源于生活，小处入手
——谈中小学数学论文的写作

郑丽，王永军

（1.重庆市高新技术产业开发区石桥铺小学，重庆 400039；2.重庆市广益中学校，重庆 400065）

一、为什么写数学论文

（一）专业成长需成果固化

中小学数学教师的专业成长有多个维度：学生的考试成绩、学生的数学美感、学生的核心素养达成度等都是重要的维度。新时代的教师，还应该用自己的专业学术引领学生学业的成长。教师的学术水平离不开教学论文的撰写，这些论文就是教学成果的主要固化形式。数学教师需要数学论文彰显自己的专业成长，学术论文是专业技术人才专业自信的表现。

（二）职业美誉需论文强化

人生一世，草木一秋；来如风雨，去似微尘。中小学数学教师，在教好书育好人的前提下，应在生活中处处阳光向上。一些学术论文的嵌入有助于教师职业美誉度的提升。在中小学校中亦有不少数学大家，其中包括正高级教师、教授级教师、研究生指导教师、享受国务院政府特殊津贴专家教师等，他们无不著述颇丰，高质量的数学论文为其人生添彩很多，这些论文同时也引领了数学教育教学的深入发展与深刻变革。数学论文强化了数学教师的职业美誉度和社会影响力。

二、怎样积累论文素材

（一）在生活游戏中寻找数学奇点

案例1 （平方和问题）证明：12+22+32+…+n2=

将图1按顺时针方向旋转120°得到图2，将图2按顺时针方向旋转120°得到图3。结合图1、图2、图3，分别考虑三个图中的第i行第j列的数字，其和为i(n-j+1)[(ni+1)+(j-1)]=2n+1，这是一个常数。

图1

图2

图3

生活中这样的案例很多，它们常常可以处理复杂的数学问题，它们生动有趣、形象直观，如通过走楼梯的方法总数可以“走”出Fibonacci（斐波那契，意大利）数列等。数学论文如果采用这样的生活素材，可以增加可读性、实用性，它们是传承、发扬优秀数学文化的重要载体。

（二）在文献阅读中收集兴趣支点

在阅读文献中注重归类与归档，就中小学数学解题类文献而言可以有一题多解，也可以有多题一解，前者是发散思维，后者是聚合思维、化归统一，数学的通解通法常常在此产生。

案例2 （多问题同解）考虑不等式链：lnx≤x-1＜x＜x+1≤ex，同时结合相应的函数图像（数形结合），可以轻松处理一些高考数学中的“大题”，以下高考真题在某种意义下是同解的：2018年新课标卷Ⅲ文科第21题、2019年天津卷文科第20题、2020年新课标卷Ⅱ文科第21题、2021年全国甲卷理科第21题、2022年新高考卷Ⅰ第22题。

阅读文献资料教师可以站在科研的前沿，杜绝研究了很久的东西其实网络上（资料库）早已存在，这种“重复”研究工作本质上是毫无意义的。通过大量的文献阅读，其实就是与优秀的科研工作者对话，学习、借鉴好的工作方法、工作思想、工作路径，收集教师自己感兴趣的问题，这些问题常常是日后论文写作的素材与灵感，是个人兴趣的支撑点。阅读文献的过程是教师学习提升的修行之旅。

（三）在课堂生成中关注学情拐点

中小学数学论文的一个主要特点就是大部分论文都来源于课堂教学实践。在课堂教学中教学相长可以产生论文，而论文的精彩之处常常在课堂知识生长中的学情拐点处，这完全出乎教师的课堂预设，甚至超出“正常”的教学目标。

案例3 （范围与导数）关于x的不等式ex≥ax+1在区间(0,+∞)内恒成立，则a的取值范围为（ ）。

学生3：分离系数后，结合不等式方向,a可以无限小，题中所给的选择项直接选C。全程口算。

学生4：用基本图像、数形结合。考虑曲线y1=ex、直线系y2=ax+1，实际上函数y1=ex在点(0,1)处的切线即为y3=x+1，由直线的斜率、倾斜角等关系，结合相应的图像，立即可选C。

课堂上如果教师对比学生1和学生4的解题方法，强调切线不等式的应用是无可厚非的。但是本题的通解通法应该优先是分离系数法。学生3的解题方法绝对是课堂教学中的学情拐点，值得教师十分关注，应给予十足的表扬与鼓励，他给出了选择题的一种重要解题思路——排除法，就求解本题而言，学生3的解题方法是最好的。

（四）在教学反思中总结思维亮点

教有法，教无定法，教学必须反思。教师在反思中成长，在反思中卓越。教学反思为论文的书写提供第一手的素材，中小学数学论文中的绝大部分内容其实就是教师的教学反思、学生的学习反思，它们是教学中思维的亮点，是值得记忆和发扬光大的。

案例4 （椭圆的定义）在椭圆的教学中，教材给出的椭圆定义是下述的第一定义，从教材例题中可以总结第二、三、四另外三个“定义”：椭圆第一定义距离之和，椭圆第二定义：距离之比，椭圆第三定义：斜率之比，椭圆第四定义：压扁的圆。

在教学反思中还可以尝试得到椭圆的其他“定义”形式，如“双动向量”式定义等。

在教育教学中类似“椭圆定义”的素材比比皆是，教师要注意留心积累、提炼、升华这些思维训练的亮点，讲好教材、不拘泥于教材，做好深度教学的大单元教学设计，发散学生的思维层次，提高教师的教学品位。

三、如何选择论文题目

（一）定好写作题目

有了论文素材之后，就可以考虑构思论文。首先要定好写作的方向，写作中小学数学论文大的方向有教育类、教学类、解题类等。其次是确定论文的题目，有简单明快式，如《“集合”新旧教材对比分析》，这是教育类的论文；有直奔主题式，如《拼图游戏在小学数学计数中的应用研究》，这是教学类的论文；有文采飞扬式，如《忽逢桃花林，曲径通幽处》，这个题目看不出文章的主旨，要确定范围，需要再加一个副标题，可以修改为《忽逢桃花林，曲径通幽处——椭圆中三角形面积的取值范围微探》，这是解题类的论文。最后根据选择的素材再对题目进行修改、定稿。

（二）推敲写作难度

一般来说文章的题目越宽泛文章越难写，大的范围常常也不容易把控，很多论文题目都是采用大标题加小标题的形式缩小写作的范围。例如题目《促进小学生从形象思维向抽象思维过渡的几种方法》[1]，写作范围很小，可以介绍小学生从形象思维向抽象思维过渡的三到四种方法即可；例如题目《溯源——利用点差法深究圆锥曲线中点弦的存在性问题》[2]，分别介绍在椭圆、双曲线、抛物线中处理中点弦问题的一般情况，给出了点差法适用的充要条件，论文小巧，结构紧凑；例如题目《忽逢桃花林，曲径通幽处——椭圆中三角形面积的取值范围微探》，可以由高考真题引出问题三角形，一般解法加上变式探究，还可以将三角形从椭圆中迁移到其他圆锥曲线中。其他学科的论文题目等都可以拿来借鉴，如文章《用论证式教学促成深度学习——以“探究种子萌发的条件”实验教学为例》[3]，大标题范围很大，要写好此文很难，加上小标题后写作范围变窄，写作容易得多。

四、如何展开论文论述

（一）遵循逻辑顺序

写论文就是展开论述问题，要遵循写作论文的逻辑顺序，首先要搭好论文“骨架”，学术论文讲究严谨、务实、求真。论文论述的展开可以有一些“文采飞扬”，但这样的情况很少。如本文实际上是针对教师培训的教学类论文，构思“骨架”时考虑的是：为什么写论文→写些什么→这样选择论文题目→如何论述→润色与发表，考虑文章的属性，本文着力构思论文该“写些什么”，也就是文章素材的收集，怎样积累素材、积累什么内容，很明显如果没有大量“原材料”是不可能写出文章的。写作的逻辑顺序要符合一般的认知规律，写作要水到渠成、一气呵成。

（二）恰好选择素材

有写作素材，有写作意向，拟定了写作方向、题目，接下来要选择素材。选素材一要契合论文的主题，二要理论联系实际，有一定的应用推广价值，这也是论文“引领”的价值体现。中小学数学论文切忌大而空，切忌泛泛而谈。数学图表要清晰可辨、数学计算要准确无误，素材搭配要着力分析、论述同类问题（论文主题），所选素材要连点成线，要逻辑关联，要结构紧凑、有条有理。组织论文的素材时要注意详略得当，不可平均用力，要重点突出论文的主题思想，要思考好的论文成果推广应该具有可借鉴性、操作性、复制性。

五、论文的修改与润色

（一）精工细琢的文字魔力

文章都是改出来的，文字是有魔力的。首先要写好论文的各级标题，从标题的内容到字数的安排等都要精工细琢。可以跨学科鉴赏其他形式的标题书写格式，如曹雪芹《红楼梦》中的章回标题：第一回 甄士隐梦幻识通灵 贾雨村风尘怀闺秀，以后各章回标题均沿用2句每句8个汉字的格式，字数对等、整齐划一，读起来朗朗上口；全书目录很有气势，写出这样的目录显然是下了极大功夫，也足见作者的文学文字功底深厚。题目《循“义”而行 精准立意——写作时明确“概念”的三个步骤》[4]、《深入探讨化繁为简 一题多解浸润素养——以一道高考函数题的多解为例》[5]，这里标题2句都是对称工整的。本文在写作中尝试题目为《源于生活，小处入手》，采用2句话每句4个汉字的格式，且句与句之间用逗号隔开，正文中五个一级标题均采用8个汉字的形式，每个一级标题下的二级标题均采用相同字数的汉字，由于本人能力所限，现在还做不到所有的二级标题均采用相同字数的汉字。其次是对文章内容的修改，除了文法、句法，还主要体现中小学数学论文的价值，实践研究与理论架构相结合，着力凸显数学专业的特色。

（二）契合报刊的编排风格

中小学数学论文一般不会涉及秘密，好的论文应该公开刊发，这是固化教学研究成果的重要方式。首先要根据论文的内容选择一本恰当的杂志。不同的杂志会有不同的风格，有的偏向课堂教学操作，有的偏重解题类教学，有的偏好学习思维指导；有数学综合类杂志，有教育特别策划类报刊；有国家级期刊，有省市级期刊，还有一些所谓的“内刊”。选好意向投稿报刊后，要研究该刊文稿的编排格式，包括作者及参考文献的编排、标号序号的字体字号、正文的字体字号、公式符号的换行方式、标点是全角还是半角、图形图表的处理、文稿长度等，要对文稿做进一步修改与润色，剩下就是投稿了。如果论文有幸发表，那成就感必定满满；万一还被核心期刊选中，就太好了，也许教师职业的新阶段已悄然开启。