寻根求源 变式探究

文／彭秋月

教材中的例题是非常典型的数学问题，背后蕴含着丰厚的价值。其实，很多中考题都是由教材中的例题改编而来的，因此我们要足够重视它们。

原题呈现（苏科版数学教材九年级上册第67 页例3）如图1，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E。DE与AC有怎样的位置关系？为什么？

图1

详细解答过程见教材。

变式1如图2，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，连接BD。若AE=4，ED=2，求⊙O的半径。

图2

【解析】求⊙O的半径可转化为求线段AB的长度，利用勾股定理和相似三角形对应边成比例可以轻松解决问题。

【点评】我们可以利用勾股定理或者相似三角形来解决求线段长度的问题。

变式2如图3，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E。AE与⊙O交于点F，延长ED、AB交于点G，试探究AB、AF、EF三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。

图3

【解析】构造垂径定理基本图形。如图4，连接OD，过点O作OH⊥AF于点H，易证四边形ODEH为矩形，所以OD=EH。

图4

【点评】本题是2017 年盐城市中考题第25 题的第（3）小题。我们利用垂径定理也能解决长度的计算问题。