盐沼生态系统中植物和硫化物相互作用模型的稳定性分析①

尹甜， 喻凤斯， 黄启华

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

在许多生态系统中普遍存在空间自组织模式,如干旱生态系统、淡水与盐沼系统、珊瑚礁等等.实验和理论模型都强调这些自组织模式可以揭示驱动生态系统复原力的潜在机制,因此有利于帮助我们推断生态系统的环境变化.在盐沼系统中植被模式的空间动力学行为受多重因素影响,例如养分消耗、硫化物积累和毒性都是制约盐沼植被发育的因素.另一方面,研究表明植物的生长会促进土壤中硫化物的浓度增长.受文献[1]的启发,主要对盐沼系统中植被与硫化物相互作用的机理进行研究.我们首先考虑一个描述植物和硫化物相互作用的常微分方程模型,分析平衡点的存在性、局部[2-5]和全局稳定性[6-9],获得植物和硫化物共存的条件以及导致植物灭绝的条件等.接下来考虑到植被和硫化物的空间扩散[10-15].我们将常微分方程模型延伸到反应扩散方程模型,进一步分析扩散对常数稳态解的影响.研究结果表明扩散系数不影响常数稳态解的局部和全局稳定性,即不会产生图灵不稳定性.最后,我们用数值模拟验证理论分析的结果．

1 常微分系统的稳定性分析

考虑如下植物-硫化物的反馈模型:

(1)

为便于对模型(1)进行理论分析,我们引进以下无量纲化的变量和参数:

则模型(1)可以无量纲化为

(2)

为了分析平衡点E0和E*的稳定性,我们在平衡点处对模型(2)进行线性化得到对应的Jocabi矩阵为

于是在E0处,

在E*处,

因此

于是,我们有以下定理:

定理1(i) 当β<α时,模型(2)只存在一个边界平衡点E0,且E0是局部渐近稳定的;

(ii) 当β>α时,模型(2)存在两个平衡点E0与E*,其中E*是局部渐近稳定的,E0是鞍点．

内除平衡点外,不再包含系统的其他轨线,则模型(2)的平衡点是渐近稳定的.于是为了讨论正平衡点E*的全局稳定性,可取Liapunov函数

因为

(3)

将1-p*-s*=0,α+γp*-βs*=0代入(3)式得

2 偏微分系统的稳定性分析

接下来考虑到植物和硫化物的空间扩散,我们将常微分方程模型(2)延伸至如下的反应扩散模型:

(4)

其中:p=p(x,t),s=s(x,t)分别代表t时刻x处的土壤中植物的密度和硫化物的浓度,dΔp和Δs分别代表植物和硫化物的扩散速率,其中Δ是拉普拉斯算子,Ω⊂R是边界光滑的有界域,模型(4)的第三个方程表示Neumann边界条件,υ是边界∂Ω上的单位外法向量,模型(4)的第四和第五个方程表示植物和硫化物的初始分布,p0(x)和s0(x)都是Ω上的连续函数．

设0=μ0<μ1<μ2<…是Ω上考虑Neumann边界条件时算子Δ的特征值．

定理2(i) 当β<α时,模型(4)的常数稳态解E0是局部渐近稳定的;

(ii) 当β>α时,模型(4)的常数稳态解E0是不稳定的．

证在E0处对模型(4)进行线性化,有

其中

Xi是不变子空间,并且μi是L在Xi上的特征值当且仅当λi是矩阵Mi的特征值,

于是

从而

[tr(Mi)]2-4det(Mi)>[tr(Mi)]2>0

则

定理3当β>α时,模型(4)的常数稳态解E*是局部渐近稳定的．

证对模型(4)在E*处线性化,有

其中

Xi是不变子空间,并且μi是L在Xi上的特征值当且仅当λi是矩阵Mi的特征值,

于是

(i) 若[tr(Mi)]2-4det(Mi)≤0,则

(ii) 若[tr(Mi)]2-4det(Mi)>0,则

因此L的特征值都具有负实部．

为了讨论模型(4)正解的全局稳定性,需要给出以下引理．

证考虑模型

(5)

设(p(x,t),s(x,t))是模型(4)的正解,p1(x,t)是模型(5)的解,于是由比较原理可得

00,x∈Ω

接下来考虑常微分系统

(6)

定理4当β>α时,模型(4)的常数稳态解E*存在并且是全局渐近稳定的; 当β<α时,模型(4)的常数稳态解E0是全局渐近稳定的．

证构造Liapunov函数

由分步积分公式以及Neumann边界条件,得

3 数值模拟

取参数α>β与α<β时模型(2)与模型(4)平衡点稳定性的情况如图1,2所示．

图1 模型(2)平衡点的稳定性

图2 模型(4)平衡解的稳定性

由图1可知当α>β时,模型(2)的平衡点E0是全局渐近稳定的; 当α<β时,模型(2)的平衡点E*是全局渐近稳定的.由图2可知取d=100,当α>β时,模型(4)的常数平衡解E0是全局渐近稳定的; 当α<β时,模型(4)的常数稳态解E*是全局渐近稳定的．

4 结果与展望

本文在文献[1]的模型基础上稍有改动,考虑的是植被呈Logistic增长,硫化物浓度升高受土壤中硫化物的沉积以及植物的促进两方面的影响.研究结果表明该模型的正平衡点在有无扩散的情况下都是全局稳定的,而植被的生长受多种因素的影响,因此研究营养物质与植被生长的关系也是十分有意义的．