时间分数阶亚式期权定价高精度的显-隐和隐-显差分方法

谢万姗,孙玉东

(1.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵阳 550025;2.贵州民族大学 政治与经济管理学院,贵阳 550025)

自股票期权交易产生以来,大量学者一直对期权定价问题进行研究,其中亚式期权是最早出现在日本东京的金融证券,由美国银行家信托公司推出的衍生证券,其回报取决于一段时期标的资产平均价格.在计算平均值方法上,可将它分为几何平均亚式期权和算术平均亚式期权,在这里着重研究算术平均亚式期权.

最近几年以来,关于期权定价的数值差分方法已有相关文献进行研究.Alfredo Bermudez等[1]研究了高阶拉格朗日-伽辽金方法求解得亚式期权的偏微分方程,并且利用迭代方法对其进行求数值解.Lin Yumin等[2]用有限差分方法和空间的Legendre谱方法考虑了时间分数阶扩散方程的数值解,主要是由标准扩散方程的一阶时间导数替换为α阶的分数阶导数.Cen Zhongdi等[3]提出了亚式期权定价[4]的数值差分方法,通过积分变换将空间变量从二维偏微分方程降维到一维的偏微分方程[5].Fischer S等[6]建立了Black-Scholes模型的期权定价,其中Black-Scholes模型的应用促进了金融市场的不断发展.但是Black-Scholes模型需要在很多假设条件下进行研究,由于这些假设条件太过理想与实际应用不相符.对此,需要削弱这些假设条件才能促进Black-Scholes模型的发展.近年来,时间分数阶Black-Scholes模型的推导有了一定的进步.Walter Wyss等[7]研究了时间分数阶Black-Scholes模型.到目前为此,时间分数阶Black-Scholes模型没有解析解,不过在特定条件下可得出解析解,其形式复杂.在此,实际应用中不能求解满足期权定价的时效性要求.孙玉东等[8]针对分数阶时变Black-Scholes模型[9]下算术平均亚式期权,提出了隐式差分方法求解数值定价,进而采用不等式放大技术证明了差分格式的稳定性及收敛性.Rhd Staelen等[10]研究了时间分数阶型中双障碍期权的数值定价,在时间上采用了时间分数阶进行离散化,在空间上运用高精度[11]的有限差分方法进行离散化,结合傅里叶方法分析了该数值格式的稳定性和收敛性.刘新龙等[12]证明了时间分数阶扩散方程的显-隐和隐-显差分方法,该方法是基于古典显式和古典隐式进行交叉运算所得,并用傅里叶方法分析了差分格式稳定性与收敛性.

由于时间分数阶Black-Scholes模型下数值差分方法研究相对较少,仅有孙玉东等研究了时间分数阶Black-Scholes模型下算术平均亚式期权定价的数值解法,运用隐式差分方法得到了时间2-α阶、空间2阶精度的隐式差分格式.但隐式差分格式的误差比较大,且计算速度也比较慢.本文主要研究时间分数阶Black-Scholes模型下算术平均亚式期权定价的数值差分方法.通过有限差分方法的运用,构造无条件稳定、计算量较小和提高空间精度得到了高精度的显-隐式差分格式和隐-显式差分格式.同时结合傅里叶方法和数学归纳法证明差分格式的稳定性及收敛性.通过数值模拟说明差分格式求解时间分数阶Black-Scholes模型是可行的.

1 时间分数阶亚式期权

(1)

其中T为到期日,E为执行价格.这个二维偏微分方程是一个退化抛物型问题.在计算流体动力学中,对流项的标准中心差分方法会产生虚假振荡.

由于式(1)是计算量较大的二维偏微分方程,需要将它变为一维偏微分方程,则变量变换[13]：

x=(E-I/T)/S,C(t,S,I)=SV(t,x).

(2)

利用式(2)将式(1)转换为一维空间变量的偏微分方程：

当I≥ET时,可得亚式期权的边值条件：

(3)

通过式(2)将式(3)变换得

(4)

已知C(t,S,I)=SV(t,x)可得V(t,x)是亚式期权价格的解.

通过U(τ,x)=V(T-τ,x)将时间分数阶亚式期权的偏微分方程变换得

(5)

2 高精度的显-隐差分格式的构造

结合文献[12]的差分方法,构造一种时间分数阶Black-Scholes模型下算术平均亚式期权高精度的显-隐式差分格式,主要在时间变量和空间变量上进行差分离散化.接下来,对式(5)的时间变量和空间变量进行等距网格划分,不妨令：τj=jΔt,j=0,1,2,…,N,xi=ih,i=0,1,2,…,M,其中Δt=T/N和h=X/M分别表示时间步长与空间步长,为了提高精度选择中心差分格式对空间变量进行离散化.进一步,对空间变量进行显式高精度的一阶中心差分和二阶中心差分离散化:

(6)

(7)

再对空间变量进行隐式高精度的一阶中心差分和二阶中心差分离散化:

(8)

(9)

其中差分算子表达式:

在点(τj,xi)算术平均亚式期权的主方程式:

(10)

为了构造式(5)的差分格式,先将式(6)和式(7)代入式(10)得高精度的古典显式差分格式:

(11)

再将式(8)和式(9)代入式(10)得高精度的古典隐式差分格式:

(12)

(13)

(14)

其中：d=Δt-α/Γ(2-α),mk=(k+1)1-α-k1-α,接着忽略截断误差,并构造时间分数阶Black-Scholes模型下高精度的显-隐式差分格式.

奇数层上，将式(13)和式(14)代入式(11)，且偶数层上，将式(13)和式(14)代入式(12)，可得高精度的显-隐式差分格式：

(15)

(16)

3 高精度的显-隐差分格式的理论分析

采用文献[18-19]中的傅里叶方法和数学归纳法,从两个方面来对高精度的显-隐式差分格式进行理论分析.一方面证明高精度的显-隐式差分格式的稳定性.另一方面证明高精度的显-隐式差分格式的收敛性.

3.1 高精度的显-隐式差分格式的稳定性

(17)

其中参数表示：

基于式(17)分析差分格式的唯一解:

当｀a<0,｀b>0,｀c<0且满足｀b-|｀a+｀c|>0时,则矩阵G1是严格对角占优矩阵;当|G1|≠0时,G1是可逆矩阵,则系数矩阵G1为非奇异矩阵.

当a′>0,b′<0,c′>0时,且有|G2|≠0,则系数矩阵G2是可逆矩阵,且G2又为非奇异矩阵,故格式解存在唯一解.

定理1在时间分数阶Black-Scholes模型下,算术平均亚式期权高精度的显-隐式差分格式(15)～(16)存在唯一解.

引理1通过函数m(x)=x1-α(x≥1)的性质,从而得到以下的结论[12]:

定理2在时间分数阶Black-Scholes模型下,算术平均亚式期权高精度的显-隐式差分格式(15)～(16)关于范数无条件稳定.

已知exp(±iλh)=cosλh±isinλh,变换后为

(18)

其中C是任意的正常数.

当s=2j时,可假设|μ2j|≤C|μ0|成立,其中C是任意的正常数.

因此,|μ2j+1|≤C|μ0|,其中C是任意的正常数.

3.2 高精度的显-隐式差分格式的收敛性

对ξj(x)和Rj(x)进行傅里叶方法展开得

当s=1时,结合高精度的显-隐式差分格式的式(15),可得

其中C是任意的正常数.

4 高精度的隐-显式差分格式

结合高精度的显-隐式差分方法,类似地构造一种时间分数阶Black-Scholes模型下算术平均亚式期权高精度的隐-显式差分方法.在奇数层上将式(13)和式(14)代入式(12)和偶数层上把式(13)和式(14)代入式(11),再进行差分算子离散化,可得时间分数阶Black-Scholes模型下高精度的隐-显式差分格式:

(19)

(20)

根据高精度的显-隐式差分格式的理论分析,同理可得高精度的隐-显式差分格式的理论证明,则高精度的隐-显式差分格式的定理如下.

5 数值模拟

运用R软件对高精度的显-隐式差分格式进行数值模拟,既验证差分格式的可行性,又对亚式期权进行价值分析.根据表1中的参数,绘制股票价格与亚式期权价格的变化曲线图,并计算亚式看涨期权价格.在到期日T下,根据不同参数α(α=1/3、1/2、2/3、1)绘制股票价格与期权价格的变化趋势图(图1),在参数α下,取不同的到期日T计算亚式看涨期权的价格.

表1 模拟参数Tab.1 Simulation parameters

(a) α=1/3 (b) α=1/2(c) α=2/3 (d) α=1图1 不同股票价格S下亚式期权的价格UFig.1 The Asian option price U with different stock price S

由表2表明,当参数α=1/3和α=1/2时,亚式期权的价格是随着到期日的增加而减少;当参数α=2/3和α=1时,到期日T增加亚式期权的价值也在逐渐递增.由图1可知,当参数α=1/3和α=1/2时,股票价格处于2～6之间,到期日T=1的期权价值大于其他到期日T的期权价值;当参数α=2/3和α=1时,股票价格处于6以前,随着到期日T的增加期权价值也在逐渐增加,股票价格处于6以后,随着到期日T的增加期权价值逐渐趋近于零.其中股票价格处于2以前,到期日T=1的期权价值小于其他到期日T的期权价值.

在时间节点N固定的情况下,差分格式在空间变量上的收敛精度为

由表3和表4,可看出时间的收敛精度在2-α附近、空间的收敛精度在4附近,验证了定理3的结果.

表3 M=10情形下的误差εN|M和收敛速度RN|MTab.3 Error εN|M and rate RN|M of convergence in the case of M=10

表4 N=10情形下的误差εM|N和收敛速度RM|NTab.4 Error εM|N and rate RM|N of convergence in the case of N=10

根据以上分析可知,时间分数阶Black-Scholes模型的变化趋势与标准Black-Scholes模型是一致的，可见时间分数阶Black-Scholes方程解决此类问题是可行的.时间分数阶Black-Scholes模型价格高于标准的Black-Scholes模型价格,时间分数阶Black-Scholes模型比整数阶更适合金融市场,其中时间的收敛精度在2-α附近、空间的收敛精度在4附近,其收敛阶为O(Δt2-α+h4).因此,数值模拟的结果与理论分析相符,该差分方法解决此类问题是可行的.

6 结语

研究了时间分数阶Black-Scholes模型下算术平均亚式期权定价的数值差分方法.首先,通过积分变换和右Riemann-Liouville微分得出了时间分数阶亚式期权的偏微分方程.其次,对高精度的古典显式差分格式和古典隐式差分格式进行交叉运用得到了高精度的显-隐式差分格式.再次,结合傅里叶方法和数学归纳法分析了高精度的显-隐式差分格式的稳定性和收敛性,其收敛阶为O(Δt2-α+h4).然后,根据高精度的显-隐式差分方法,同理可得高精度的隐-显式差分方法以及它的理论分析.最后,在R软件中分析的数值模拟结果和理论分析相符,时间的精度在2-α附近收敛、空间的精度在4附近收敛,说明了差分方法求解时间分数阶Black-Scholes模型是可行的.在相同的Black-Scholes模型下,本文研究的方法对其他类型的时间分数阶期权依然可进行研究,也可进一步研究其他数值方法,使其能够在实际应用和理论意义中发挥作用.