一道教材例题的“变身”

2023-05-25 01:09尹雪蔓
初中生世界 2023年19期
关键词:变身证法对角线

文/尹雪蔓

数学解题不应只局限于一道题目的本身,而应能比较类似的题目,用变化的眼光去发现它们之间的联系,在比较中深化对知识的理解,掌握解题方法,提高举一反三和灵活应变的能力。

原题呈现(苏科版数学教材八年级下册第69 页例3)已知:如图1,在▱ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF。求证:四边形EBFD是平行四边形。

图1

【分析】我们可以利用“平行四边形的性质→寻找三角形全等→线段和角相等→判定平行四边形”的思路解决问题。

证法一:根据平行四边形对边相等的性质定理可知AB=CD,根据平行四边形的定义可知AB//CD,所以∠BAE=∠DCF。又因为AE=CF,所以△ABE≌△CDF(SAS),所以BE=DF,∠BEA=∠DFC。根据“等角的补角相等”可得∠BEF=∠DFE,所以四边形EBFD是平行四边形。

证法二:同“证法一”可证得BE=DF。同理,通过证明△ADE≌△CBF(SAS)得到DE=BF,所以四边形EBFD是平行四边形。

教材中给予的解法是利用“对角线互相平分”的判定定理来证明。其实质是想告诉我们,解决本题,除了“寻找”全等三角形,还可以“构造”全等三角形。如图2,连接BD,BD交AC于点O,构造出三角形(△BEO、△BFO、△DEO、△DFO),并证明所构造的三角形全等(△BEO≌△DFO、△BFO≌△DEO),进而通过线段和角相等来证明平行四边形。

图2

变式1已知:如图3,在▱ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F。求证:四边形EBFD是平行四边形。

图3

【解析】变式1 是将原例题中的“AE=CF”变成了“BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F”。此时,我们只需连接BD,直接证明△BOE≌△DOF,得出对应线段和角的相等关系,从而证明平行四边形。

变式2已知:如图4,在▱ABCD中,∠ABC、∠ADC的平分线分别交对角线AC于点E、F。求证:四边形EBFD是平行四边形。

图4

【解析】变式2 是将原例题中的“AE=CF”变成了“∠ABC、∠ADC的平分线分别交对角线AC于点E、F”,同变式1 一样,只是条件改变,证明方法类似(连接BD)。

变式3如图5,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E、F分别在OB和OD上。

图5

(1)当BE、DF满足什么条件时,四边形AECF是平行四边形?请说明理由;

(2)当∠AEB与∠CFD满足什么条件时,四边形AECF是平行四边形?请说明理由。

【解析】此题由原例题的条件“AE=CF”变成了第(1)问的答案“BE=DF”,第(2)问也可以通过上述几个变式的经验得到结论(相等)。通过上述几道变式,我们可以发现,点E、F的位置是解题的关键,其变化的本质特征是点E、F关于对角线交点O对称。

同学们要重视教材上的例题和习题,学会从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律。

拓展1已知:如图6,点E、F分别是▱ABCD对角线AC所在直线上的两点,且AE=CF。求证:四边形EBFD是平行四边形。

图6

【解析】本题是图1 的拓展,点E、F的位置从“对角线上”变化为“对角线所在的直线线上”。证明方法类似,在此不再赘述。

拓展2如图7,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=15cm。点E、F分别是线段OA、OC上的动点,点E从点A出发,以2cm/s 的速度向点O运动;点F从点O出发,以3cm/s的速度向点C运动;当一点到达终点时,停止运动。若点E、F同时开始运动,设运动时间为ts,当t为何值时,四边形EBFD是平行四边形?

图7

【解析】本题是把定点问题变成了动点问题。此时,我们可以根据已探究出的问题本质“只要确保点E、F关于对角线交点O对称”,即可判定平行四边形。

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