“圆”自教材 触类旁通

文／陆微微

教材是教与学的重要依据，也是考试命题的重要来源。学会研究教材中重要例习题及变式，既可以激发学习兴趣，又可以拓宽解题思路。

【原题呈现】（苏科版数学教材九年级上册第92 页第10 题）如图1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D。若AB=10，AC=6，求BC、BD的长。

图1

【解析】连接AD。由AB是直径，得∠ACB=∠ADB=90°，即可求得BC=8。由CD平分∠ACB，得∠ACD=∠BCD=45°。由圆周角性质，得∠ABD=∠ACD=45°，则∠BAD=45°，△ABD为等腰直角三角形，进而求得BD=

【点评】本题的设计意图是想让同学们掌握圆周角定理，会通过构造直径所对的圆周角来解决问题。

变式1如图2，四边形ABCD内接于圆O，BD为圆O的直径，AC平分∠BAD，CD=，点E在BC的延长线上，连接DE。

图2

（1）求直径BD的长；

（2）若BE=计算图中阴影部分的面积。

【解析】（1）用与原题同样的方法可得∠CDB=∠CBD，则BC=DC，即△BDC是等腰直角三角形，可求出BD=4。

（2）因为BC=DC，所以阴影部分的面积可转化为Rt△CDE的面积，S阴影=S△CDE=

【点评】本题是2022 年南通市中考题。第（1）问是原题条件和结论互换后的变式，解决问题的方法不变。第（2）问是添加条件后的延伸，考查不规则图形面积的求解，体现转化的思想。

变式2如图3，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm。动点P从点A出发，以1cm/s 的速度沿AO水平向左做匀速运动，同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s 的速度沿ON竖直向上做匀速运动。连接PQ交OT于点B。经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC。设运动时间为t（s），其中0＜t＜8。

图3

（1）求OP+OQ的值；

（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（3）求四边形OPCQ的面积。

（3）过点C作CE⊥OM，CF⊥ON，垂足分别为E、F。

由△QCF≌△PCE，

得S△QCF=S△PCE，

则S四边形OPCQ=S正方形OECF。

∵OE+OF=OP+OQ=8，

∴OE=OF=4。

∴S四边形CPOQ=42=16（cm2）。

【点评】本题是2020 年苏州市中考压轴题，是教材习题的深度拓展，综合性较强，考查同学们灵活运用知识解决问题的能力。

一滴水可以折射太阳的光辉，一道题也能散发知识的光芒。希望同学们在学习过程中能做会一题、变式一类、探讨一番，从而开阔思维，提高数学素养。