特种机器人南极软地面转向动力学模型分析

范祎杰,欧 屹,韩 军

(南京理工大学 机械工程学院,江苏 南京 210094)

南极地形情况复杂,雪面下可能潜藏着冰裂隙等危险,为避免工程机械和科考人员由于冰裂隙产生危险,需要应用机器人技术对周围冰结构进行探测以消除隐藏威胁。目前履带式机器人大多采用差速转向方式,但差速转向方式可能会面临转向阻力矩大等问题,所以在设计过程中针对机器人底盘设计相应的转向方案并进行动力学分析与建模非常重要。南极雪面不同于传统硬路面,属于软地面,在软地面转向时由于压力沉陷会带来额外的侧向推土阻力,而目前分析履带转向动力学时往往会忽略履带地面力学的影响。Steeds[1]最早根据库伦摩擦定律建立了滑移转向动力学模型,但Wong[2]针对Steeds理论推导和试验结果之间的差异,建立了考虑履带—地面之间剪应力和剪切位移关系的差速转向通用模型,并验证了该模型与试验结果更为吻合,并且通过此模型推导的驱动力矩随转向半径变化规律与实际结果较为相符。文献[3]则基于基于土-履应变作用建立履带机器人转向阻力矩数学模型。文献[4]在Wong理论基础上推导出双履带软地面差速转向通用地面力学模型。文献[5,6]将双履带底盘的基础上推广得到四三角履带硬地面差速转向特性,文献[7]则建立四履带车偏转履带式转向方式数学模型并进行相应试验。目前,对于四三角履带车辆的转向动力学模型的建立与分析并不全面,往往只分析单种转向方式或者只考虑了硬路面情况,缺少对软地面的多种转向方式的对比研究。

本文旨在基于地面力学的基础上,通过对两种转向方式转向过程进行分析,建立两种四三角履带底盘软地面转向动力学模型,并通过数值分析手法求解对应动力学模型得到两种转向方式各履带轮驱动力矩与阻力矩大小并进行对比分析,为后续对应特种机器人行走机构设计与转向方式的选用提供参考。

1 机器人底盘转向数学模型

1.1 机器人底盘概述及转向运动方案分析

本次设计特种机器人履带底盘提供3种转向方案。首先,传统履带底盘转向方案为差速转向,主要是通过改变两侧履带驱动电机的驱动速度,进而使两边履带形成速度差实现转向。其次,将前方一组三角履带设计为导向轮,以前轮组为例,通过设计前驱动桥,使得前履带轮组可以调节角度,实现导向转向,这种方案转弯半径更小,且横向阻力小,但需要特殊设计转向机构。最后将第二种方案前部三角履带轮改为雪橇板,接地面积更大,接地比压小,雪面沉陷小,推雪阻力小。

1.2 差速转向动力学建模

底盘在进行差速转向时,履带接地段会受到地面作用的阻力矩,底盘牵引力必须克服阻力矩才能完成转向。在硬地面差速转向时,转向阻力矩主要由履带接地段受到地面摩擦作用产生。而在雪面这种软地面差速转向时,底盘由于重力会在积雪面上产生较大沉陷,这样在转向时,履带侧面就需要推开堆积的积雪,就会产生履带组两侧剪切破坏积雪的推雪阻力和履刺效应破坏积雪产生的剪切阻力。

机器人底盘差速转向实际运动分析模型示意图如图1。由于雪面实际情况底盘与地面受力情况复杂,所以对动力学分析做出如下假设:(1)考虑到沉陷,底盘底部未与雪面接触;(2)4个三角履带轮呈对称布置,整机重心位于几何中心,整机自重平均分配在各个履带轮上;(3)车辆重心与瞬时转动中心的纵向偏移量为e;(4)履带接地端接地比压和横向阻力均呈线性分布;(5)不考虑离心力的影响,不考虑履刺效应的影响。

图1 差速转向动力学简图

首先对履带—雪面摩擦作用进行动力学分析。内外侧履带的的平均接地比压为pi=G/4bd1,但由同侧履带接地比压也不是相同的,近似把同侧履带接地比压看作线性分布,则可得到内外侧接地比压为梯形分布,如图2所示。接地比压最大最小值可表示为

(1)

式中:W为接地平面模量,可根据图2表示为

(2)

图2 底盘接地比压分布图

将式(2)带入式(1),则履带带接地段上任一点的接地比压可以通过图2的比例关系得出

i=1,2

(3)

根据图2,其中y的取值范围在[-d1-t+e,-t+e]∪[t+e,d1+t+e]之间。

采用微元法对外侧履带进行分析,如图2所示,以O′2为原点建立x2O′2y2坐标系,取微元dxdy分析,则可以得到地面对微元的作用力为

dF2=μp2ydxdy

(4)

式中:μ为转向阻力系数。根据文献[8]通过试验得出的经验公式可得

(5)

式中:B为底盘轨距;μmax为履带原地制动转向时产生的最大阻力推得的最大转向阻力系数,根据南极路面情况选为0.6;a为土壤力学决定的无因次经验系数,通常情况下取0.85。

将微元受到的作用力dF2分解到x和y方向上,可以得到这个位置的微元受到的横向摩擦力、纵向摩擦力力、对O′0点转向中心的转向摩擦阻力矩dM2O′0和制动力矩dMq2O′0并分别进行积分就可以外侧履带受到的横向摩擦力、纵向摩擦力、对O′2点转向中心的转向摩擦阻力矩M2O′2和驱动力矩Mq2O′2可分别表示为

(6)

同理通过微元法可得内侧履带对应参数。

接下来对履带横向推雪阻力作用进行分析。假设不考虑履带侧面推雪形成表面雪堆的质量,可以对履带侧面受力分析如图3所示。假设履带按上述分析中向左转向时,内外侧履带靠左一边都会推开左侧的积雪,使积雪产生楔形破坏。图3中Q代表楔形积雪受到的下方积雪的反作用力,W代表单位面积积雪重量,Cθ=ZC/sinθ代表单位面积积雪的土壤内聚力,RB(θ)代表单位长度横向推雪阻力,θ为积雪破坏面与水平方向夹角,φw是履带板壁摩擦角,φ是土壤内摩擦角。

图3 履带推雪阻力示意图

假设履带接地比压平均分布,则根据bekker理论变形公式[9]可以求得Z0的表达式为

(7)

则履带侧面任一单位长度的推雪阻力可由静力平衡方程可表示为

∑FX=0⟹RB(θ)cosφw+Z0Ccotθ-

Qsin(θ+φ)=0

Z0C-Qcos(θ+φ)=0

(8)

式中:γs为土壤容重。

根据式(8)可以解得单位长度的推雪阻力为

(9)

通过根据图3坐标系对履带接地段长度进行积分可以的得到转向时的内外侧履带推雪阻力和相应的阻力矩为

(10)

深雪面土壤相关参数参考Lever[10]经过多次深雪履带机器人试验得出的土壤参数:kc=6.9 kN/mn+1,kφ=160 kN/mn+2,n=1.6,c=0.85 kPa,φ=21.4°。可以通过式(7)求得沉陷量为0.185 4 m。

当底盘稳态转向时,根据图1可以列出稳态转向动力学方程

∑FX=0⟹F1x+F2x=0

∑MO′0=0⟹Mq1O+Mq2O-Mm-MT=0

(11)

1.3 前轮导向转向动力学建模

前轮导向转向动力学同样采用微元法进行分析,动力学分析简图如图4所示,以底盘理论转向中心OL为原点建立固定坐标系XOY,由于滑转滑移等影响存在,实际转向中心OS与理论转向中心OL存在偏移,机器人底盘绕实际转向中心做半径为R′0的匀速转向运动,αi(i=1,2)为各履带轮转角,为便于理解i为各履带轮编号,L为底盘前桥和驱动轮组轴距。

图4 前轮导向转向动力学分析

前履带轮组的内外履带轮应满足阿克曼转向转角关系公式[15]

(12)

首先计算履带-地面摩擦阻力矩。假设履带各处接地比压为平均接地比压。首先对外侧前履带轮分析,由于驱动轮滑转滑移的存在纵向偏移,在履带轮瞬时转动中心建立随动坐标系x10z1y1,则地面对微元的作用力表示为

dF1=μp2dxdy

(13)

将微元受到的力分解到随动坐标系x1、y1方向,可以得到可以得到这个位置的微元受到的横向摩擦力、纵向摩擦力、对机器人底盘几何中心O的转向阻力矩dM1O和驱动力矩dMq1O,并积分就可以得到履带轮1受到的横向摩擦力、纵向摩擦力、对O的转向阻力矩M1O和驱动力矩Mq1O表示为

(14)

式中:C1为履带轮速度瞬心横向偏移量,D1为履带轮纵向偏移量。同理可以得到剩余履带轮的相应参数。

前轮导向转向方式各履带轮受到的推雪阻力和推雪阻力矩可通过式(10)表示为

(15)

机器人通过前轮导向转向方式进行稳态转向的稳态转向方程为

(16)

式中:主要未知量为α1、α2、C1～C2、C1～C2、C1～C2、R′0、xs、ys,可以通过运动学分析找到对应关系消除一些未知量。而对雪橇板前轮导向转向动力学分析中,除了前轮不产生驱动力外,与前轮导向转向动力学分析相同。

2 动力学模型求解与分析

式(11)差速转向稳态转向方程是以机器人底盘参数与地面参数的G、d1、t、B、b、f、μ等参数关于R′0、C1、C2的方程组,其中积分还有未知数不能求得解析解,所以需要通过数值解法求解。求解所需要用到的底盘相关参数如表1所示。

表1 机器人底盘相关参数

将各参数带入式(6)、式(10)与式(11),通过改变转向半径,再应用Matlab中的lsqcurvefit函数迭代并非线性拟合求得不同半径下C1、C2的局部最优解。首先在硬地面不考虑推雪阻力矩的情况下,内外侧履带驱动力和阻力矩如图5所示,可以看出在0～23 m转向半径内,内侧履带处于制动状态,超过23 m后转为驱动状态,并且驱动力矩与阻力矩均随转向半径增大而减小,且转向半径小的时候减小趋势快。观察阻力矩可以说明差速转向中原地转向是阻力矩最大的转向方式。

图5 硬路面差速转向内外侧履带驱动力、 阻力矩与半径关系

南极雪面上内外侧履带驱动力和阻力矩如图6所示,对比硬路面情况发现整体趋势不变,但相同转向半径下的驱动力矩与阻力矩明显变大,由于推雪阻力矩为常量,所以阻力矩会不断逼近推雪阻力矩的大小,说明了以往在进行履带转向动力学分析时忽略沉陷带来的影响是不可取的,忽略了推土阻力矩会造成阻力矩计算值偏小。并且在0～2 m内阻力矩的大小和变化趋势相比硬路面较大,说明在雪面进行原地转向或转向半径较小的差速转向会产生很大的阻力矩,所以需要根据相应的地面选择相应的转向方案。

图6 雪面差速转向内外侧履带驱动力、阻力矩与半径关系

前轮导向转向方式同样采用相同的底盘参数,并给定α1=30°,方程组就也可通过同样方法进行数值方法求解得出南极雪面各驱动轮驱动力矩和底盘阻力矩如图7所示,内侧履带轮2、4在0～26 m转向半径内处于制动状态。通过对比差速转向与前轮导向转向阻力矩大小可以发现,相同转向半径下前轮导向转向方式阻力矩在相同转向半径下明显阻力矩更大,并且结构更复杂,所以不采用这种方式。

最后对雪橇板前轮导向转向方式求解可得结果如图8所示。可以发现,由于雪橇板不产生驱动力,所以在11 m左右时履带轮均变为驱动状态,而同半径下该方式阻力矩大小最小,所以选用该方案能提高底盘机动性。

图7 雪面前轮导向转向转向各履带轮驱动力、阻力矩与半径关系

图8 雪面雪橇板前轮导向转向个履带轮驱动力、阻力矩与半径关系

3 动力学仿真

为验证理论分析结果的准确性,对雪面平地转向工况进行多体动力学仿真分析验证。在RecurDyn软件中,导入车架模型,并通过Track-LM模块完成三角履带轮建模,得到整机模型,并在地面设置中选用系统自带的雪面参数设置,如图9所示。

图9 RecurDyn软件整机模型建模与地面参数设置

将机器人至于平地雪面上,首先对外侧驱动轮设置驱动函数STEP(Time,0,0,4,-20),即机器人在0到4 s时间内从0 rad/s开始加速到20 rad/s,即2.5 m/s左右,而内侧履带设置驱动函数STEP(Time,0,0,4,-7),即机器人在0到4 s时间内从0 rad/s开始加速到7 rad/s,即0.9 m/s左右,内外侧履带形成速度差,实现转向。仿真时间为7 s,仿真步数为200步,转向半径约为1.2 m,可以得到车体质心内外侧履带速度、内外侧履带驱动力矩如图10和11所示。

图10 平地转向内外侧履带速度

图11 机器人平地转向内外侧履带驱动力矩

由图11可知,4 s加速结束后,内外侧履带速度趋于稳定,而驱动力矩趋于稳定波动,内侧履带驱动力矩在330 N·m周围波动,外侧履带驱动力矩在600 N·m周围波动,阻力矩约为930 N·m。图8得到的半径为1.2 m时,机器人阻力矩在850 N·m左右,一些参数设置导致了理论分析与仿真分析存在差异,但总体差距不大,结果较为接近。验证了雪橇板前轮导向转向的可行性,故最后可选用雪橇板前轮导向转向方式作为底盘转向方式。

4 结论

(1)本文建立了机器人四三角履带底盘软地面差速转向、前轮导向转向和雪橇板前轮导向转向的数学模型。这模型包括了履带底盘结构参数、履带接地瞬心偏移量和土壤相关参数,通过改变相关参数可以预测软、硬路面四履带底盘转向特性。

(2)3种转向方案外侧履带驱动力均随着转向半径增大而减小,内侧履带在转向半径较小时处于制动状态,并随着转向半径增大而减小,而在某一转向半径后变为驱动状态,并随着转向半径增大而增大。软地面忽略了推土阻力矩会造成阻力矩计算值偏小,说明了以往在进行履带转向动力学分析时忽略沉陷带来的影响是不可取的。

(3)在相同转向半径下,雪橇板前轮导向转向方式阻力矩最小,而前轮导向转向方式阻力矩最大,采用雪橇板前轮导向转向方式能够有效改善雪地机动性。

(4)利用RecurDyn软件进行动力学仿真得到理论分析与仿真分析结果基本一致,验证了雪橇板前轮导向转向的可行性。