“前概念”理念下教学单元的分析与设计*
——以苏科版“一元一次不等式”为例

周 炼

(江苏省泰州市第二中学附属初中,225300)

教师时常会以自身的教学经验来判断学生的学习水平已经达到的高度,并以此来组织教学.事实上,学生在不同年龄阶段的认知水平、知识储备是参差不齐的,以至于当一个概念进入他们的大脑时处理方式与教师的预想是有差异的.教师在即将开展一个新的单元教学前,切不可过于主观地进行无依据的预设与猜想,需要充分利用好手头的物化资料,如教材、课标、课外读物等了解学生的知识储备与层次水平,同时要对学生进行与单元教学内容相关的深度访谈、调查研究,充分了解基本学情,挖掘学生的前概念,并以此为基础作出一个相对整体的单元学前分析.

一、前概念的内涵

现代心理学研究表明:人类总是带着一些先行的知识、技能去理解一个新事物,影响对环境的关注、组织与解释,以此形成的认识系统会循环影响人们的推理、识别、提取等能力,这样的先行知识便是前概念.无论是儿童还是成年人都会以自身已有的前概念系统来解码信息、认识世界,它是一个能赋予事物个性意义的网络分析系统,代表了个人的观念与立场,并能帮助他们作出预测与判断[1].

二、前概念理念下教学单元分析的必要性

前概念对于要开始新一单元的学习者来说既可能是积极的,也可能是消极的.若不积极探究学生的已有思维,创建可以揭露思维的任务与条件,帮助学生在章学习前就把隐藏的前概念暴露出来,教师就无法判断前概念对学习的影响是积极的还是消极的.此时教师需要通过章前导学课将学生的思维方式、认知策略引入正确的方向,形成一个较为清晰的章研究体系,否则花再多的时间反复讲解、大量训练也只是让新知识在学生的认知大门前短暂地停留,最终没有在他们心里留下任何印记.

三、前概念理念下学生知识水平与学情的分析

1.依托《课标》分析学生的知识水平

根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标》)第四学段课程内容可知,不等式在“数与代数”内容版块中的排序位于“数与式”之后,在所属分支“方程与不等式”中位于“方程与方程组”之后,由此可见数与式、方程与方程组的学习能为不等式提供丰富的前概念.在不等式的分条目要求中大多数都能与已学知识对应(如表1),例如“根据具体情境了解不等式,会用不等式解决问题”在“有理数”“代数式”“方程与方程组”中均有类似描述,这说明前概念在不等式中有较多的可迁移之处[2].

表1

《课标》在第一学段“数的认识”中提到:“理解<,=,>的含义,能用符号和词语描述万以内数的大小”“能结合具体情境初步认识两个一位小数的大小,能比较两个同分母分数的大小”;在第二学段“数的认识”中提到:“能比较小数的大小和分数的大小”.根据以上内容不难发现,虽然在小学时已经开始要求学生会用一些基本不等符号比较两个数的大小,但其研究范围局限于“数”,并未涉及“式”,学生的前概念可能既有“对不等符号使用较为熟悉”的积极影响,也存在“个体与整体”“数与式”之间的差异性导致的消极影响.

2.关于学生的基本情况分析

由于在初中阶段学生已经通过研究两种方程模型,积累了能根据实际问题分析数量关系并将现实问题抽象成数学模型的经验,基本能建立“数学——现实”的有效联结,所以教师可以设计相对丰富的实践活动,使学生在亲身经历中体会新旧知识之间的关联,同时也让前概念易于外显化.另外,初一学生的认知水平已经进入形式运算阶段,开始由具象思维向抽象思维过渡,他们有能力进行一些简单形式化的思维活动.这为本节课自主建构、类比教学提供了有力依据.

3.关于以往教学经验的回顾分析

根据教材安排,本章的第一课时是“生活中的不等式”,主要目的就是通过大量实例让学生感受到生活中处处有不等关系,并将其抽象成不等式模型.但由上文分析可知,学生在小学阶段就已经接触过不等式,如果整节课把控不好节奏,仅用大量实际问题进行“轰炸”,在归纳概括得出不等式的概念后思维就会处于“空转”状态进而导致课堂效率低下.很多教师可能意识到了这一点,基于此把前两节课合并为一节课上,在匆匆结束新课后便开始与学生共陷题海.这样教学的大致结果就是刚开始学生错误率极高,但随着练习量的增加正确率开始提升,但只要隔了一段时间暂停训练,有可能重蹈覆辙,学生再次陷入题海,形成恶性循环.或许正是因为本章内容在前面所学知识中有太多的可借鉴之处,所以当很多细节没有梳理清楚时,学生的很多前概念与新知识是相互混杂的,学生带着疑惑与朦胧记住的只是知识的表层,而对于知识的本质并未深刻地理解[3].

四、前概念理念下教学单元的设计策略

1.善用类比强化学生前概念的正迁移作用

波利亚曾说过:“类比既是一种相似,也是一种推理.”类比的最终目标是实现学习的迁移.迁移分正迁移和负迁移,分别会对学习产生积极与消极的影响.一般来说教学应该促进正迁移,规避负迁移.

比如,在“不等式”的章前导学课中,我们可以将方程学习的前概念类比到不等式中去,设计如下教学环节:还记得上学期我们是按照怎样的路径研究方程的吗?类比方程的研究思路,你能设计一个有关不等式的研究路径吗?请将你的想法填在表2中.

表2

该问题引导学生从前概念中关于方程的研究思路寻求不等式的研究思路,以等式与不等式之间的“共振点”“生长线”来引导学生作研究路径上的类比.在观察与猜想的基础上通过比较与分析与已有的概念框架产生对接,充分地发挥了前概念对于学习新知识的积极作用.

再比如,在“不等式的解集”这一课中,我们可以设计如下教学环节来引导学生运用数轴的前概念类比不等式解集的表示方法:一条公路有三条行车道,分别是小型客车道,中间行车道和右侧行车道.中间行车道的行驶速度为mkm/h,其限速路标如图1所示,请用数学式子表示下列数量关系.

在实际教学中学生大概有以下几种写法:m≤100或m≥60,100≥m≥60,60≤m≤100.由于有代数式与方程的学习经验,以及小学掌握过“<，>，≠”三种不等符号的用法,学生可能给出了一些不规范的写法,此时教师需要挖掘与之有关的前概念来帮助学生适应新知识.由于数轴上的点是从左往右按照从小到大的顺序排列的,与不等式解集的表示方式高度相似,所以可以将其作为类比素材,在规范写法的同时还可以为后续在数轴上表示不等式的解集作铺垫.

以上两个案例均利用了学生前概念中有积极影响的部分进行了类比,通过提问、设计、尝试等形式将新知识与前概念进行关联以产生正迁移作用.无论是类比数轴规范地表示不等式的解集,还是类比一元一次方程的研究路径设计一元一次不等式的研究路径,都能让学生在面对未知时通过前概念找到原型,充分把握类比对象与原型的相似之处.

2.通过实践消除学生前概念的负迁移作用

前概念是宝贵的类比资源,但也时常因为与新知识产生价值冲突会反过来阻碍学习进程,而成为抑制学习的重要因素.这种影响甚至会贯穿整个章内学习.基于前概念对教学单元进行分析的另一个作用便是将可能会产生负迁移影响的前概念暴露出来并加以修正.研究表明,学习者不是被动的“参与者”,是调用所学知识解决真实问题的“创造者”,学生只有根据已有的学习经验与知识积累炼制出与自身、环境相容的价值才是有意义的[5].如此看来,要消除前概念的负迁移效果,就要设计一些新知识与前概念对立的体验活动.

比如,在“生活中的不等式”教学中,我们可以设计如下教学环节消除数的不等关系比较对不等式学习的负迁移效果:

实验1多次随意抽取两位同学比身高,看看他们身高一样吗?你能用数学式子描述两位同学比较身高的结果吗?

实验2现随机选择一位同学报出他的身高,请大于这个身高的同学举手,你能类似地用一个数学式子描述这一群学生的身高特点吗?(学生实验结果如表3)

随机比较两位同学的身高是学生熟悉的,但要描述大于某个身高的“一类”数却需要较强的符号意识与归纳能力,这对刚接触代数式不久的初一学生来说略有困难.设计第一个实验有两个作用,在体现了生活中存在大量不等关系,突显不等式研究价值的同时也与第二个实验形成了鲜明的对比,使学生意识到描述数的不等关系存在着局限性,揭示出了前概念中“重数轻式”的不足.事实上,代数式本身就是一种抽象表达,若在抽象的基础上再用抽象的方式来教学便难以为学生所接受,而采用实验的方式可以让个体与环境在交互中冲击对原有认知中一对一不等关系的“刻版印象”,逐渐形成集合思想,引导学生用代数视角描述不等关系.

再比如,在“不等式的基本性质”这一课中,我们可以设计如下教学环节来避免等式的性质对不等式性质学习的负迁移效果:一只纸箱质量为1kg,当放入一些苹果(每个苹果的质量为0.25kg)后,纸箱和苹果的总质量不超过10kg,问这只纸箱内最多能装多少个苹果?

在没有介绍不等式性质的前提下,学生能尝试列出不等式1+0.25x≤10,然后通过移项、合并同类项以及系数化为1可得x≤36.但若此时对其进行变式,改为“一只纸箱质量不少于1kg,纸箱和苹果的总质量为10kg,现在要拿走一些苹果(每个苹果的质量为0.25kg),那么最多能拿走多少个苹果?”,学生在列出不等式10-0.25x≥1后,会参照解方程得到x≥36.但当x=37时,10-0.25×37=0.75,与题意不符.

从数学建模的完整性出发,本环节通过“苹果装箱问题”让学生尝试解不等式,最初学生在解“1+0.25x≤10”时误以为解不等式与解方程并无两样,但在解“10-0.25x≥1”时用同样的方法就出现了问题(没有变号),通过对比精准地将学生在本章内与解不等式易混淆的前概念暴露了出来.

以上两个案例中的“比较身高”实验就包含了数与式之间的矛盾与冲突,学生在比身高的过程中能切实感受到比较两个数的大小与概括一类数的范围之间是存在差异的,从而意识到在不等式中引入集合思想的必要性,避免出现过于关注数的前概念倾向对研究式的不等关系造成的负迁移作用;在另一个案例“苹果装箱问题”中,先后各设置一个不需要变号和需要变号的解不等式问题,让学生尝试着用解方程的方法去解,学生会发现同一种方法产生了两种截然不同的结果,形成了成功和与失败的强烈对比.若学生不是亲身体会过这种矛盾与反差,就不会引起对解方程与解不等式之间差异的重视,不用变号的方程前概念对解不等式的负迁移影响就不会轻易地暴露出来.不等式与方程固然有很多可类比之处,但一味地类比不仅会限制学生的想象力,更会将差异化知识同质化,从而使他们建立错误的概念网络.在章前导学课中教师可以设计一些类似“比较身高”“苹果装箱问题”的活动让学生在实践中感悟到某些前概念的知识与方法套用在新知识身上是站不住脚的,此时大脑便会支配学生作出相应的行为来修正“概念网络”,在原有的基础上生成更适应现状的新概念[6].