对2022年新高考Ⅰ卷第12题的解法探究与推广应用

2022-10-23 07:15朱少卿李雪芳
高中数理化 2022年17期
关键词:奇函数中心对称定义域

朱少卿 李雪芳

(广东省佛山市高明区第一中学)

1 题目呈现及解析

2 问题探究

由函数f(x)的图像关于直线x=a对称可得f(a+x)=f(a-x),两边分别求导得f′(a+x)=-f′(a-x),即g(a+x)+g(a-x)=0,所以函数g(x)的图像关于点(a,0)对称且g(a)=0.因为g(2a+x)+g(-x)=0,g(2b+x)=g(-x),所以g(2a+x)+g(2b+x)=0,将x换为x-2a+2b,则g(2b+x)+g(4b-2a+x)=0,故g(4b-2a+x)=g(2a+x),所以g(4b-4a+x)=g(x),函数g(x)为周期函数且周期T=4|a-b|.

由函数g(x)的图像关于直线x=b对称可得g(b+x)=g(b-x),构造函数F(x)=f(b+x)+f(b-x),显然F′(x)=f′(b+x)-f′(b-x)=g(b+x)-g(b-x)=0,所以F(x)≡c(c为常数,令x=0,则c=2f(b)),所以f(b+x)+f(b-x)=2f(b),函数f(x)的图像关于点(b,f(b))对称,函数f(x)为周期函数且周期T=4|a-b|.

结论1 函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,若f(x)和f′(x)的图像分别关于直线x=a和x=b对称,那么f(x)和f′(x)的图像分别关于点(b,f(b))和点(a,0)对称且f′(a)=0,函数f(x)和f′(x)均为周期函数且周期T=4|a-b|.

由探究1可知,函数g(x)的图像关于点(a,0)对称且g(a)=0,因为g(2a+x)+g(-x)=0,g(2b+x)+g(-x)=0,所以g(2a+x)=g(2b+x),所以g(2a-2b+x)=g(x),函数g(x)为周期函数且周期T=2|a-b|.构造函数F(x)=f(b+x)-f(bx),则F′(x)=f′(b+x)+f′(b-x)=g(b+x)+g(b-x),因为g(b+x)+g(b-x)=0,即F′(x)=0,所以F(x)≡c(c为常数,令x=0,则c=0),所以f(b+x)=f(b-x),函数f(x)图像关于直线x=b对称,函数f(x)为周期函数且周期T=2|a-b|.

结论2 函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,若f(x)和f′(x)的图像分别关于直线x=a和点(b,0)对称,那么f(x)和f′(x)的图像分别关于直线x=b和点(a,0)对称且f′(a)=0,函数f(x)和f′(x)均为周期函数且周期T=2|a-b|.

探究3 若将结论2中的“f′(x)的图像关于点(b,0)对称”改为“f′(x)的图像关于点(b,t)(t≠0)对称”,其他条件不变,函数f(x)的图像是否关于直线x=b对称?

由函数f(x)的图像关于点(a,0)对称,可得

所以函数g(x)的图像关于直线x=a对称,由探究2可知函数g(x)为周期函数且周期T=2|a-b|.由探究1可知,函数f(x)图像关于点(b,f(b))对称,函数f(x)为周期函数且周期T=2|a-b|.

结论3 函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,若f(x)和f′(x)的图像分别关于点(a,0)和直线x=b对称,那么f(x)和f′(x)的图像分别关于点(b,f(b))和直线x=a对称,函数f(x)和f′(x)均为周期函数且周期T=2|a-b|.

结论4 函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,若f(x)和数f′(x)的图像分别关于点(a,0)和点(b,0)对称,那么f(x)和f′(x)的图像分别关于直线x=b和直线x=a对称,函数f(x)和f′(x)均为周期函数且周期T=4|a-b|.

结论5 可导函数f(x)的图像关于点(a,f(a))对称的充要条件是其导函数f′(x)的图像关于直线x=a对称,可导函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是其导函数f′(x)的图像关于点(a,0)对称.

结论6 若函数f(x)的图像关于点(a,c)成中心对称,关于直线x=b成轴对称,则f(x)是周期函数且周期T=4|a-b|;若函数f(x)的图像分别关于点(a,c)和点(b,c)成中心对称,则函数f(x)是周期函数且周期T=2|a-b|;若函数f(x)的图像分别关于直线x=a和直线x=b成轴对称,则函数f(x)是周期函数且周期T=2|a-b|.

3 推广应用

例1 设函数f(x)=x3-(a-1)x2+ax-2,若f(x+1)为奇函数,则a的值是________.

因为f(x+1)为奇函数,所以f(x)的图像关于点(1,0)对称,根据结论3或结论4可知其导函数f′(x)的图像关于直线x=1对称.

例2 (2013年新课标Ⅱ卷理10、文11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).

A.∃x0∈R,f(x0)=0

B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减

D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0

对于选项C,由于f′(x)=3x2+2ax+b的图像是开口向上的二次函数,若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)上不单调(先增后减),故选项C错误.

对于选项D,若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义可知f′(x0)=0,故选项D 正确.

综上,选C.

猜你喜欢
奇函数中心对称定义域
如何求抽象函数的定义域
解答三次函数中心对称问题的两种路径
抽象函数定义域的四种类型
Poincare映射的定义域
归纳复合函数定义域的求法
浅谈如何运用奇函数研究对称中心
中心对称 贯穿始终
《中心对称图形——平行四边形》测试卷
中心对称图形在实际生活中的应用
换一些新思路去理解函数的奇偶性