多角度探寻规律，深度理解“分”与“配”

杨豫晖 龙江丽

【摘   要】“乘法分配律”的学习，可以帮助学生巩固已有的运算定律知识，建立乘法与加法的联系，为后续学习奠定基础，对提高学生的知识技能，实现知识的结构化有很大帮助。教师从德育、智育、美育三个维度深挖教材信息，并进行整体化处理，遵循“数学思考—数学创造—数学欣赏—数学应用”的模式设计并实施了“乘法分配律”的教学；利用数学文化搭桥，聚焦核心素养和四基四能，提升了活动探究的“含金量”，切实激活并保持了学生学习的主体性，实现了知识的结构化。

【关键词】数学文化；乘法分配律；德育；智育；美育

【教学思考】

“乘法分配律”是人教版教材四年级下册“运算律”单元中的教学内容，它是在学生学习了整数四则运算以及加法、乘法交换律与结合律的基础上，对运算定律的进一步探究。乘法分配律的学习，可以帮助学生巩固已有的运算定律知识，建立乘法与加法的联系，为后续运算定律在小数、分数中的应用，小数、分数混合运算（简便运算），式与方程等内容的学习奠定基础，对提高学生的知识技能，实现知识的结构化有很大帮助。

教材編排了“分组植树活动”的教学情境，以“一共有多少名同学参加了这次植树活动”为核心问题展开讨论。接着展示了两种不同的计算思路，一种是先计算小组人数再乘以组数，另一种是分别计算植树与浇树的人数再算总人数，引导学生观察和分析两种运算算式的特征及意义，引出乘法分配律，并尝试用字母表示规律。在练习环节，“做一做”中设置了2道题目：第1题为判断题，注重形式表达的认识与强化，其中前2个算式分别设置了去括号时没有正确分配、改变运算符号等错误，第3个算式为乘法分配律的逆运算；第2题是结合两位数乘两位数的笔算过程，思考其中蕴含的乘法分配律。

基于对数学文化教学资源的理解，笔者对本内容中的数学文化元素进行了相应的挖掘和处理。首先，教材呈现了观察、归纳、总结规律的过程，可以引导学生意识到数学知识的获得需要经历严谨且有逻辑的探究，这属于德育资源中的理性精神。其次，教材引导学生通过列算式解决问题，发现两种运算算式的意义关联，体验由具体到一般的抽象过程，从而引出乘法分配律，提升学生的数感和符号意识素养；引导学生通过练习题进行辨析，分析笔算乘法与乘法分配律的步骤、算理，发现二者的联系，促进学生对乘法分配律的深入理解，渗透归纳、数形结合、联系的数学思想，这些属于智育资源。最后，用字母表示乘法分配律，体现了数学符号语言的简洁美，这属于美育资源。

在学习加乘法交换律和结合律时，学生积累了“具体例子—表象化模型—符号表征”的探究经验，为本内容的学习奠定了基础。考虑到该阶段的学生正处于从具体思维向抽象思维过渡的关键时期，需要借助直观具体来归纳数学规律，笔者综合《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）提出的“探索并理解乘法对加法的分配律，能用字母表示运算律”的内容要求，制订了本内容的教学目标。

1.德育目标：在发现、验证乘法分配律的过程中，感受数学发现的严谨与理性，养成严谨缜密的思维习惯，培育理性精神。

2.智育目标：（1）通过列式、观察、猜想，发现乘法分配律并用符号表示，发展数感、符号意识等核心素养；（2）多角度理解乘法分配律，并会应用乘法分配律进行一些简便运算，促进数学知识的结构化。

3.美育目标：列算式找规律，结合乘法交换律、结合律等知识，类比归纳出乘法分配律的符号表征，感受数学的美观。

【教学过程】

v教学模块1：数学思考

受《数学文化读本》中“装修卫生间”情境的启发，且教学对象是佛山本地学生，笔者对“分组植树活动”这一教学情境进行了二度创造，将陶瓷这一当地特色产业作为教学背景，创设了“校园铺瓷砖”教学情境，围绕教学目标，开展计算瓷砖数量的活动。一方面，突出学生的校园主人翁意识；另一方面，便于学生利用几何图形直观感受乘法分配律的意义，凸显数形结合思想对数学学习的重要意义。由此制订了任务1和任务2。

任务1：创设“校园铺瓷砖”教学情境，借助主题图引导学生提出问题、解决问题，初步感知数形结合思想。

师：如果邀请你当佛山的宣传大使，你会介绍佛山的哪些特色呢？

生：陶瓷、瓷砖、舞狮、咏春、粤剧，还有特色小吃双皮奶。

师：今天我们就从佛山有名的陶瓷展开学习。为了把校园装饰得更加美丽，学校从瓷砖厂购进一批黄色瓷砖，用以装饰校园文化墙。如图1所示，工人师傅已经铺好了一部分。仔细观察这幅图，你能提出什么数学问题？

生：一共铺了多少块瓷砖？

生：已经铺了多少块瓷砖？

生：还需要铺多少块瓷砖？

生：校园文化墙一共要铺多少块瓷砖？

［核心问题1］已经铺好的两面墙一共铺了多少块瓷砖？

师：你是怎么想的？

生：我先算左面墙的瓷砖数：[6×5=30]（块）。再加上右面墙的瓷砖数：[8×5=40]（块），然后把两个部分相加：[30+40=70]（块）。

生：把左、右两面墙已铺瓷砖的列数相加：[6+8=14]（列）。再乘每一列的瓷砖数，得出一共铺了[14×5=70]（块）。

任务2：引导学生观察两个算式，寻找关联，分析“算式不同，结果相等”的原因，感受数学的统一美。

师：仔细观察这两个算式，你发现了什么？

[6×5+8×5=70]   （6+8） [×5=70]

生：两个算式不一样，但计算结果是一样的。

［核心问题2］为何两个算式不同，所得的结果却相等，你能尝试分析这两个式子的结果相等的原因吗？

生：因为[6×5]可以表示6个5相加，而[8×5]可以表示8个5相加。[6+8=14]，相当于14个5相加。

师：他运用了乘法意义和乘法交换律来解释，还有哪个小组有不一样的想法？

生：右边的算式是把文化墙看成一个整体，然后直接把整体算出来。而左边的算式是把它拆成两部分，分别算出来再相加。

师：所以把它看成整体和拆成两块计算已铺的瓷砖数有什么关系？

生：结果是一样的。

师：同学们结合图形解释了两个算式不同，但得数却一样，即（6+8）[×5=6×5+8×5]。在这里我们利用图形将问题直观化了，这能辅助我们更好地分析问题。这个过程中运用到了数形结合思想。

实施效果：以瓷砖这一本土文化为背景提出数学问题，极大地激发了学生的探究热情，拉近了数学与生活的距离。课堂中，学生踊跃提出自己的数学问题，结合抽象出的几何图形，从整体和部分两个角度解决了“为何两个算式不同，所得的结果却相等”这一核心问题，并在过程中运用乘法的意义进行解释，建立起新旧知识之间的联系。这在一定程度上提升了学生分析问题的能力，实现了“习得知识技能”“渗透思想方法”“发展核心素养”的智育目标。

v教学模块2：数学创造

小学四年级学生的思维正处于由具体向抽象过渡的阶段，教学模块1基于两个具体算式之间的联系，结合图形引导学生思考等式两边算式的意义。教材展示了根据一组具体算式探究乘法分配律的过程，基于此，笔者对教材进行二度创造，引导学生继续列算式，寻找共性，归纳规律，充分体现合情推理的过程，重视学生严谨、理性思维的培养。围绕教学目标，渗透理性思维，使学生经历从解决具体问题到找到“抽象化”“一般化”规律的过程，从而理解乘法分配律的实质。由此制订了任务3和任务4。

任务3：继续铺瓷砖，引导学生列等式找规律，渗透“联系”的思想。

师：如果工人师傅继续铺瓷砖，类似这样的等式还有没有呢？请你列出等式。

生：（6+9）[ × 5=75]（块）。

生：[6×5+9×5=75]（块）。

生：也就是（6+9）[×5=6×5+9×5]。

师：工人叔叔继续鋪瓷砖。说说你列的等式是什么样子的。

生：（6+9）[×5=6×5+9×5]。

生：（6+10）[×5=6×5+10×5]。

生：（6+11）[×5=6×5+11×5]。

［核心问题3］请你仔细观察这些等式，它们有什么规律？

（学生独立思考，教师巡视指导，小组交流发现的规律）

生：两边得数依次加5。

师：两边得数依次加5的原因是什么？

生：因为多了一列。

师：刚才的同学通过纵向观察得到了规律，那横向有没有什么规律？

生：都有乘5。

生：算式的左边都是把6和另一个数加起来再乘5，而右边是把括号里面的数拆开，然后依次乘5。

生：我发现右边的算式比左边的算式更简便一些。因为左边的算式是两位数乘一位数，而右边的算式是一位数乘一位数再相加。

任务4：总结规律，感知乘法分配律，结合实例体会乘法分配律的实质。

师：来看看这个等式，（6+9）[×5=6×5+9×5]。两个数的和，是谁和谁的和？

生：6和9的和。

师：和同谁相乘？

生：同5相乘。

师：把这两个加数拆开，依次和谁相乘？

生：依次和5相乘，然后再相加。

（同桌互相说说其他算式的计算规律，教师巡视指导）

师：我们可以说，两个数的和与一个数相乘，可以先把两个数分别与这个数相乘，再相加，结果不变。

实施效果：教师通过继续列举铺瓷砖的算式，让学生在纵向和横向观察中发现等式左右两边的规律，初步感知“分”与“配”，初步引出乘法分配律的雏形，并感受到因“创造”知识而获得的快乐，实现“培育理性精神”的德育目标。

v教学模块3：数学欣赏

数学语言能够将复杂的文字简单化。在前面的探究中，学生都是采用较为复杂的文字语言和图形语言对规律进行说明。本教学模块在教材直接给出用字母表示的基础上，活用教材，围绕教学目标，设计开放题，引领学生用喜欢的方式表示发现的规律，并通过类比旧知的方法，引导他们用字母表示所发现的规律。由此制订了任务5和任务6。

任务5：用多种方式表达规律，通过类比获得乘法分配律的字母表达式。

［核心问题4］你能在练习纸上用你喜欢的方式表示这个规律吗？

（学生独立表示规律，教师巡视搜集学生作品，如图2所示）

师：大家很聪明，用文字、符号和字母等不同的方式表示出了规律。这个规律就是我们这节课学习的乘法分配律。

师：我们来一起观察这几种表达式，哪一种方式最简单呢？

生：用字母表示最简单。

师：想想前面所学的乘法交换律和结合律都是用什么表示的。

生：用小写字母。

师：如果用小写字母表示乘法分配律，应该怎么写？

生：（a+b）[×c=ɑ×c+b×c]。

师：通过对算式的观察有所发现，总结规律，得到乘法分配律的表达式为：（a+b）[×c=][ɑ×c+b×c]。

任务6：用乘法分配律进行运算，加深理解，感悟数学符号语言的简洁美。

练习1：下面哪些算式是正确的？正确的画“√”，错误的画“×”。

① （19+28）[×56=19×56+28]         （    ）

② 32×（7×3）[=32×7+32×3]         （    ）

③ [64×64+36×64=]（64+36）[×64] （    ）

练习2：运用乘法分配律进行计算。

（4+2）[×25]

（4+8）[×125]

[16×91]

[125×81]

练习3：[25×12]，请大家列竖式计算。

（学生独立完成练习，教师巡视指导，对练习3进行讨论）

师：利用乘法分配律，[25×12]可以写成什么形式？

生：[25×2+25×10]。

生：[25×（2+10）]。

师：观察[25×12]的竖式运算和乘法分配律的运算形式，你发现了什么？

（学生进行小组交流，表达自己的想法）

生：[25×12=25×]（2+10）[=25×2][+25×][10]，其

中，25×2、25×10的计算，和竖式运算中把12分成10和2分别去乘25是一样的（如图3）。

实施效果：学生都用自己喜欢的方式表示了所发现的规律，并成功类比乘法交换律、结合律的表达式，选择用字母表达式表示乘法分配律。在练习中，练习1、练习2在数学应用中强化学生对乘法分配律的辨识，大多数学生都能够很好地完成，可见学生头脑中已经形成了对乘法分配律的稳定认知；练习3是通过师生互动一起完成的，学生从中发现了乘法笔算与乘法分配律的关系，实现了“感受美观”的美育目标和“发展核心素养”“习得知识技能”的智育目标。

v教学模块4：数学应用

在学习运算定律的基础上，面对实际问题，如何正确选择合适的方法解决问题对学生来说极为重要。因此，围绕教学目标，设计了可以自行选择运算方法的题目，让学生通过对比解决问题的不同方法，明白不同的运算方法适用于不同的情境，需要根据实际情况选择最优的方法，从而达到完善学生知识体系的效果。由此制订了任务7和任务8。

任务7：以例题比较乘法分配律和竖式运算，感悟解题方法的多样性，引导学生择优解题，培养理性精神。

教师出示题目：125×16；102×22；146×34。

師：看看这些题目，猜一猜用乘法分配律和用竖式计算哪种方法算得更快。现在请两名同学上台来，一个直接使用竖式计算，另一个运用乘法分配律计算，看看他们谁算得快。

师：两名同学分别用两种不同的方式计算这些题目，从中你有什么发现？

生：“125×16”运用乘法分配律计算更快，125×16=125×（10+6）=125×10+125×6；“102×22 ”使用两种方法差不多快；“146×34”使用乘法分配律后还要进行两次竖式计算，因此用竖式计算比较快。

师：125×16还可以用什么方法来计算？

生：125×16=125×（8×2）。

师：用到了乘法结合律。因此，在做计算题时，我们要依据题目的特征选择最为简便的计算方法。

任务8：谈收获提猜想，发散思维，为后续学习奠定基础。

师：这节课我们一起学习了什么？谁来分享一下你的收获？

生：学习了乘法分配律。

生：学会了归纳、数形结合、联系的数学思想。

师：结合乘法分配律，你还有哪些大胆的猜想？

生：有乘法分配律，那么有除法和减法分配律吗？

师：这是一个很大胆的猜想，这个问题我们课后一起研究。

实施效果：比赛游戏成功激发了学生的竞争意识。学生从比赛游戏中感悟到了不同运算方法的便捷之处，从而明白在解题的时候要选择最优的方法。在课堂总结中，学生积极分享收获，继续进行发散性思考，并提出了新的猜想，为以后的学习埋下伏笔，实现了“培育理性精神”的德育目标和“渗透思想方法”的智育目标。

【教学意蕴解析】

这是一节以“校园铺瓷砖”情境引领学生经历“发现并提出问题—解决问题—发现规律—归纳总结—认知结构化”过程的数学文化课。整节课以4个核心问题为主线，引导学生发现并从乘法的意义、图形面积等角度理解乘法分配律，通过类比乘法交换律、结合律的字母表达式，将乘法分配律符号化、数学化，借助对比运算的游戏，发现乘法笔算与乘法分配律的内在联系。

本教学适当对教材进行了二度创造，并深入挖掘了教材中蕴含的丰富的数学文化元素。比如，运用字母表达乘法分配律可进一步挖掘美育资源，即启发学生用文字、图形、符号等自己喜欢的方式来表达规律，充分发挥学生的创造才能，在此基础上，引导学生通过对比、类比其他运算定律的表达式，发现用字母表示乘法分配律的简洁性，从而深刻体会用字母表示运算定律的简洁美。这与《课程标准》倡导的“欣赏数学语言的简洁与优美”具有一致性。

综上所述，从对教材的具体处理及实施过程中的效果来看，本节数学文化课相关资源的开发和课堂实施具备有效性。挖掘和融入数学文化资源，使得本内容彰显了以下特色：（1）切实激活并保持了学生学习的主体性。例如，在数学思考模块，教师充分利用学生熟知的本地特色产业展开教学；在数学欣赏模块，给予学生足够的时间去发散思维，让学生用自己喜欢的方式表达规律，享受成功“创造”知识的乐趣；在数学应用模块，借助比赛游戏让课堂氛围再度高涨，激发学生想“露一手”的兴趣，再度烘托了高涨的课堂学习氛围。（2）利用数学文化搭桥，聚焦核心素养和“四基”“四能”，提升了活动探究的“含金量”。例如，在探究乘法分配律时，学生经历猜想、验证的知识生成过程，积累了从具体到抽象的探究活动经验、一定的感性知识、情绪体验及应用意识。又如，在课堂练习中，教师侧重于考查学生对三种运算方式的理解，达到让学生在不同的问题中选择最优的运算方式的目的，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

在教师的引领下，学生经历新知的创造过程，多角度探寻规律，深度感知“分”与“配”的关系，逐步形成理性且严谨的数学思维，实现由具体到一般的思维转变，并从中感知数学符号语言的简洁美。这正是我们所倡导的数学文化内核的充分体现，准确地实现了数学文化的德育、智育、美育的协同作用，凸显了数学课程的综合育人功能。

（佛山科学技术学院）