关于北京高考数学考查数学建模与数学探究的思考

北京市朝阳区教育科学研究院 张 浩

在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中，数学建模活动与数学探究活动是数学课程的一个主题。在高考评价体系中，数学应用、数学探索是数学学科考查的两个学科素养，数学建模能力、创新能力是其中两项关键能力；生活实践情境、数学探索创新情境是其中两类试题情境，它们与数学建模、数学探究的关系尤为密切。

北京高考数学试题坚持以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点，通过生活实践情境考查数学建模和数学应用，通过探索创新情境考查数学探究和理性思维，体现综合性、应用性和创新性。

一、对数学建模与数学探究的考查

（一）生活实践情境与数学建模的考查

生活实践试题情境需要考生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题。它关注与其他学科和社会实践的关联，是考查学生数学应用素养、理性思维素养和数学文化素养的重要载体。数学建模能力是能在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型，最终解决实际问题。

北京高考数学中的生活实践情境紧密结合时代特点，联系社会生活，从真实问题出发，关注跨学科素材，融入数学建模，呈现出选材应用性、信息多样性、视角灵活性等特征，彰显数学学科的文化价值、应用价值。

（二）探索创新情境与数学探究的考查

数学探索创新试题情境包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境，关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索，是考查数学抽象的重要载体，指向了考查学生的理性思维和数学探究素养。数学探究能力表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方法，通过自主探索、合作研究论证数学结论。

北京高考数学中的探索创新情境基于核心概念，关注学科本质，再现学习过程，体现基本思想方法，考查数学探究能力，呈现出背景有内涵、形式有新意、设问有层次等特征，彰显数学学科的科学价值。

二、数学建模与数学探究试题例析

（一）数学建模试题举例

例1（2020年北京卷第15题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改。设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用的大小评价在［a，b］这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图1所示。

图1

给出下列四个结论：

①在［t1，t2］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0，t1］，［t1，t2］，［t2，t3］这三段时间中，在［0，t1］的污水治理能力最强。

其中所有正确结论的序号是______。

例题分析见表1。

表1 2020年北京卷第15题分析

例2（2021年北京卷第8题）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）。24h降雨量的等级划分如表2。

表2 24h降雨量等级

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm、高为300mm的圆锥形雨量器。若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图2所示），则这24h降雨量的等级是（ ）。

图2

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

例题分析见表3。

表3 2021年北京卷第8题分析

（二）数学探究试题举例

例3（2019年北京卷理科第8题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋｜x｜y就是其中之一（如图3），给出下列三个结论：

图3

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3。

其中，所有正确结论的序号是（ ）。

A．① B．② C．①② D．①②③

例题分析见表4。

好产品也需要好服务，不仅要针对农村、农业和农民生产好的产品，还要与时俱进转变销售方式和模式，做好售后服务。比如，农村电商平台利用互联网将传统的赶集搬到网上，通过线下的实体体验，在线上完成交易，让农民坐在家里上网赶集就可以买到货真价实的好产品，较好地解决了农村物品价高货次的问题，既降低了商品的流通成本，又节约了社会资源，交易的商品得到了农民的认可和赞许，发展前景十分令人看好。

表4 2019年北京卷理科第8题分析

例4（2019年北京卷理科第12题）已知l，m是平面α外的两条不同直线。给出下列三个论断：

①l⊥m； ②m／／α； ③l⊥α。

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___。

例题分析见表5。

表5 2019年北京卷理科第12题分析

例5（2021年北京卷第21题）设p为实数。若无穷数列{an}满足如下三个性质，则称{an}为Rp数列：

①a1＋p≥0，且a2＋p＝0；

②a4n－1＜a4n（n＝1，2，…）；

③am＋n∈｛am＋an＋p，am＋an＋p＋1｝（m＝1，2，…；n＝1，2，…）。

（Ⅰ）如果数列{an}的前四项为2，－2，－2，－1，那么{an} 是否可能为R2数列？说明理由；

（Ⅱ）若数列｛an｝是R0数列，求a5；

（Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn。是否存在Rp数列{an}，使得Sn＞S10恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由。

例题分析见表6。

表6 2021年北京卷第21题分析

三、对试题的思考

情境性试题通过提供一定的情境型材料，要求学生置身于具体的情境中，在充分理解材料的基础上，回忆、再现、关联、应用已有的知识和方法，寻求解决问题的途径，它是关键能力考查的重要载体。

（一）生活实践情境要取材真实情境，体现育人价值

生活实践情境打通课程知识与现实问题、跨学科内容的藩篱，结合数学文化与中华优秀传统文化，体现时代特征，展示科学技术、人文社科等领域中的数学元素，帮助学生了解数学与其他学科及生产生活之间的联系，知晓如何用数学解决实际问题，体悟建模思想。情境中不一定直接呈现出模型，而是通过数学抽象建构数学模型；材料中用多种形式（图、表、数据、符号语言等）呈现信息，加强对学生在信息时代应具备的阅读理解、信息整理再加工等能力的考查。

比如，2018年理科第4题给出“十二平均律”，关注音乐中的数学；2021年第18题以核酸检测方法为背景，体现数学模型在解决现实问题时的优化作用；2022年第7题选取气体状态与温度、压强的联系为情境，体现数学是刻画自然规律的科学语言和工具。北京市各区县自主命题中也非常关注生活实践情境，见表7。

表7 近年北京各区自主命题中的部分生活实践情境

解答此类问题是分析和解决问题能力的高层次表现，同时这些素材也具有教育意义，能潜移默化地引导学生了解生活中的数学模型，自觉从数学角度理解科学前沿、时代发展等的深刻内涵，感受数学的文化价值、应用价值和科学价值。

（二）探索创新情境要突出理性思维，发挥选拔功能

探索创新情境，挖掘有意义的真实研究过程，关注概念和知识的形成过程，创设多元化设问形式（如绘图、举例、选择、判断、求证、说明等），使学生在情境中通过操作试验、方案选择或猜想推理，将相关方法迁移和应用来尝试证明，考查学生的研究探索能力、独立思考能力、严谨表达能力，培养学生善于思考、敢于质疑、勇于探索的科学精神。设置开放性试题、结构不良试题、综合创新试题，有利于选拔理性思维能力较强的学生。

比如，2018年理科第13题是解答不唯一的填空题，以函数的单调性为载体，引导学生开放思考构造出函数反例，具有发散性、探索性和创新性，考查严谨求实的理性思维和批判质疑的意识。2019年理科第17题第三问是开放性问题，从不同角度基于数据分析可以得出不同结论。2020年起创设结构不良试题，其探索性强，思维过程开放，对思维要求的层次高，有助于考查发散思维、创新思维和批判性思维。

再如，综合创新题（第21题）具有很强的挑战性，承载着高考数学学科的选拔功能，通过引入新概念或新定义，设置指向探究的层级化任务，逐步考查对陌生的情境和知识的理解。此类试题通常以数列、集合、向量等为载体，选材往往有深刻背景，如2018年源于2元域上线性空间的内积概念，2019年基于递增子列设计问题。北京市各区县自主命题也不乏类似的背景，如2023年西城区一模与2元域上线性空间的内积定义有关，2023年东城区期末出现子列的概念。此外，各区也在探索使用更多背景命制试题，如2022年朝阳区一模的新定义源自加性组合学中的和集，2022年房山区一模引入无界数列的概念等。这些内容取自真实数学情境，学生在感知、体验、探索的过程中，深刻理解其本质，综合运用逻辑推理、合情推理能力以及学科思想创造性地分析和解决问题，并按照逻辑用数学符号和语言有条理、有层次地论证，整个过程可视作数学研究的缩影。

这些情境引导学生多角度、多层次认识问题，鼓励学生主动思考、积极探究，为学生搭建了施展才华的舞台，为学生的智慧发展预留了充足的空间。

四、结语

当学习者面对生活实践情境或学习探索问题时，能够在正确的思想价值观念的指导下，合理运用科学思维方式与方法，认识问题、分析问题进而解决问题的综合品质就是素养的体现。评价中的生活实践试题情境和探索创新试题情境与教学中的数学建模活动及数学探究活动是一脉相通的，要“以数学建模与数学探究活动为引子，融合不同知识模块的内容进行综合性考查”，既要关注横向的学科内外知识和经验的联系，也要关注纵向的学科思维方式的整合。高考数学中的这些情境能更好地考查学科素养和关键能力，发挥考试的区分选拔功能，同时还能引导教师教学中重视价值引领，展示学生的理性思维、应用能力、创新能力以及批判质疑、勇于探究等综合品质，体现数学学科的育人功能。