数学知识建构之“数的运算”

2023-09-13 07:58江苏省南京市秦淮区第一中心小学李玉荣
小学教学研究 2023年10期
关键词:数的运算除数分母

江苏省南京市秦淮区第一中心小学 李玉荣

六年级下册数学的总复习,是对小学阶段的数学学习作全面的梳理、反馈、提高,既是对小学数学学习的检验与总结,又是对教与学不足的进一步弥补,还是对今后学段数学学习的铺垫、夯实,有着重要的意义。

“数的运算”是小学数学知识领域板块之一,既是重点,也是部分学生学习的难点。这里“数”的领域主要是指整数、小数、分数。“数的运算”也常在平时的练习与检测中困惑着学生、教师和家长:时而出错、达成率不高;又常被视作“轻微”的小问题忽略,侥幸寄希望于下次计算中“注意或细心”。然而,这看似算不上的“问题”,并非通过一两次“点拨”或“注意”即可杜绝的,即便引领学生通过错题的积累、归类、反馈,也常常难以百分百达成。

在教与学的实践探究中,教师可从以下几个方面关注、尝试、引领学生自主梳理,进一步实现“数的运算”的建构、深化。

一、数的意义

数是对数量的抽象。整数、小数和分数都与生活密切相关,从生活角度、实际情境中感悟并理解其意义,易产生兴趣、加深印象。

整数是用来表示物体具体数量的,如0、1、2等,这样的数属于整数。当整数不能表示事物的数量时,我们需要用小数来表示。如把某物体平均分成10份,取这样的7份表示0.7,这样的一位小数也表示一个数的十分之几;把某物体平均分成100份,取这样的17份表示0.17,这样的两位小数也表示一个数的百分之几;以此类推,小数的意义就不难理解了。

在小数的基础上,我们也可以用分数来表示事物的数量。如把1块圆形蛋糕平均分给3个小朋友,1个小朋友分得的量,需要用分数表示,即把单位“1”(整数“1”、1个物体、1个长度、1个整体等的统称)平均分成若干份(不一定是10、100份),表示这样的一份或几份的数即为分数。

分数可以看作小数解决问题的补充与延伸,尤其解决了平均分中除不尽的问题。学生可以结合具体情境感悟分数。然而,整数、小数和分数三者并非独立存在,而是有一定关联,还可以相互转化,如3=3.0=。

二、算的意义

算的重点在于理解算理、掌握算法。先从“四则运算”来看,即加法、减法、乘法、除法,即整数、小数、分数的加、减、乘、除四种运算。通常,减法可以视作加法的逆运算,除法可以视作乘法的逆运算。

加法意义是运算的起点,将两个或两个以上的数或数量合并成一个数或数量的运算。

既然减法为加法的逆运算,就不难推出减法的意义,即已知两个数或数量的和与其中一个加数(或数量),求另一个加数(或数量)的运算。

乘法的意义中,整数乘法关联着加法,表示相同加数和的简便运算,如“8×5”可以表示5个8相加或8个5相加。小数乘法是求一个数的十分之几、百分之几,或几倍是多少,如“5×0.4”或“5×1.4”。分数乘法中,分数与整数相乘(如)表示求几个相同分数的和的简便运算;一个数与分数相乘(如均可以表述:求一个数的几分之几是多少。

根据除法是乘法的逆运算,整数、小数、分数的除法意义均可以表述:已知2个数积与其中1个因数,求另1个因数的运算,也可以根据不同问题情境具体理解、阐述。

明确“算”的意义,可以帮助我们在解决实际问题时,提供列式的依据。如求一个数的几分之几是多少,可以列式“一个数”ד几分之几”进行解答;也为解方程、解比例时,提供了数量关系的依据。如可以把25%x看作减数,根据“减数=被减数- 差”进行解方程;再如

三、算的方法

(一)一步计算

一步计算(竖式计算)是运算基础,关联着两、三步计算的达成率,十分重要!

首先,整、小数加、减法竖式计算中,要数位对齐(小数点对齐),即计数单位相同时才能加减:从个位算起、满十进一(退一当十)。“对齐”还要体现于计算中步骤、结果的呈现,书写规范、工整之美关乎正确率。

其次,分数加、减算法中,理解、转化使分母相同,即分数单位相同,再进行计算;即需要把分母不同(异分母)利用分数基本性质通分成分母相同,才能计算。

乘法中,整数乘法的每一步算理,将是小数乘法的基础。竖式中,通常数位多的写首行,数位少的写第二行,末尾对齐(末尾有0可以先让非0的数对齐,最后在积的末尾补上同个数0),从第二行数的个位起依次乘第一行从低位到高位的数,积写在第二行所乘数位的下方,最后将乘的积相加,须弄清每一步相乘所得积的含义。

小数乘法,根据积的变化规律,迁移成整数乘法,不难掌握。分数乘法都可以统一为“分数×分数”的方法进行计算。

除法中以整数除法为基础、重点。步骤要点:①从高位算起,有余数可以与低一位的数组合继续除;②除到哪一位,商就写在那一位上面(表示有多少个这样的计数单位)。

小数除法可以迁移为整数除法:其一,除数是整数,按照整数除法计算,商的小数点和被除数的小数点对齐;其二,除数是小数,利用商不变性质,把除数变成整数(被除数需要同时变)再计算。如“19.8÷12”与“19.8÷1.2”,学生可以在竖式计算的过程中,体会其算理及算法。

只要把握好加法、减法、乘法、除法中各自的法则及对其能进行有效迁移,算的方法就不难驾驭了。

(二)多步计算

一般包含:同级及连算、同级及混算、不同级混算(含四则混合运算)。

整数、小数、分数同级及连算或混算,均要按从左到右、依次计算。但分数的连加、连减、加减混合,需要先统一计数单位(通分),再计算;分数连乘、连除或乘除混合,通常把除法转化成乘法,再约分,一次性计算(分子相乘作分子、分母相乘作分母)。这里需要强调“依次”与“一次”计算的不同,“一次性计算”只用于分数乘除混合时,把除以一个数转化成乘以这个数的倒数后,能约分的,先约分再计算。如

整数、小数、分数不同级混算及四则混合运算,顺序易得:①先进行乘除运算,再进行加减运算;②有括号先算括号里的;③同一级的运算,从左到右、依次计算。实践易错,需要递等步骤,准确、规范呈现运算顺序,不要过多或过少。这里的“多”与“少”的相对标准,需要教师引导及示范,通常递等依次呈现:先算的那一步或同时计算的那两步结果,其他步骤不变递下来,也就是过程呈现与运算的顺序能对应、同步。

(三)简便计算

根据教材及延展,简算类型可归纳为“2 3 2”,即加法的交换律、结合律;乘法的交换律、结合律、分配律;减法性质:“连续减去两个数”等于“减去两个数的和”,“减两个数的差”等于“先减第一个数再加第二个数”。如37.56-(12-2.44)=37.56-12+2.44=37.56+2.44-12=40-12=28;除法性质:“连续除以两个数”等于“除以两个数的积”,“除以两个数的商”等于“先除以第一个数,再乘第二个数”。如12.5÷(20÷8)=12.5÷20×8=12.5×8÷20=100÷20=5。学生不仅要知道其分类,还要知道其各类型的含义,且能举实例感悟其简便。

运算定律运用目的是让计算变得简便,尽可能凑整或转化成较小的数,不可以为了“简便”绕弯子,反而增加出现错误的可能性。学生要学会观察算式与运算定律的互逆关联、结构特征。相对困难的运算除了乘法分配律及“减法与除法”的两个性质,还有“变式”方面的简算。如,整数与分母相近(相差1),学生可以利用乘法分配律将整数转化为“分母-1”或“分母+1”进行简算;再如“0.13÷0.25”,可以根据商不变的性质,被除数和除数同时“×4”,将除数转化成1使计算简便。

四、算的误区

首先,想要实现数的运算较高的达成率,离不开基础运算的理解与达成,离不开良好的学习习惯,如书写、表达、草稿等。若能规范,我们会从中受益,也能避免计算过程中看错、算错的现象发生。

其次,平时的运算积累,学生需要积累不同题型、算法,自主归纳、建构,让自己的运算能力不断进阶。如“17-4.8+5.2”区别于“17-(4.8+5.2)”;再如,如果理解透彻、方法得当,我们就不会盲目地“=1”;再如,通过细致观察与分析,我们就会发现,分数除法转化为乘法,相等两种数转化成同一种数,简便计算不再困难。

总之,计算是学好数学的基础,在基本知识、基本方法建构的基础上,没有那么难与可怕。在教的方面,教师可以引导、帮助学生树立信心,运用梳理的计算知识、方法在平时的学习中适当练习、检验;在学的方面,学生可以通过平时的计算练习对梳理的知识及要点进行归纳、建构、固化,以实现计算百分百达成。

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