一个Lebesgue稠密定理在动力系统中的推广

2023-12-13 01:43张俊杰孙浩宇
关键词:微分测度常数

张俊杰,孙浩宇,王 威①

(1.苏州科技大学 数学科学学院,江苏 苏州 215009;2.南通理工学院 基础教学学院,江苏 南通 226002)

0 引言

Lebesgue微分定理是实变函数论[1-3]中的一个经典结论,该定理指出:对于几乎处处的点x∈Rn,有

其中f为Rn上的Lebesgue 可积函数,m为Rn上的Lebesgue 测度。称满足上述等式的点为Lebesgue稠密点[4]。该定理表明,对于几乎处处的点,局部可积函数取值等于围绕该点小球上的平均值在球半径趋近于0 时的极限。Lebesgue 稠密定理是Lebesgue 微分定理的一种特殊情况。Lebesgue稠密定理指出,对Rn中任意具有正Lebesgue测度可测集E,对几乎所有的点x∈E,有

作为现代数学经典分析工具,Lebesgue稠密定理在测度论、实分析、动力系统和调和分析等数学领域起到关键作用。在过去的几十年,有学者[5-10]做关于Lebesgue 稠密定理的拓展研究。Khan[11]研究发现,勒贝格稠密定理在算法随机性的最新发展中发挥至关重要作用,例如解决ML-covering和ML-cupping问题。随后,Bingham 等[12]在拓扑群上研究稠密拓扑相关性质,研究发现可以同时处理(Bair)类别情况和(Lebesgue 或Haar)测量情况,即在原始拓扑和合适加细(稠密拓扑)之间切换。Andretta 等[13]在N2空间上研究测度代数,总结在此条件下稠密函数与Lebesgue稠密定理的基本结果。糜泽亚[4]证明在固定的收缩集下,离散动力系统生成的动力系统球族条件下勒贝格稠密定理的准确性。Bienias 等[14]稠密点概念对理想收敛的推广框架,并证明在此定义下关于稠密点的经典性质依然成立。此外,还构造一族Cantor集合,证明Lebesgue稠密定理不能在此方向上成立。

若用其他收缩集族来代替Lebesgue稠密定理中经典的欧几里得球族,那么与该收缩集族对应的Lebesgue稠密定理是否依然成立?因此,文章主要研究在一般收缩集下,通过动力系统迭代而得到的球族,并验证它们对应的Lebesgue稠密定理准确性。

1 预备知识与主要结论

设f:Rn→Rn为微分同胚,d为Rn上的欧氏度量,m为Rn上的Lebesgue 测度。记Bn(x,r)=f-n(B(fn(x),r)),n∈N,称Bn(x,r)为在x处半径为r的动力系统球。糜泽亚[4]给出固定收缩集下的扩张集定义,文章在此基础上,给出其他一般收缩集族下的扩张集定义。

定义2[4]设x∈Rn,称一族可测集{ }Ui是关于点x是良收缩的,如果点x满足存在常数c >0,数列ri→0,使得对任意i∈N 和Ui⊆B(x,ri),都有m(Ui)≥cm(B(x,ri))。本文主要结论如下。

设可测集A为Rn中的n≥1扩张集,其中f:Rn→Rn为C2微分同胚。有如下引理和命题。

引理1 对任意x∈A和n∈N,有Bn(x,r)⊆B(x,λnr)。

证明 对任意n∈N,任取点y∈Bn(x,r),根据扩张集,可得

因此y∈B(x,λnr),即Bn(x,r)⊆B(x,λnr)。

下面均假设存在常数c >0,使得对任意成立。

引理2 对任意k,n∈N 和x∈A,存在常数Tk,有m(B(fn(x),r))≤Tkm(f-kB(fn+k(x),r))。

又因为f:Rn→Rn为C2的微分同胚,所以对任意i∈N,有λni为λn的子序列。因此,存在常数c0>0,使得

当α=exp(λ2rc0),引理3即可得证。

命题1 对任意k,n∈N,x∈A,存在常数ck >0,满足m(Bn(x,r))≤ckm(Bn+k(x,r))。

2 主要结果证明

基于上述讨论,下面完成定理的证明。

证明 首先对任意θ∈(0,1),令

事实上,只需证明对任意θ∈(0,1),有m(Aθ)=0 即可。

对任意ε >0,不妨取开集U,使得Aθ⊆U,并满足。定义Aθ的一个覆盖

在W中取出一列不相交的集合。考虑子族Wi1={Bi1(x,r)|Bi1(x,r)∈W,且对任意Bn(x,r)∈W,i1≤n}。任意

3 结语

Lebesgue稠密定理在实变函数论中扮演着重要角色,其推广和应用成为众多学者研究焦点。对于经典的Lebesgue微分定理和Lebesgue稠密定理,都是考察在规则的欧几里得球条件下,研究欧几里得球半径趋向于0时的积分或者测度。本文首先给出扩张集和良收缩的定义,然后给出在一般收缩集下,通过动力系统迭代球族相关性质,最后验证这些球族所对应的Lebesgue稠密定理仍然成立。这对Lebesgue稠密定理的拓展研究具有重要的影响。同时,它也在处理涉及测度迭代估计的动力学问题上具有重要理论意义。

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