教学评一体化的高中数学学历案设计

北京师范大学附属实验中学 曹 絮

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）中指出，数学学科教育教学以发展学生数学学科核心素养为导向，重视阶段性评价和过程性评价，开展多元化评价，以评促学，以评促教。通过课程的学习，使学生获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。《课标》中还首次给出了学业质量标准，即学生完成学习任务后，学科核心素养应该达到的各水平的关键表现。强调素养达成的同时，给出了素养达成的各层级水平的判断标准。这既是先进教育理念的体现，也是社会发展对人才培养的客观要求。

一、教学评一体化是素养达成的重要保障

目标的变化，必然倒逼教学方式和理论的革新。《课标》指出，要对标学业质量标准，促进教、学、评有机衔接，形成育人合力。教、学、评中以学为中心，以评为引领，重点则是教学评的一致性，三个环节相辅相成，彼此促进。

在教的过程中，应该以学生实际情况为出发点，遵循科学理论，甄选学生感兴趣的教学材料，精心设计教学过程，帮助学生完成新知识的建构。设计时要有“大单元”意识，要以“学科大概念”为核心，用“大观念”引导学生更加顺畅地进行新旧知识的联结，理解知识与知识之间的结构体系，让学生不仅知其然，还要知其所以然，在此基础上提高数学知识的迁移能力和应用意识。

学是教学评的核心。首先要明确学生在学习中的主体地位，以学生发展为本，关注学生个性化的发展需求，落实立德树人根本任务。在教学设计中，要结合授课内容和学生实际情况，选择恰当的课型，灵活选用独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，调动学生的积极性，从而达到深度学习、提高学科素养的目的。其次，还要注意避免“替学”“假学”，这也正是“明明教了但学生学不会”的症结所在。学生必须亲历在学科基本思想指导下凝练新知的全过程，积累知识与技能发展的基本经验，达到学会，进而举一反三，做到会学。

与原先只重视终结性评价不同，现在的评价应贯穿学和教的全过程，对过程性评价和阶段性评价应给予充分重视，且评价可以采用更多元的方式。过程性评价可以外化学习过程中目标完成的实时情况，方便及时反馈、及时调整，从而尽可能提高学习效率，落实素养目标的达成。学习不是一蹴而就的，要遵从螺旋式上升的客观规律，因此，要注意按照学习的不同阶段制定阶段性评价标准。评也不只评学生的学，还要评教师的教。因此，在结束教学后，应及时确认目标的达成情况，反思教学过程是否可以进一步优化。

由此可见，教学评一体化是落实课程目标、提升学科核心素养的重要手段。

二、什么是学历案

显然，不论教师常用教案还是学案，都是无法兼顾上述所有需求的。华东师范大学崔允漷教授认为，学习的本质是经验在深度或广度上持续变化，即个体在原有经验的基础上通过自主建构或社会建构形成新经验的过程。学习是与生俱来的，人天生都是爱学习且会学习的。教师的专业性则体现在通过专业方案的设计、实施与评估，规范或指导学生的学习过程，即引起、维持或促进学生的学习。学与教的关系可以简要概括为：学主教从，先学后教，以学定教，由此崔允漷教授提出了学历案这一新的方式。学历案是指教师在班级教学的背景下，为了便于学生自主或社会建构经验，围绕某一相对独立的学习单位，对学生学习过程进行专业化预设的方案，是学生可以反复使用的认知地图。学历案将教学评有机结合到一起，一般包括以下几个基本要素：（1）学习主题／课时；（2）学习目标；（3）评价任务；（4）学习过程；（5）检测与练习；（6）学后反思。学历案的使用人是学生，教师从学生立场设计学会什么、何以学会，激发学生进行“真学习”，从而达到深度学习的状态。

三、基于教学评一体化的学历案设计

下面以一节数学探究活动课“形如f（x）＝ax＋（ab≠0）的函数的研究”为例，进行学历案的设计。

（一）学情分析

本课是在学生学习完人教B版《普通高中教科书数学必修第一册》（以下简称“必修一”）之后进行的一节数学探究活动课。必修一包括三章，其中第二章是“等式与不等式”，第三章是“函数”，函数作为高中数学课程的主线之一，和多章知识都有紧密联系。选择用形如f（x）＝ax＋（ab≠0）的函数作为研究对象，既可以作为学习完函数性质后的一次实践，又可以在分类讨论与研究性质过程中建立与不等式的联系，构建知识网络，考查学生的知识迁移能力，提升学科素养。最好的学莫过于从做中学，因此，在此处设置探究活动课，能够充分激发学生的“真学习”过程，促进高阶思维的发生。另外，借助手持计算器，让学生直观感受、发现函数性质，也给予程度较弱的学生以辅助，满足不同学情学生的个性化需求。

实施授课的班级学生具有较好的数学功底和很强的求知欲，思维活跃，接受能力强，愿意进行探究思考，乐于分享和交流。本节课前，笔者对学生进行了TI图形计算器函数图像绘制、滑动条相关功能和图形计算器中尺规作图等功能的培训，为研究双参数函数做了铺垫。同时通过绘制函数y＝x＋（ab≠0）的图像和研究相应函数性质为本节课中猜想、验证图形的形状等活动做了充分的准备。

图形计算器可以快速准确作图，使得每一位同学都可以便捷地参与到函数的研究中，特别是对于含参函数，提供了动态观察函数图像变化的机会，滑动条的设计，可以帮助学生控制变量，突破对多参数函数的学习难点，形成对多参数函数研究的一般方法。在学生对函数性质有所猜测时，可以借助计算器进行快速直观验证，有效减少了所学知识的限制，降低探究门槛，让各个层次的学生都有用武之地。

（二）学历案呈现

1．学习主题／课时

本节课是必修一第三章函数学习完成后进行的探究活动课，1课时。

2．学习目标

（1）借助图形计算器，观察函数f（x）＝ax＋（ab≠0）的图像及参数对图像的影响，归纳函数性质，提高直观想象的核心素养。

（2）经历新函数的研究过程，猜想、验证函数图像特征，感悟含参函数的研究方法，体会数形结合、控制变量和分类讨论等数学思想，发展数学运算和数学抽象的核心素养。

（3）在合作交流、小组协同互助等活动中，丰富和积累数学活动经验，感受探索数学的乐趣。

3．评价任务

（1）完成评价活动一，以此评判学生是否能够复现已学过的函数的探究过程并从中提炼一般的研究方法。

（2）完成评价活动二，以此评判学生是否掌握了简单多参数函数的研究方法，即控制变量法。

（3）完成评价活动三，以此评判学生是否有较好的知识迁移能力，发现并证明函数f（x）＝ax＋（ab≠0）的性质，通过学生的呈现方式和验证方式，辨别数学抽象素养达成的不同程度。

（4）完成评价活动四，考查学生对图像信息提取和基于已有信息进一步得到新性质的能力，考查直观想象和逻辑推理素养。

4．学习过程

（1）资源与建议

函数是数学学科中重要的研究内容，高中在初中函数定义的基础上，完善了函数的定义，对函数的性质有了更加清晰和明确的刻画。对于函数性质的研究也不再限于对函数图像的观察、归纳，而是给出严谨的证明方法，在学习、研究函数过程中，可以回顾已学过函数的探究过程和方法，类比进行新函数的研究。要逐步养成科学的探究方法，既要注意基于直观归纳猜想，也要明确如何验证，进而提高直观想象和数学抽象的核心素养。

（2）课前预习

回顾第三章函数的学习内容，总结已学过或接触过的函数性质及其证明方法，熟悉图形计算器的基本操作。

（3）课中学习

①学习活动一

任务一：利用TI图形计算器，绘制函数y＝x＋的图像，回顾研究该函数性质时的探究过程，体会一般函数的研究方法。

评价活动一：请总结一般函数研究都包含哪些性质，如何研究，如何验证。

任务二：利用游标卡尺，绘制一次函数y＝kx＋b，动态观察参数与函数图像变化的对应关系，总结含参函数的研究方法。

评价活动二：请总结多参数函数的研究方法。

②学习活动二

f（x）＝x＋可以看成是由正比例函数y＝x和反比例函数y＝相加而成，正比例函数的一般形式是y＝ax（a≠0），反比例函数的一般形式是y＝（b≠0），对勾函数的一般形式是f（x）＝ax＋，其中ab≠0，都有哪些性质？

任务一：利用TI图形计算器，设置滑动条，绘制函数f（x）＝ax＋（ab≠0）的图像，观察当a、b取不同的值时图像的变化。

任务二：小组讨论，归纳总结f（x）＝ax＋（ab≠0）的性质并进行验证。

任务三：小组代表发言分享。

评价活动三：请总结函数f（x）＝ax＋（ab≠0）的性质并给出相应验证。

③学习活动三

任务一：小组交流，观察函数图像，思考其是否存在渐近线，借助渐近线，猜想图像是否有对称轴。

任务二：验证所观察到的特征。

评价活动四：请提出猜想并给出相应验证思路。

5．检测与练习

（1）完善相关性质的代数证明。

（2）查阅资料，了解函数f（x）＝ax＋（ab≠0）图像的名称。

（3）自选一个双参函数，研究它的性质并证明。

6．学后反思

（1）通过这节课，你学到了哪些知识？哪些方法？有什么收获？

（2）探究过程中遇到了什么困难，又是如何解决的？

（三）设计思路及反思

本节课精心选择函数f（x）＝ax＋（ab≠0）作为研究对象，符合学生现有能力水平，一方面完成了知识的承上启下；另一方面，此类函数性质丰富，图像形状熟悉，结论带来惊喜，能充分激发学生的探究热情。通过复习旧知设置情境，由特殊到一般引出新问题后，主要由学生开展自主探究、合作探究、交流分享，教师在各组巡视，对有需求的学生给予引导，对手持计算器操作上遇到问题的学生及时进行帮助。本节探究课是基于大单元设计中的最后一节，在前面的学习中，已为本节课的开展做好了理论和技能上的充分准备，因此，给予学生充分的活动时间和自由，让学生在小组互助中感悟研究方法，合理分类，归纳性质并通过多种方式验证，让学生充分参与到学的活动中来。具体表现为：借助图形计算器，运用数学知识和方法，提出研究思路和方案，归纳总结函数性质；通过对函数图像的观察和分析，发现并提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论。其中，学习活动三应由教师根据课堂实际情况，有选择性地开展，也可留在课后完成。学生在进行相应性质验证时，可以根据自身情况，先采用图形计算器内置功能进行直观验证，突破难点，而后进行严谨的代数运算进行计算。通过动态观察函数图像的变化，分析、猜想、验证图像特征。所想即所得，有助于提高问题意识，发展几何直观能力。

本节课的研究内容，能够在评价中较好地体现出学生核心素养达成的不同层次。比如，有的学生是直接借助计算器画出图像再进行归纳研究，也有学生是先对解析式进行分析，得出部分性质再画图，进一步得出更多性质。还有学习活动二中，学生通过图形计算器，设置滑动条，绘制函数f（x）＝ax＋（ab≠0）的图像，观察当a、b取不同的值时图像的变化，是否能够发现要对参数a、b的符号进行分类讨论，此时需要分四类，即：a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0。有的学生则能通过图像形状或函数性质，将其抽象为两大类，即ab＞0，ab＜0，研究单调性时再细化为四类或由同一类中函数图像的对称关系得到相应性质，其体现的数学抽象素养显然是不同的。再如，验证函数性质时，对整个定义域内的取值进行讨论，或利用函数的奇偶性，将研究范围先缩小到一半，再进行研究，其体现出的数学应用能力也是不同层次的。有的学生在直观观察到函数性质后，可能无法顺利完成代数证明；有的学生能够想到渐近性，而有的学生由于第三章中未重点研究则忽略了渐近性，在求值域时，是否能够联想到利用均值不等式的知识准确把握其应用条件等，均能够较好地体现出学生当前数学知识、能力和素养水平，便于学生把握自身学习情况，也便于教师进行个性化学习指导，对标学业质量标准，考查素养目标达成情况。

课后作业则体现落实严谨代数证明的要求，启发学生在信息时代要充分利用丰富的网络资源，开阔视野。在发挥学生自主性的基础上，再次巩固本节课的相关知识。另外，教师应提醒学生重视课后反思，在积累完善知识技能的同时，积累问题解决的经验，这对促成知识迁移有着重要作用。本节课课程容量较大，要根据学生程度进行恰当的课时调整或对内容进行删减。

四、结语

值得注意的是，教师在进行课程设计时，一定要避免为了探究而探究，为了活动而活动，每节课都应明确教学目标，教学形式、教学素材都应紧密围绕课程目标。另外，要关注内容、方法和学生实际情况三者之间的适配，比如，探究活动课应基于学生已经有了比较扎实的前期知识和技能储备的前提下开展，否则无异于揠苗助长，对于学困生，则应重点提高对基础知识的掌握落实。

随着时代发展，教育的内涵也在不断发展完善，信息技术提供的便捷条件给教学提供了更多可能，因此，教师要注意积累、充分挖掘好的教学素材，在教学中要及时调整教学方法和教学材料，选取更多贴近实际生活的新情境，适应社会科学技术的新变化，促进学科知识、思想方法与学生的生活和学习产生更加紧密的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生关注生活、善于从生活中发现问题，用科学的方法探究、解决问题的意识。从课程设计开始，到课程实施后反思，都应注意教学评之间的相互反馈，尽可能地提高学生单位时间内获得的知识能力密度，促进学生得到更好的发展。