巧用特殊函数解与抽象函数相关的问题
——2022年新高考卷一类选择题解法

张 军

(辽宁省大连市第二十四中学)

函数是高中数学教学内容的重点与难点,也是培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的重要载体.抽象函数因为没有函数解析式,可以多方面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等内容,所以与抽象函数相关的问题是现今各类考试的考查热点,又因其对学生的能力要求比较高,也是学生解答的难点.本文力求从函数的运算性质出发,构造符合函数性质的模型,化抽象函数为特殊函数,从而快速准确地解决问题.

所谓抽象函数,是指没有给出函数解析式,但给出了函数所具备的部分性质或者运算法则的函数.与抽象函数相关的问题具有题设抽象、构思新颖、综合程度高等特点,是很多学生在学习函数时的一大难点.大多数学生在解题时往往无从下手,但是如果我们能够根据题设所给的抽象函数性质,通过联想与类比的方式,找到函数模型,就能够化抽象为具体,顺利地解决问题.下面结合2022年新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷的两道选择题来进行解答,并对一些常见函数模型进行概括.

1 真题呈现

2 常规解法

2.1 例1解法1

因为f(x＋y)＋f(x-y)＝f(x)f(y),令x＝1,y＝0,可得2f(1)＝f(1)f(0),结合f(1)＝1,则f(0)＝2.令x＝0,可得f(y)＋f(-y)＝2f(y),即f(y)＝f(-y),所以函数f(x)为偶函数.令y＝1,可得f(x＋1)＋f(x-1)＝f(x)f(1)＝f(x),则有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1),从而可知

将x替换成x-3得f(x-1)＝-f(x-4),故

即f(x)＝f(x＋6),所以函数f(x)的一个周期为6.因为

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4,所以

2.2 例2解法1

若函数f(x)满足题设条件,则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定f(x)的函数值,故A 错误.

综上,选BC.

3 构造特殊函数求解

3.1 例1解法2

由f(x＋y)＋f(x-y)＝f(x)f(y),可令f(x)＝Acosωx(A·ω≠0),则由

故选A.

3.2 例2解法2

引理 若f(a＋x)＝f(a-x),f(b＋x)＝-f(b-x),(a≠b),则4(a-b)是函数f(x)的一个周期.

证明 因为

又因为

所以f[x＋4(a-b)]＝f(x),故4(a-b)是函数f(x)的一个周期.

4 常见函数运算法则可构造特殊函数模型

1)若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋b,则可构造f(x)＝kx-b.特别地,当f(x)＋f(y)＝f(x＋y)时,可构造f(x)＝kx.

2)若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy-c,则可构造f(x)＝ax2＋bx＋c.

3)若f(x＋y)＝f(x)f(y),则可构造f(x)＝ax(a＞0且a≠1).

4)若f(xy)＝f(x)＋f(y)(xy≠0),则可构造f(x)＝loga|x|(a＞0且a≠1).

5)若f(x＋y)＋f(x-y)＝2f(x)f(y),则可构造f(x)＝cosωx.

可以看出,如果能够根据抽象函数的运算性质找到函数模型,把抽象函数问题具体化,就能够很容易地破解此类问题.

链接练习

1.已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且当x＞0时,f(x)＞0,f(1)＝2,则函数f(x)在区间[-2,1]上的最小值为_________.

2.已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)-2,且当x＞0 时,f(x)＞2,若f(3)＝5,则f(a2-2a-2)＜3的解集为_________.

链接练习参考答案

1.由题意,可取f(x)＝2x,则x＝-2时,f(x)有最小值为-4.

2.由题意,可取f(x)＝x＋2,则由f(a2-2a-2)＜3可推出a2-2a-3＜0,解得-1＜a＜3,所以不等式的解集为(-1,3).