信息技术与数学课程的深度融合：理据与方法
——以TI图形计算器解决一类函数应用模型问题为例

李保臻，陈国益，马登堂

(1.西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070；2.陇南师范高等专科学校 数信学院，甘肃 陇南 742500)

0 引言

随着现代信息技术在教育领域的逐步推广与深入发展，我国传统课堂的教学理念、教学模式及教学活动等发生了深度变革，教育信息化的发展受到国家层面的重视[1]。2012年，我国教育部颁布的《教育信息化十年发展规划(2011—2020年)》中提出利用“互联网+教育”来推动教育信息化发展[2]。2018年，我国教育部颁布《教育信息化2.0行动计划》中提到，“持续推动信息技术与教育深度融合，促进教育信息化从融合应用向创新发展的高阶演进，将信息技术与智能技术融入教育全过程”[3]。可见，教育信息化的发展推进着我国教育现代化发展，也为我国未来教育发展起到重要的指向作用。因此，为探究信息技术在数学教育领域的应用，研究拟通过从理据与方法的层面对信息技术与数学课程深度融合开展系统研究，然后结合具体的教学案例探讨信息技术与数学课程深度融合内在联系，以期为信息技术与数学课程的深度融合提供理论支持与实践参考。

1 信息技术与数学课程深度融合的内涵

如何理解“信息技术与数学课程深度融合”呢？首先要对信息技术与数学课程之间的关系进行辨析及判别。一方面，现代信息技术的迅速发展对数学教育的价值、理念、内容及教学方式产生了很大的影响，特别是计算机科学与人工智能的迅猛发展对数学课程改革提出了新挑战[4]；另一方面，数学作为自然学科的基础，大数据、算法等技术应用离不开数学的支持。而信息技术与作为自然学科根基的数学之间相互促进，推动着信息技术与数学课程深度融合的可持续发展。其次，信息技术与数学课程的深度融合需利用技术方法或手段方能达成。例如TI图形计算器、希沃电子白板等多媒体工具。这些信息工具使得抽象复杂的数学知识变得直观可视，为实现深度融合提供了重要的技术保障。最后，作为学术形态的数学课程内容，在与信息技术深度融合的过程中，必须经过教育化、技术化的处理。鉴于此，信息技术与数学课程的深度融合可以理解为：在明晰信息技术与数学课程关系的前提下，按照《标准(2017版)》中相关要求选取合适数学课程内容，借助相应的多媒体教学软件工具科学实施教学过程，最终营造出信息技术赋能下的精准化数学教学、学生个性化自主学习的数学课堂教学新生态。

2 信息技术与数学课程深度融合的理据分析

2.1 数学课程标准要求信息技术与数学课程深度融合

课程标准是确定学段课程水平及课程结构的纲领性文件，是国家对国民在某方面或某领域的基本素质要求[5]。进入21世纪以来，我国教育部颁布的系列数学课程标准对信息技术与数学课程之间的“逻辑关系”与“融合程度”进行了深层次描述。经梳理发现，我国数学课程标准中信息技术与数学课程的融合历程大致经历了“有机结合”“有机整合”“深度融合”三个阶段，这三个阶段无论是具体内容描述上还是融合程度上都呈现出逐步递增、逐步加深的样态。“有机结合”是信息技术与数学课程融合的初步探索，此时信息技术是作为工具运用于数学课程之中[6]。“有机整合”是有机结合的进一步发展，如《标准(2003版)》中提到的信息技术与数学课程整合，还存在着有机结合的影子[7]。而经过几年的发展，随着“互联网+”理念的提出，“互联网+数学教育”作为一种新的教育形态应运而生，这时《标准(2011版)》中提出的信息技术与数学课程有机整合也实现了“脱胎换骨”的变化，数学课堂更多是利用信息技术开发数学课程资源，进而不断调整与优化数学课堂教学[8]。随着基础教育课程改革的不断推进与信息技术的迅猛发展，2017年教育部颁布的《标准(2017版)》中提出信息技术与数学课程的深度融合，这时信息技术、数学课程、精准化数学教学以及个性化学生数学学习等要素链接起来共同发挥出综合效应，使信息技术与数学课程的深度融合进入了新阶段[4]。从21世纪以来颁布的系列数学课程标准中关于“信息技术与数学课程”关系的阐述中可以发现，信息技术与数学课程深度融合的信息化、智能化时代发展特征，成为当前数学课堂教学的一种常态。通过信息技术创设合理的问题情境为学生营造探索学习空间与研究环境，为学生的发现学习创造条件进而实现个性化学习，而上述系列目标的实现均离不开信息技术与数学课程的深度融合。

2.2 精准化数学教学要求信息技术与数学课程深度融合

20世纪60年代，美国学者奥格登·林斯利根据斯金纳行为学习理论中的“操作性反射原理”提出“精准教学”的概念，主张学习即操作过程，然后以流畅度(Fluency)刻画学生学习发展，通过设计测量过程以追踪学生的学习表现[9]。之后，信息技术的迅速发展为精准教学提供的技术支持，使得信息技术支持下的精准教学成为了学者们研究的热点话题。经查阅相关文献发现，多数学者认为精准教学是基于信息技术记录、分析学习者的学习行为、学习表现等方面的数据及其变化为基础的教学[10]，具有鲜明的方向性、实践性及专业性，是促进学生深度学习的重要手段[11]。目前，我国的数学教育正在由“知识与技能”转向强调“过程与方法”，在转向主张“知识与技能”和“过程与方法”并重，倡导在教学过程中让学生主动参与、体验和感悟学习。信息技术为学生提供的交互式学习与研究环境，为学生进行数学学习与探究提供了重要平台，进一步拓展了数学课堂空间。在数学教学中通过信息技术可以创设丰富的情境，将抽象的数学内容变得直观可视。另一方面，借助信息技术记录的教学过程的详细行为数据，能够更加精准地刻画分析教师与学生的实时状态，诊断与预测教学过程中存在的问题，然后依据个体状态实施数学精准教学[12]。由此可见，信息技术的发展对精准化数学教学的实施具有重要作用，而精准化数学教学的实施也离不开信息技术的深度参与，信息技术与数学课程深度融合为数学教学实现精准化的必要条件与重要保障。

2.3 个性化数学学习要求信息技术与数学课程深度融合

虽然“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”已成为数学课程的基本理念，但要真正将这一理念的落实到具体教学之中，仍有许多亟待解决的问题。如当前西部偏远农村地区教师信息技术素养普遍较低，师资力量匮乏，以及部分地区跨年级课堂教学现象仍然存在，导致信息技术与数学课程内容的融合停留在表层，使得“个性化学习”难以落实[13]。但“关注学生的个性特点与认知差异，发掘学生的潜能，实现学生个性化的学习”是教育的理想追求，而“大数据”“人工智能”等技术的发展使得这一理想有了实现的可能性。信息技术的迅速发展为促进学生的个性化发展提供了平台，互联网与教育资源的开放共享，让每个人都享有平等的资源和机会；大数据、学习分析技术以及各种自适应学习系统的出现，可以让学生进行自我量化、自我管理。进而有目的、有步骤地开展个性化学习，大数据支持的学生行为数据的深度挖掘与分析，可以让教师对学生的个性化发展提供有效的指导[14]。可见，个性化学习中“个性化”的体现和实施，聚焦于各种新型技术环境支持下的个性化学习实践，学生学习个性化的需求迫切要求信息技术与数学课程深度融合。

3 信息技术与数学课程深度融合的方法

3.1 深度理解课程标准中相关内容具体要求，选择适当内容进行教学活动设计

数学课程标准是课程实施的重要依据，也是数学教师教学的重要指南。通过对课程标准中“信息技术与数学课程深度融合”理念相关论述的梳理，可以探寻出信息技术与数学课程深度融合的变化趋势及未来走向。在深度理解数学课程标准中信息技术与数学课程深度融合时，先要明确研究主题，然后按照具体课程内容从低到高逐层梳理。课程内容作为信息技术与数学课程深度融合的载体，要从课程标准中追溯信息技术运用于课程内容的相关要求。

教师首先对课程标准进行深度解读与理解，然后梳理出其中信息技术应用于具体课程的“内容要求”与“教学提示”。课程标准中关于信息技术在“函数”的相关描述，在“教学提示”中明确提出利用计算机、计算器画出各类函数图像，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质[15]。

在具体实施时，可以利用表格梳理出相关要求，也可以利用思维导图呈现具体内容的描述，客观呈现其具体要求与结构体系，形成研究问题的整体印象。人教A版必修第一册中有一类函数应用问题，给出一个现实的问题情境，给出某函数两个变量的若干组对应数据，拟合并求出最接近图像的函数解析式。选择好具体的内容之后，需要按照课程标准的相关要求，结合具体的研究问题，按照课堂教学的相关环节，设计教学流程如图1所示。

图1 依据课程标准要求及具体内容设计教学活动流程图

3.2 深入践行精准化数学教学理念，借助信息技术实施教学过程

信息技术与数学课程的深度融合离不开相关教育理念的支持，这理念主要是指精准化数学教学，精准化数学教学是基于数据的教学，体现着过程性。在教学过程中选用TI图形计算器解决一类函数模型问题，让学生在解决问题的过程中帮助学生厘清数学知识的产生、发展及形成过程，加深学生对数学思想方法的理解。下面按照图1设计的教学活动流程图结合具体案例，结合案例具体展开说明信息技术与数学课程深度融合的实施情况。

3.2.1 提出问题 新版高中数学教科书(人教A版)必修第一册中有一类函数模型的应用问题，就是依据某个问题情境，给出某函数两个变量的若干组对应数据，如何拟合最接近的函数解析式，具体情况如下。

1)根据表1提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高x(cm)的函数关系？并写出这个函数的解析式。

2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175 cm，体重78 kg，他的体重是否正常？

表1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表 (单位：身高cm；体重kg)

关于这类问题的教学，通过对高中数学教师的课堂观察及课后访谈发现，多数教师或在课堂上避而不讲这类题目，直接将其作为学生课后的习题；或直接按照教材上的解法照本宣科地讲给学生，但实际上绝大多数学生并没有搞清楚函数模型产生的来龙去脉。当然，造成教师在处理这类函数模型应用题时存在的问题有诸多原因，其中绝大多数教师由于信息技术技能的匮乏而没有真正掌握确定这类函数解析式的方法则是主要原因。

3.2.2 分析问题 这道题目出现在函数的应用中，显然是让学生通过已学过的知识来进行求解。但是通过数据的观察可以发现，该地区未成年男性的体重随着身高的变化呈现增长的趋势，那么到底选用哪种类型的函数才能够最好地反映表中的数据应是学习者首先考虑的问题。回忆以前学过的函数则会发现，一次函数y=kx+b(当斜率k>0时)、二次函数y=ax2+bx+c单增的半支(当二次项系数a>1时)、指数函数y=ax(当底数a>1时)、对数函数y=logax(当底数a>1时)及幂函数y=xα(当指数α>0且x∈+时)都是单调递增的函数。那么怎样选取出最优的函数解析式呢？既然表中数据反映的是体重y(kg)随身高x(cm)变化的关系，且体重y(kg)随身高x(cm)的增大而增大。要想进一步发现内在规律，需在直角坐标系中画出数组(x,y)的对应点。通过观察点的变化趋势确定选用何种类型的函数来进行反映。故采用TI图形计算器绘图，首先将表中数据输入图形计算器如图2所示,绘制出散点图(其中x轴表示身高，y轴表示体重)如图3所示。

图2 数据输入

图3 TI图形计算器绘制的散点图

由图3可知，散点的连线呈现出“下凸”的形式，而对数函数y=logax(当底数a>1时)图像整体走势为“上凸”的形式，故排除对数函数模型。所以与绘制的散点图符合函数模型的可能是：1)一次函数y=kx+b(当斜率k>0时)；2)二次函数y=ax2+bx+c增长的半支(当二次项系数a>0时)；3)幂函数y=xα(当指数α>0且x∈+时)；4)指数函数y=ax(当底数a>1时))。下面分别尝试用这四种函数拟合，然后比较拟合效果。

3.2.3 解决问题 根据上述问题分析，让学生使用TI-92图形计算器进行函数拟合，绘制出拟合图像(线性回归直线)，具体拟合情况如表2所示。

表2 各类型函数解析式、图像及拟合情况表

虽然四次选择的函数模型不同，但是判断最佳函数模型的标准却是相同的，即看的是拟合的函数图像与已知点的位置关系：图像能经过尽量多的点，同时让其余点尽量均匀分布在图像的附近。依据这个标准进行比较,四种函数中指数型函数图像所经过的点的个数应该是最多的，即指数型函数拟合的效果最好。

3.2.4 优化问题 虽然通过“拟合图像经过散点个数”这拟合效果优劣的判断标准发现，指数型函数拟合效果最好。但题设是要求找到一种最好地反映该地区未成年男性的身高与体重的函数模型，所以仅依据函数图像经过有限点的个数就去判断该函数的拟合效果似乎还不够精确与严谨，因此还应考虑拟合函数的相关指数取值情况。TI-92图形计算器提供了用相关指数R2来刻画函数拟合优劣方法[13]，即当R2越接近于1，表示函数拟合效果越好。通过TI-92图形计算器的操作，得到四种函数相应的R2值，如图4所示。

图4 四种拟合函数的相关指数值

通过比较各函数模型拟合后的R2值，发现最接近1的是指数型函数，所以我们就选择y=2×1.02x作为未成年男生的身高与体重的函数。

3.2.5 反思问题 本题的函数模型为指数型函数，且拟合模型的表达式为y=2×1.02x.该解析式实际上只需两组数据代入到y=abx中即可求出参数a与b的值，但问题中共有12组数据，那么到底选择哪两组数据代入才能确定出指数型函数的表达式近似为y=2×1.02x呢？这是在解决这类函数应用模型问题时大多数教师与学生感觉非常困难的问题。对于第一问的解决，教材选取两组数据(70，7.90)(160，47.25)并将其代入y=a·bx后再借助计算器求得函数解析式y=2×1.02x.但为什么要选取这两组数据，如果选取其他两组数据代入后求得的解析表达式是否更理想等，教材中却并没有做出详细的说明，真有点“知其然而不知其所以然”的感觉。实际上，取这两组数据来求指数型函数y=a·bx中的参数a与b的值，并不是一种偶然的尝试，而是用图形计算器先拟合指数型函数的表达式(这时a与b的值已经确定)，再通过多组数据建模比较验证的结果。因此，教师要采用“执果索因”的教学思路引导学生解决该问题，即教师要引导学生先借助图形计算器拟合指数型函数的解析式为y=2×1.02x，让学生先明白y=a·bx中的a≈2，b≈1.02然后将数据代入到y=a·bx，求得每种函数模型的解析表达式，再通过每一种函数图像经过离散点的个数及相关指数R2与1的接近程度，确定选取数据的合理性。

3.3 严格遵循学生个性化发展原则，利用信息技术有效突破教学重难点

高中数学课程最大的特点就是“选择性”，课程选择性的设置能够让学生更早地展现自己的潜力、特征及兴趣[16]。数学课堂作为落实数学课程设置要求的“主阵地”，在课堂教学中利用适当的教学工具往往能够促进学生的个性化发展[17]。函数作为高中数学的主线，教学中要求学生会用抽象的集合与对应的数学语言来刻画函数概念、能够通过对实际问题数据的分析而建构出恰当的函数模型等往往成为学生学习的难点[18]。可见，本节课的重点与难点分别是“如何确定函数模型的类型”“如何选择合适的参数”，下面结合TI图形计算器在教学中的应用来阐述突破本节课重难点的具体过程。

3.3.1 多组数据代入后所求得函数模型图像经过离散点个数的比较 根据表中数据，将x=70,

y=7.90和x=160,y=47.25代入y=abx，利用计算器算得a=2,b=1.02，则近似函数关系式可表为y=2×1.02x.继续从表中任选两组数据x=60,y=6.13和x=70,y=7.90，将它们分别代入y=abx中，同理可算得a=1.338，b=1.026，即此时的函数模型为：y=1.338×1.026x.在同一坐标系中画出y=2×1.02x与y=1.338×1.026x这两种函数对应的图像如图4所示。

图5 指数型函数y=2×1.02x与y=1.338×1.026x的图像

通过图像可以看出，有更多的点落在了y=2×1.02x对应的图像上，即其与原有散点图具有更好的拟合度，而绝大多数点却偏离指数型函数y=1.338×1.026x的图像，所以函数y=1.338×1.026x不能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系。同理可知，当所选取的数据x=70,y=7.90和x=160,y=47.25时，函数模型不能使更多的点落于图像上，并且不在图像上的点偏离状况也较大。通过多组数据建模的比较验证，只有选取(70，7.90)及(160，47.25)这两组数据求出的指数型函数的解析式才接近y=2×1.02x.

3.3.2 多组数据代入后所求得函数模型相关指数R2值与1接近程度的比较 将身高作为自变量，代入我们已经得到的函数模型解析式y=2×1.02x中，可以重新得到一组理论函数值，通过计算可以得出二者的偏差值。具体如表3所示：

表3 函数模型y=2×1.02x所对应的身高、实际体重、理论体重及偏差

表4 函数模型y=1.338×1.026x所对应的身高、实际体重、理论体重及偏差

由确定函数模型过程可求得该题的回归平方和为10.640578527，则用y=1.338×1.026x

模型相关指数为：

模型的相关指数为：

通过计算R2可以看出，指数型函数模型y=2×1.02x的相关指数非常接近于1，而y=1.338×1.026x的相关指数远小于1，所以指数型函数模型y=2×1.02x更加符合题目要求。综合多组数据代入后所求得指数型函数图像经过离散点个数和函数模型相关指数与1接近程度两方面可知，指数型函数y=2×1.02x较近似反映该地区未成年男体重y(kg)与身高x(cm)的恰当函数模型。选择好函数模型，便可以判断出该男生体重是否正常。将x=175代入y(x)=2×1.02x，得y=63.98，由于78÷63.98≈1.22>1.2，故可知这个男生偏胖。

数学本质上是从数量关系及空间形式两大维度刻画客观事物的运动、变化及发展规律的，通过利用TI图形计算器将多组数据代入后所求得函数模型图像经过离散点个数以及相关指数R2值与1接近程度的比较，既可以看出信息技术便捷的数据处理功能，也能够及时对数据的准确性进行验证，有效突破本节课的教学重难点。

4 结语

信息技术与数学课程深度融合是持续发展的过程，随着时代发展与技术革新，两者之间融合的方法也会不断地突破。现代信息技术所具备的便携性、交互性、专业性等功能，实现了传统教学无可比拟的优点及效果，因此，今后仍需不断探索信息技术与数学课程深度融合的理论基础，创新其融合方法，借助信息技术加深学生对数学知识的理解，教学内容的重难点掌握，数学思想方法及数学内容本质的领悟，帮助学生构建完整的数学知识体系，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”美好愿景。