，高度也不变，所以总动能也不变.同时系统水平方向无外力作用，故水平方向动量守恒，以后小球和滑块始终以速度v1、v2匀速运动.

图1

点评从物理过程来看，在相互作用过程中机械能守恒，但动能并不守恒，即系统的一部分动能先转化为系统的重力势能，当速度相等时，重力势能最大，当两物体恢复原形刚要分离时重力势能又转化为系统的动能，所以弹性碰撞应遵循机械能守恒定律，只有在碰前和碰后系统的总动能保持不变.

例2如图2所示，载人气球静止于高h的空中，气球的质量为M，人的质量为m，若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

图2

解析气球和人原来静止在空中，说明系统所受合外力为零，故系统在人下滑过程中动量守恒，人着地时绳梯至少应接触地面，设绳梯长为L，人沿绳梯滑至地面，人的位移为x人，球的位移为x球，它们的位移状态图如图2所示，由平均动量守恒有：

0=Mx球-mx人，

例3 机车拖着拖车质量为M的一列火车在水平轨道上匀速行驶，质量为m的最后一节车厢突然脱钩，若火车运动所受阻力均正比于车重，机车牵引力恒定，在尾部车厢停止前，下列说法正确的是( ).

A.总动能将增大，而总动量是守恒的

B.总动量将增大，而总动能是守恒的

C.总动能将增大，而总动量也将增大

D.无法判断

解析列车原来做匀速直线运动，牵引力F等于摩擦力f，合外力为零，f=k(M+m)g(k为比例系数)，因此，整个列车所受的合外力等于零，尾部车厢脱钩后，每一部分所受摩擦力仍正比于它们的重力.如果把整个列车作为研究对象，脱钩前后所受合外力始终为零，在尾部车厢停止前的任何一个瞬间，整个列车(前部+尾部)的总动量应该守恒.由于F>f1=kMg，前部列车加速运动，尾部车厢只受阻力作用而减速运动，随着前部和尾部速度差值越来越大，由结论知总动能应逐渐增大，从能量转化的角度看，机车牵引力作的功比摩擦力作的功多，使系统的总动能增大，所以答案选A.

点评该结论还可以推广到三个物体或多个物体的情形，系统动量守恒的条件下，如果作用前后几者的速度之差由大变小，其总动能减小；如果作用前后几者的速度之差由小变大，其总动能增大，且系统内各部分的速度相差越大，其总动能越大；系统内各部分的速度相差越小，其总动能越小.

弹性碰撞的结果公式被称为“黄金二级结论”，故在解题时可直接写出答案，由此也提醒我们要将弹性碰撞的速度结论熟记于心，为解题带来简便.