三角代数上Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射

刘红玉，张耀文,2，霍东华

（1. 牡丹江师范学院 数学科学学院，黑龙江 牡丹江 157011；2. 哈尔滨工程大学数学科学学院，黑龙江 哈尔滨 150001）

三角代数上各种映射的刻画一直是代数学中一个广泛研究的问题，其中包括交换映射和可导映射等.2001 年CHEUNG W S[1]研究了三角代数上的交换映射，2003 年他又研究了三角代数上的Lie 导子.[2]2005 年BENKOVIC D[3]讨论了三角代数上的Jordan 导子和反导子，一些学者在这些文章基础之上又得到了许多优秀的结果[4-12]. 这些映射的刻画不仅在数学领域，在物理学、工程技术等许多领域也起着至关重要的作用.

2006 年ZHANG J H 和 FENG S[13]等人在双可加或双线性假设下刻画了套代数上的广义双导子.2009 年ZHAO Y X, WANG D Y[14]等人刻画了上三角矩阵代数上的双导子.BENKOVIC D[15]在一定条件限制下对三角代数上的双导子进行了刻画.2021 年费秀海[16]等证明了三角代数上 Lie 积为平方零元的非线性双可导映射是双导子. 依据这些，本文推广了双可导映射和双导子到三阶可导映射和三导子，并证明了三角代数上 Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射是三导子.

1 主要结果及证明

设A是交换幺环R上的一个代数，A的中心记为Z(A)，设是一个可加映射，记为A上所有平方零元的集合. 若是一个导子，指对任意的有；若是一个内导子指存在，使得对任意的,其中. 设是一个双可加映射，且在每个变量上都满足导子的定义，则称是一个双导子. 进一步，若没有双可加假设且对任意的，当时，分别满足：

设A和B是两个含有单位元的交换环R上的代数，M是含有单位元的忠实(A,B)- 双边模，则R- 代数

在矩阵通常的加法与乘法运算下构成一个代数，称之为三角代数.

设U的中心为Z(U)，设πA：U→A和πB：U→B为两个自然投影，定义如下：

设A和B中的单位元分别为IA和IB，M是含有单位元的忠实(A,B)- 双边模，I是三角代数U中的单位元. 令

则由于e1Ue1，e1Ue2和e2Ue2是U的子代数且分别同构于A，M和B，从而三角代数在同构意义下可以写成：

进而对任意的x∈U，可以将x分解成x=a+m+b，其中a∈A，m∈M，b∈B.

首先对双导子和Lie 积为平方零元的非线性双可导映射进行推广，得到定义：

定义1设A是交换幺环R上的一个代数，Φ:A×A×A→A是A上的一个三可加映射且Φ 在每一个变量上都是导子，则称Φ 是一个三导子.

定义2设A是交换幺环R上的一个代数，Φ 是一个三元非线性映射且满足对任意的x,y,z,w∈A,只要[x,w],[y,w],[z,w]∈Ω, 就有

成立，则称是一个Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射.

引理1设U是一个三角代数，Φ:U×U×U→U是U上的Lie 积为平方零元的非线性的三阶可导映射，则

证明(i) 对, 由于，从而在(3) 中令故可得, 从而，同理，.

则

从而有

故

故

故

(4)-(6) 式有

同理

通过运算得到

又由于

因此,

所以有

引理2设U是一个三角代数，Φ：U×U×U→U是一个Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射，则对任意的u,v∈U有

证明( 类似引理1, 略)

引理3设U是一个三角代数，Φ：U×U×U→U是U上的Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射，则

证明( 类似引理1, 略)

这样可以得出下面定理:

定理设U是一个三角代数，Φ：U×U×U→U是U上的Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射，则Φ 是U上的一个三导子.

证明对，设，由引理3 有

类似地，可以证明

从而Φ 是U上的一个三阶可加映射，所以Φ 是三角代数U上的一个三导子.

2 结论

本文主要对文献[16] 三角代数上 Lie 积为平方零元的非线性双可导映射进行推广，给出了三导子和Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射的定义，研究了Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射的三个性质，证明了三角代数上Lie 积为平方零元的非线性三阶可导映射也是一个三导子.