操作活动背景下一道圆的作图题的拓展

文／陈冠军

在2022 年中考中，江苏省多个市以操作活动为问题背景来考查圆的相关知识，呈现形式较为新颖。限于文章篇幅，本文仅对宿迁市的一道题做研究。

例题

如图1，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点。

图1

【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图1 的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE。

在Rt△ABC中，tan∠BAC=

在Rt△CDE中，_______，

所以tan∠BAC=tan∠DCE。

所以∠BAC=∠DCE。

因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，

所以∠ACP+∠BAC=90°。

所以∠APC=90°，即AB⊥CD。

【拓展应用】（1）如图2 是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使写出作法，并给出证明；

图2

（2）如图3 是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P，使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明。

图3

解析

【操作探究】tan∠DCE=

【拓展应用】（1）作法：取格点C，连接AC并延长，交⊙O于点P，则点P即为所求，见图4。

图4

证明：由作图可知OM⊥AP，且OM过圆心，根据垂径定理，得

（2）作法一：连接OA，取格点C，连接MC并延长，交⊙O于点M＇，交AB于点P，则点P即为所求，见图5。

图5

证明：可证OA⊥MM＇，

∴

∴∠AMP=∠ABM。

又∠MAP=∠BAM，

∴△APM∽△AMB。

∴AM2=AP·AB。

作法二：取格点C、D，连接CD交AB于P，则点P即为所求，见图6。

图6

总结

本题用到的知识较为广泛，有全等三角形、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等，是一道以操作活动为背景的综合题。

除这道题外，各地2022 年中考题中，还有常州市第28 题、扬州市第26 题、盐城市第27 题，它们都是操作活动背景下的圆的综合题，大家不妨去做一做。