基于加权L1-L2拟合的模糊活动轮廓图像分割

王 选,唐利明

(湖北民族大学 数学与统计学院,湖北 恩施 445000)

随着计算机科学技术的不断发展,图像处理和分析逐渐形成了独立的科学体系。在计算机视觉和图像处理领域,图像分割占据着重要地位,被广泛应用于图像恢复、医学检测等方面。自20世纪以来,关于图像分割的研究一直受到众多学者的关注,并在医学、交通、工业等领域得到了广泛应用。

在现有的图像分割方法中,基于活动轮廓模型的方法由于分割精度高、理论基础完整受到了广泛关注[1-4]。活动轮廓模型结合图像的特征信息,利用偏微分方程驱动轮廓演化,从而实现图像分割。该模型可以分为2类:基于边缘的活动轮廓模型[5-7]和基于区域的活动轮廓模型[8-11]。其中,基于边缘的活动轮廓模型利用图像的边缘信息构造,最具代表性的是Caselles等[12]提出的测地轮廓(geodesic active contours,GAC)模型,该模型通过演化参数曲线对图像进行分割,对于背景简单且边界清晰的图像能达到较好的分割效果,但对边界复杂、目标边界模糊的图像分割效果不理想,且分割结果容易受到噪声、纹理等因素的影响。为了对目标边界复杂图像和弱边界图像进行分割,可考虑将图像的区域信息融入到模型中,因此学者提出了大量基于区域的活动轮廓模型,其中最具代表性的是Chan等[13]在2001年提出无边缘活动轮廓的CV(Chan-Vese)模型。该模型通过活动轮廓曲线内部和外部区域的信息差驱动活动轮廓运动,利用图像的全局信息建立能量泛函对图像进行分割,对于目标和背景比较均匀的图像有较好的分割效果,但对灰度不均匀图像往往不能得到准确的分割结果。对此,Li等[14]引入图像的局部信息,建立局部二值拟合能量驱动的隐式活动轮(implicit active contours driven by local binary fitting energy,LBF) 模型。该模型利用高斯核函数实现局部区域的建模,可以捕捉图像灰度的局部变化,从而克服CV模型的局限性,实现灰度不均匀图像的分割。但LBF模型中含有二次积分,模型复杂度较高,导致计算效率较低。为提高分割效率,Zhang等[15]基于LBF模型构建局部拟合图像提取图像信息,并量化原始图像与拟合图像之间的差异,提出了局部图像拟合能量驱动的活动轮廓(active contours driven by local image fitting energy,LIF)模型。相较于LBF模型,该模型提高了处理灰度不均匀图像的能力,降低了计算量,但容易受到背景信息的干扰,产生误分割的情况。

为了更加准确反映图像的信息,避免陷入局部最优,精准找到目标的边界,Krinidis等[16]提出基于模糊能量的活动轮廓分割(fuzzy energy-based active contours,FEAC)模型。该模型利用能量的模糊性提供了极强的拒绝局部极小化的能力,并且对图像噪声具有鲁棒性,但是对于一些背景较为复杂的灰度不均匀图像分割效果不理想。基于FEAC模型,各学者提出了多种结合模糊能量的活动轮廓模型,如Shyu等[17]提出利用全局模糊能量和局部模糊能量促进轮廓进行演化,Sun等[18]提出具有自适应对比度约束的活动轮廓模型,Fang等[19]提出加权全局和局部拟合能量驱动的模糊活动轮廓(fuzzy region-based active contours driven by weighting global and local fitting energy,FRAGL)模型。尽管这些模型对于灰度不均匀图像均取得了较好的分割效果,但是计算量较大,并且对于灰度严重不均匀图像分割效果仍不理想。

为此,结合图像的局部和全局信息,提出基于加权L1-L2拟合能量项的模糊活动轮廓图像分割(fuzzy active contour based on weightedL1-L2fitting energy for image segmentation,FAWFE)模型。该模型利用图像的局部和全局信息构建混合模糊拟合图像,通过L1范数量化拟合图像与原图像之间的差异,进而构建加权L1拟合能量项,以更好地对异常值进行处理;然后结合L2拟合能量项,以保证能量泛函的凸性,避免陷入局部极小;最后通过对真实图像和合成图像的分割实验验证FAWFE模型的优势。

1 FAWFE模型的构建

1.1 混合模糊拟合图像

为反映图像的灰度信息,建立图像I(x)的理想化拟合图像,表示为

(1)

其中,h1(x)、h2(x)分别为图像目标区域和背景区域的灰度值,Ω1、Ω2分别为图像中的目标区域与背景区域。为更好地反映图像的灰度不均匀性,考虑利用加权的灰度均值常数图像和平滑图像逼近理想化的拟合图像,即有

hi(x)=λici+(1-λi)fi(x),i=1,2,

(2)

其中,λi为正的加权参数,且0≤λi≤1,ci为常值,fi(x)表示演化轮廓内部区域和外部区域的局部灰度均值。

在模糊集理论中,每个像素点对于各个区域都有1个隶属度,此时的隶属度从只能取值为0或1扩展到[0,1],且像素点对于各个区域的隶属度之和为1。这种基于模糊集理论的软分割算法提供了不确定性的机制,能更好地反映图像的真实信息。因此,舍弃传统的硬分割算法,利用模糊隶属度函数将拟合图像IFI建模为混合模糊拟合图像,如下所示:

IHFFI(x)=u1(x)mh1(x)+u2(x)mh2(x),

(3)

其中,m>1,u1(x)、u2(x)分别是隶属度函数,u1(x),u2(x)∈[0,1],且u1(x)+u2(x)≡1。因此,混合模糊拟合图像可改写为

IHFFI(x)=[u(x)]mh1(x)+[1-u(x)]mh2(x),

(4)

即

IHFFI(x)=[u(x)]m(λ1c1+(1-λ1)f1(x))+[1-u(x)]m(λ2c2+(1-λ2)f2(x))。

此时,演化轮廓C表示为0.5水平集。

1.2 加权L1拟合能量

寻找图像I(x)在某种度量意义下的最优混合模糊拟合图像IHFFI(x),过程如下所示。

(5)

与L2范数相比,L1范数具有的最小绝对偏差方法更具备鲁棒性,能够对异常值进行更好处理。将其应用到图像分割领域,可以较好地处理灰度不均匀、噪声、野点的干扰。另外,为了加强图像边缘等重要信息的拟合程度,在拟合能量中引入边缘检测算子,提出加权L1最优拟合能量,如下所示:

(6)

求解能量泛函EF关于u(x)、h1(x)、h2(x)的极小值点,按式(5)计算可得到最优混合模糊拟合图像IHFFI(x)。下面研究EF关于变量u(x)、h1(x)、h2(x)的凹凸性,有如下命题。

命题1固定u(x),拟合能量EF关于h1(x)、h2(x)均为凸。

命题2固定h1(x)、h2(x),当I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)≥0时,拟合能量EF关于u(x)为凹;当I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)≤0,拟合能量EF关于u(x)为凸。

命题1证明对EF进行分析,经计算,有

根据命题1和命题2,可得到如下结论:

1) 由命题1可知,根据凸优化理论,拟合能量EF关于h1(x)、h2(x)存在极小值点,并且是唯一的。

2) 由于u(x)为模糊隶属度函数,满足0≤u(x)≤1,根据极值原理,可得

minI(x)≤ci≤maxI(x);minI(x)≤fi(x)≤maxI(x)。

由于0≤λi≤1,可得minI(x)≤hi(x)≤maxI(x)。综上,可得I(x)-[u(x)]mh1(x)-[1-u(x)]mh2(x)无法恒大于0或者恒小于0。因此,由命题2可知,拟合能量EF关于u(x)非凸。

为了保证拟合能量关于u(x)的凸性,FAWFE模型在加权L1拟合能量项中增加1个强凸项,具体方案如下节所示。

1.3 加权L1-L2拟合能量

为避免陷入局部极小并保证分割精度,结合加权L2函数进行拟合,构造基于加权的局部和全局信息的区域能量项,确保模型的凸性及模型解的存在性和唯一性。在图像分割中,此二次拟合项可以提高模型捕捉目标边缘信息的能力,降低图像的灰度不均匀性给分割结果带来的不利影响,确保演化曲线到达精准的边界。加权L2拟合能量项的定义如下所示:

(7)

其中,h1、h2的定义与式(2)相同。结合加权L1拟合能量项,构成FAWFE模型的能量泛函E。如下所示:

E=ER+αEF,

(8)

即

(9)

其中,α为正的加权参数。

下面研究E关于变量u(x)、h1(x)、h2(x)的凹凸性,有如下命题成立。

命题3固定u(x),能量泛函E关于h1(x)、h2(x)均为凸。

命题3证明经计算,有

命题4证明对能量泛函E作关于u(x)的二阶偏导,即:

其中,m>1,α为正的加权参数,u(x)∈[0,1],h1(x),h2(x)>0,g>0。

综上分析可知,当加权参数α限制在一定范围内时,即可保证模型的凸性,又可避免陷入局部极小,从而实现更高精度的图像分割。

1.4 模型求解

首先,由1.1中hi的定义可知,求能量泛函关于hi(i=1,2)的极小值点,即为求能量泛函关于ci和fi(x)的极小值点。为简化计算,不直接求其极小,而是采用近似极小值点。ci为活动轮廓内外的全局灰度均值,则c1、c2分别表示为模糊隶属度函数划分的目标与背景区域的灰度均值,如下所示:

另外,fi(x)为活动轮廓内外的局部灰度均值,定义为

其中,*表示卷积运算,ωk(x)是大小为(2k+1)、标准差为σ的高斯窗口,发挥着代表局部空间权重的作用。

接着,求能量泛函关于隶属度函数u(x)的极小值点。为了对u(x)进行更新,保持4个变量c1、c2、f1(x)、f2(x)不变,通过欧拉-拉格朗日方程计算能量的最小值点,可得

通过上式可以得到隶属度u(x)的表达式,如下所示:

(10)

(11)

对隶属度函数进行更新要通过式(10)更新点x处的隶属度函数u(x)。该函数的变化将引起能量E的变化,通过新旧能量差ΔE判断是否对该点的隶属度进行更新:如果ΔE<0,则采用新的模糊隶属度;如果ΔE≥0,则保留旧的模糊隶属度。这种优化算法能使得模型的收敛速度更快。

2 实验结果与分析

实验采用Windows 10,64位操作系统,内存为8GB,处理器为Intel(R) Core(TM) i5-8250U CPU @ 1.60GHz 1.80GHz,利用Matlab 2020a软件进行仿真实验,测试FAWFE模型的有效性。实验主要针对合成图像、真实图像、医学图像的分割,并与CV模型[13]、LIF模型[15]、FEAC模型[16]、FRAGL模型[19]进行对比实验。

2.1 FAWFE模型的测试

2.1.1 轮廓初始位置的鲁棒性 为验证FAWFE模型对轮廓初始位置的鲁棒性,选取3幅图像(建筑、硬币、螺丝)进行实验,结果如图1所示,图中的绿色曲线为初始轮廓,红色曲线为最终的分割效果。由图1可知,建筑图像与硬币图像的目标与背景灰度信息相差较大,螺丝图像中目标区域的部分灰度信息与背景相似,都易对分割结果造成影响;从实验结果来看,无论初始轮廓在什么位置,均可以得到理想的分割效果。由此证明,FAWFE模型的分割结果与轮廓初始位置无关,对轮廓初始位置更具鲁棒性。

图1 对轮廓初始位置的鲁棒性Fig.1 Robustness to initial position of contours

2.1.2 加权L1拟合能量项的作用 为验证加权L1拟合能量项在FAWFE模型中的重要性,选取4幅图像(螺丝、汽车、鸭子、草坪),使用无加权L1拟合能量项的模型和有拟合能量项的FAWFE模型进行实验,结果如图2所示。由图2可知,螺丝图像的背景干净、目标突出,汽车、鸭子、草坪图像的背景较为复杂,容易对分割结果造成影响;比较分割结果可以发现,利用无加权L1拟合能量项的模型对图像进行处理时,容易受到目标信息的干扰,产生误分割的情况,而有加权L1拟合能量项的FAWFE模型能够准确地识别目标信息,精准找到目标边界,并准确地对图像进行分割。

2.1.3 加权L2拟合能量项的作用 为验证加权L2拟合能量项在FAWFE模型中的重要性,选取4幅图像(茶杯、鸭子、草坪、飞蛾),使用无加权L2拟合能量项的模型和有加权L2拟合能量项的FAWFE模型进行实验,结果如图3所示。由图3可知,茶杯图像与鸭子图像的背景干净、目标突出,草坪图像、飞蛾图像具有较强的灰度不均匀性,容易对分割结果造成影响;比较分割结果可以发现,利用无加权L2拟合能量项的模型对图像进行处理时,容易受到图像灰度不均匀的影响,无法准确定位目标边界,而有加权L2拟合能量项的FAWFE模型能够准确定位目标的边界,提高模型的分割精度。

图3 加权L2拟合能量项在模型中的作用Fig.3 The role of the weighted L2 fit energy term in the models

2.2 对比实验测试

首先,选取5幅合成图像(双椭圆、圆圈、椭圆、多圆、五瓣花)作为分割对象,测试CV模型、LIF模型、FEAC模型、FRAGL模型和所提FAWFE模型的分割结果;其中的几个对比模型都经过了多次实验,选择不同的初始轮廓和模型参数,最后将较好的分割结果进行对比分析,结果如图4所示。由图4可知,双椭圆图像具有细纹理,圆圈图像与椭圆图像具有灰度不均性,多圆图像为多目标图像,五瓣花图像为弱边缘图像,各图像的分割都具有一定难度。

几个对比模型的分割时间、迭代数量及均值如表1所示。由表1可知,FAWFE模型在分割时间和迭代数量上的降低不明显;但是结合图4的图像分割效果对比可知,该模型仍然可以准确地提取目标轮廓,在分割精度上具有明显的优势。另外,由表1可知,FAWFE模型的分割时间都为1s左右,且均值(0.952s)小于1s,这在可以接受的范围内。

接着,选取5幅真实图像(花朵、小猫、大雁、绣球、铁链)作为分割对象,测试CV模型、LIF模型、FEAC模型、FRAGL模型和所提FAWFE模型的分割结果;类似地,几个对比模型都经过了多次实验,将较好的分割结果进行对比分析,结果如图5所示。由图5可知,花朵、小猫、大雁图像的目标较为突出,背景干扰不是太大,分割难度相对较小,绣球、铁链图像的目标区域与背景区域具有一定的相似性,分割结果容易受到干扰;虽然几个对比模型的部分图像分割结果与FAWFE模型分割结果没有太大的差距,但是整体上看,FAWFE模型对于所有的5幅测试图像都可以取得较好的分割效果,很少出现误分割现象。

几个对比模型的分割时间、迭代数量及均值如表2所示。由表2可知,对于真实图像来说,FAWFE模型在迭代数量和时间上更具有优势,可以在更短的时间内对图像进行准确地分割。

表2 真实图像CV、LIF、FEAC、FRAGL、FAWFE模型分割时间和迭代数量对比Tab.2 Comparison of real images segmentation time and iteration times between CV,LIF,FEAC,FRAGL and FAWFE models

3 结论

FAWFE模型基于图像的局部和全局信息,构建了加权L1-L2拟合的模糊能量。该模型首先通过衡量原始图像和模糊拟合图像之间的差构建加权L1拟合能量项;为保证能量泛函的凸性,再结合加权L2拟合项构成FAWFE模型的能量泛函;最后通过计算新旧能量差对隶属度函数进行更新。一系列模型性能测试实验及对比模型实验结果表明,FAWFE模型的分割效果不受轮廓初始位置的影响,能精准定位目标边界,并且能够在0.6s左右完成图像的分割,与其他模型相比,收敛速度较高。所提模型对合成图像和真实图像均有良好的处理效果。