基于一维高阶梁理论的薄壁箱梁非线性弥散波特性

谭敏尧,郭德全,杨 强,杨 莉,罗德宁

(成都信息工程大学 自动化学院,成都 610225)

薄壁箱梁在工程领域内有广泛的应用,在进行屈曲稳定分析时可知,薄壁箱梁不仅承受静力屈曲,很多情况下还要承受动力屈曲。应力波传播对箱梁的冲击屈曲有显著影响,但由于其截面结构的变化给相关研究带来一定的困难,因此对于薄壁箱梁的应力波问题,许多学者展开了有益的探索。传统杆件中一维应力纵波理论,都是以杆的截面在变形后仍保持为平截面,并在平截面上只作用着均布轴向应力这一基本假定为前提的。这实际上是忽略了杆中质点横向运动的惯性作用,因而是一种近似理论,通常称为初等理论[1]。高频波(短波)的传播速度较低,而低频波(长波)的传播速度较高。对于线弹性波来说,任意波形的波都可以通过频谱分析方法看作由不同频率的谐波分量迭加组成,而不同频率的谐波分量将按各自的相速传播,因此波形不能再保持原形而必定在传播过程中散开来,即发生所谓波的弥散现象。但需注意,这种由横向惯性引起的弥散,不同于过去所述由应力-应变关系的非线性所引起的非线性本构弥散,也不同于由材料黏性效应所引起黏性弥散,这主要是杆的几何形状所引起的,因而称为几何弥散。总之,只要杆的横向尺寸远小于波长,杆的横向动能便远小于纵向动能,则杆中一维应力波的初等理论就能给出足够好的近似结果。否则必须考虑横向惯性所引起的波的几何弥散。

一维构件的应力波控制方程形式简单同时其波的传播也较易分析,对于实心截面梁的纵波和扭转波的解可以通过D’ Alembert的经典方法[2]获得。伯努利-欧拉理论预测了梁的弯曲波弥散,给出了接近无穷远的近似相速度。为了修正上述结果,Timoshenko[3]考虑了扭转惯量和剪切的影响,获得了接近于精确理论的结果。由于高阶梁理论考虑了高阶项的影响,其求解精度比Timoshenko梁理论的求解精度更高。故本文采用高阶梁理论。对于薄壁梁的一维分析,必须考虑高阶截面变形,如翘曲和畸变。薄壁箱梁的三维位移由翘曲、扭转、畸变一维变形量和常规刚体截面变形的线性组合表示。通过对截面变形模态的积或其导数形式的积分,可以将三维弹性方程简化为截面变形量的一维控制方程。

对于实心梁,Chen等[4]建立了在单节点上计算反射波和透射波传播的一维接触界面模型。Chattopadhyay等[5]研究了复合结构的屈服参数对瑞利波相位和阻尼速度的影响。Mehemt等[6]提出了一种改进数学模型来研究应力波在具有功能梯度黏结层的两圆柱体中的传播。Dubuc等[7]提出了各向异性板中声弹性导波的相位和群速度的解析公式,推导了应力各向异性板的能量速度表达式,并据此计算了群速度。钟炜辉等[8]对阶跃荷载作用下的轴心压杆的动力分岔屈曲问题进行分析,获得了冲击分岔屈曲荷载及相应屈曲模态。

然而,目前对薄壁箱梁的波传播研究较少,薄壁箱梁的响应受平面内变形和平面外翘曲的截面变形影响较大。Mitra等[9]运用高阶插值函数的无锁紧薄壁梁有限元来分析波在复合材料薄壁梁中的传播,研究中他们考虑了梁单元的一阶剪切变形和扭转翘曲,但忽略了截面畸变。Gavric[10]通过壳有限元对薄壁梁的横截面进行离散,在给定激励频率下计算薄壁梁的波数和模态,通过求解离散系统方程的本征值问题,发现在I型梁中畸变模态主要传输能量,而基本模态在高频时消失。Houillon等[11]解决了Gavric研究的一些数值局限性,并使用有限元模型计算了包括真实汽车车身结构在内的一般截面薄壁梁的频散曲线。Kim等[12-14]基于高阶薄壁梁理论,研究了谐波激励下无限长矩形截面直薄壁梁中扭转波的传播。

本文考虑了薄壁箱梁受动扭转载荷作用时,其横截面将产生翘曲、扭转和畸变形变,同时各形变间将产生相互耦合。由于耦合作用,波沿轴向的传播变得非常复杂。因此,本文通过这3种形变(翘曲、扭转和畸变)在截面内和截面外的变形特点,运用一维高阶梁理论来分析薄壁箱形梁的色散关系。

1 薄壁箱梁的基本运动方程

图1中给出了薄壁箱梁的全局坐标系(y,z,x),O为横截面剪切中心,并将各板的局部坐标系(s,n,x)分别给出。图1中：s和n分别为切向和法向坐标;x为薄壁箱梁轴向坐标;b和h分别为薄壁箱梁的宽度和高度;壁厚m通常为常数且比其他尺寸小得多。薄壁箱梁在给定轴向坐标x方向的变形量由轴向位移u表示;z方向和y方向的变形量分别用w和v表示垂直挠度和横向位移。

图2给出3个方向的位移与各形变的关系。在计算剪应力时考虑了翘曲,轴向位移u(s,n,x)仅与翘曲相关,为翘曲函数ϑ(x)与翘曲形变函数ψϑx(s)的乘积。在图2的放大图中,M0为薄壁箱梁横截面中面上的任意一点,平面在M1点处的畸变位移可以通过忽略壁面在厚度方向上的压缩得到。薄壁箱梁的横截面位移w(s,n,x),v(s,n,x)都与扭转和畸变形变相关。关于n-轴和s-轴方向的横截面扭转函数ψθn(s),ψθs(s)分别与与扭转角θ(x)相乘可获得扭转的垂直挠度和横向位移;同理,关于n-轴和s-轴方向的横截面畸变函数ψχn(s),[ψχs(s)-ndψχn(s)/ds]分别与畸变角χ(x)相乘可获得畸变形变产生的垂直挠度和横向位移[14]。

图2 薄壁箱梁的位移与各变形关系

其中,本文的基本假设为：①在假定梁壁厚远小于梁长的情况下,求出薄壁箱梁的位移;②在研究畸变引起的形变时,薄壁箱梁的轮廓线在每一个板上都是伸展的。

因此,薄壁箱梁横截面中心线上任意一点的三维位移为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：i为各板的编号;di为截面剪切中心到第i板的法向距离。

为了获得动力学方程,将拉格朗日变分法运用到运动方程的推导中。动能T和应变能U可分别表示为

(8)

(9)

正应变及切应变分别为

(10)

(11)

(12)

取拉格朗日泛函L的变分,可以得到运动方程

(13)

式中,A为横截面面积。将式(1)～式(3)代入式(13),即将静力方法推广到动力问题

(14)

(15)

(16)

式中,截面惯性矩ri为截面形状函数ψ的乘积对截面面积A的积分,详见附录A。

由于惯性矩r5=0,则一维应力可合成为

(17)

Bϑ=Er6ϑ′

(18)

(19)

式中,Mθsγ,Bϑ,Mχsγ分别为扭转翘曲力矩、翘曲双力矩和畸变翘曲力矩。

2 弥散效应的理论分析

由于薄壁箱梁各板中潜在的波动关系可以从其横截面的弥散效应进行理解,因此,薄壁箱梁的弥散关系可以使用第1章的方程进行理论分析。

对于弥散效应的分析,可以使用沿薄壁箱梁x轴无限长度的波速表达式,翘曲、扭转和畸变的谐波解分别可表示为

(20)

(21)

B6(k)ω6+B4(k)ω4+B2(k)ω2+B0(k)=0

(22)

其中系数B6,B4,B2,B0如下

(23)

式(22)为一个六阶的色散方程,存在两组波解,沿正轴向和负轴向传播。本文中主要研究沿x轴正向传播的波。在任一组解中,波数存在有实数(±Λ)、虚数(±iΓ)和复数(±(kR±iki))3个形式。前两组是纯实波数(±Λ)和纯虚波数(±iΓ)分别对应的是传播波和近场波。复波数±(kR±iki)情况稍复杂,一般情况下复波数代表随距离衰减的传播波,即其携带的能量在传播过程中被阻尼逐步散掉。由于薄壁箱梁壳体中存在不连续区域,在不连续界面处使用连续条件时,复波数相关的波频率较小故本文中忽略不计。

在Timoshenko梁理论中,低频范围内存在一对正、反向的传播波和两个近场波(也称为耗散波)。k为实数时,传播波被称为最低形变模态分支1的波。k为纯虚数时,两个近场波被称为正、反向衰减的耗散波。载波频率超过截止频率时两对传播波同时存在,称为分支2和分支3模态。随着频率的增加,其中一列非传播波衰减越来越慢,最终变为传播波。

式(21)的解给出了色散关系(ω-k的关系),相速度c、群速度cg分别描述为

c=ω/k,cg=dω/dk

(27)

当k=0时,根据式(21)可以求出截止角频率ωc和相应的截止频率fc

(28)

(1) 当波数k趋近于0(k→0)时,分析分支1色散关系的渐近行为,在此情况下,式(21)可近似为

(29)

忽略式(29)行列式中关于翘曲与畸变的高阶项,得到分支1的低频频散关系,即

(30)

(2) 当分支2和分支3达到截止频率时,且波数k趋近于0(k→0)时,群速度变为0。为了更清晰地研究截止频率附近的波,将式(21)中的波数考虑为趋近于0,可得

(31)

(3) 当波数趋于无穷(k→∞)时,根据式(27),将ω=kc代入式(9),3个分支的渐近行为可由相速度c表示

(32)

根据式(32)可获得3个非零解

(33)

(34)

根据式(33)可知,波的极限速度c1,2既包含扭转又包含畸变;极限速度c3仅与薄壁箱梁的材料属性相关。

(35)

为了便于分析,引入翘曲-扭转系数aϑ和畸变-扭转系数aχ,相对振幅关系为

(36)

其中,

由式(35)可知,翘曲在π/2内与扭转的相位相异,而畸变与扭转的相位相同。

对于反向传播波,其分析过程类似于正向传播波。

3 算例分析

3.1 薄壁箱梁壁厚的影响(算例1)

本算例中,分析了薄壁箱梁壁厚对频散曲线的影响。其中,薄壁箱梁的横截面高h=0.1 m,宽b=0.05 m,壁厚m有3种情况分别为：Ⅰ,m1=0.002 m;Ⅱ,m2=0.004 m;Ⅲ,m3=0.008 m。薄壁箱梁的材料属性：弹性模量E=2.10×1011N/m2;泊松比μ=0.3;密度ρ=7.85×103kg/m3。根据式(21)的六阶色散方程,3种不同壁厚的薄壁箱梁所产生的波可分别获得两组波解。在本算例中,对频散曲线的分析主要研究沿x轴正向传播的波。每组壁厚的解分别对应3个分支,分别被称为分支1、分支2和分支3,如图3所示。现将频率Ω和波数K进行归一化处理,可得

图3 不同壁厚的薄壁箱梁的弥散曲线

(37)

根据式(32),可以计算出各不同壁厚的薄壁箱梁的弥散波的极限速度,如表1所示。

表1 3种不同壁厚的薄壁箱梁的极限速度

本例中横波速度cs=3 205.7m/s,为即不考虑翘曲又不考虑畸变的纯扭转波的波速。根据式(31)的第一行和第三行得到的式(33)中的两个解,因此可转换为即含扭转又含畸变形变的极限速度。这两种波的模式,扭转和畸变形变对波行为的影响是不同的且均比横波速度要低。根据表1可知,随着薄壁箱梁壁厚的增加,两个极限速度c1和c2反而减小。波速c3由式(31)第二行翘曲主导波方程得到,可以认为是翘曲波的极限速度c3=5 172.19 m/s与薄壁箱梁波速相同。翘曲主导的波在图3中表示为分支3。

3.2 薄壁箱梁横截面宽高比的影响(算例2)

此算例中,薄壁箱梁的材料属性与算例1相同,其壁厚为m=0.002 m。4种不同横截面的几何尺寸及相应的极限速度如表2所示。图4～图6研究了薄壁箱梁横截面在不同宽高比b/h下的色散曲线分支1、分支2和分支3。

表2 薄壁箱梁不同横截面的几何尺寸和极限速度

从图4可知,色散曲线分支1(传播波)的频率随着薄壁箱梁横截面的宽高比b/h的降低而升高。根据图5、图6,分支2和分支3(耗散波)的频率却随着横截面的宽高比b/h的降低而降低。根据表2中极限速度c1和c2可知,当横截面宽高比为1时,扭转与畸变、扭转与翘曲之间的耦合效应都消失,即r2=0和r4=0,分支1和分支2的相位速度在较高频率下非常接近。由此可知,薄壁箱梁的几何效应对非线性弥散波有较大影响。

图7～图9为3个分支的翘曲-扭转相对振幅系数aϑ随波数变化的变化。图10为畸变-扭转相对振幅系数aχ随波数变化的变化。

图10 畸变-扭转相对振幅系数aχ

图7中的分支1(传播波)在波数为100以下时表现的翘曲与扭转相对振幅系数较为明显。当宽高比b/h为1/2时,最大翘曲与扭转相对振幅系数为-0.003 3。图8中分支2(耗散波)在波数为200以下时表现的翘曲与扭转相对振幅系数最明显。当宽高比b/h为1/2时,其翘曲与扭转相对振幅系数大于其他宽高比情况下的系数,最大系数为-0.000 55。从图7和图8中可以明显看出,当宽高比b/h为1时,由于翘曲与扭转、畸变与扭转的耦合效应消失,分支1和分支2在波数较大的情况下非常接近。图9中分支3(耗散波)在波数600以下时翘曲-扭转相对振幅变化都较为明显,是3个分支中同等波数下翘曲-扭转相对振幅数值最大的。长度比越小,分支1和分支3的翘曲-扭转相对振幅系数越小。

图10中分支1、分支2和分支3的畸变-扭转相对振幅系数都相等,仅和薄壁箱梁的几何横截面尺寸有关。当宽高比b/h为1时,畸变与扭转的耦合效应消失,其惯性矩r2为0,故畸变-扭转相对振幅系数也为0。随着宽高比的增加,畸变-扭转相对振幅系数增大,其值主要表现为r2/r9的比值。故由此可知,畸变-扭转相对振幅系数受到薄壁箱梁的几何效应有效大影响。

图7～图10证实了波数极限分析的有效性,可知分支1、分支2和分支3中主要表现为畸变和扭转的耦合波运动。

4 结 论

本文采用一维高阶梁理论,对薄壁箱梁的扭转、翘曲和畸变形变进行了截面内和截面外的分析,对这3种形变波的耦合传播行为进行了理论研究。利用薄壁箱梁的运动方程解析出波的频散曲线和群速度,并通过研究每个波支在波数下的极限行为,给出其物理解释。在3个波的分支中,它们的高波数极限速度低于横波速度,解析推导了翘曲与扭转和畸变与扭转的波幅之间的关系,并详细分析了薄壁箱梁的几何效应对非线性色散弥散波的影响。

附录A 截面惯性矩

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)

(A.7)

(A.8)

(A.9)

(A.10)

(A.11)