基于凸优化的大规模MU-MIMO-OFDM系统峰值平均功率比抑制方法

华 磊,王亚军,刘 爽

(江苏科技大学 海洋学院,镇江 212100)

大规模多用户多输入多输出(multiple-input multiple-output,MIMO)-正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技术由于具有更高的通信速率、更高的频谱利用率、更高的能量有效性以及更高的可靠性等优势[1],已经成为下一代通信系统的关键技术之一.但是由于OFDM技术的使用,使得大规模MIMO-OFDM系统中会出现信号峰均比(peak-to-average power ratio,PAPR)值较高的问题,从而引起信号的带内失真和带外辐射,严重降低了信号的传输质量[2].通常需要在基站发射端安装线性功率放大器来抵抗高PAPR带来的信号失真及带外辐射,线性功率放大器的安装会显著增加系统的硬件开销,同时还使系统的功率效率下降.在5G通信系统中,基站天线都是呈十倍、百倍增加,随着带来的能量消耗及硬件花费等问题也随之严重[3].因此,需使用低复杂度且有效的方法来降低系统的PAPR.

目前,有大量学者对OFDM系统的PAPR抑制进行研究,但这些方法主要用于单输入单输出(singal input singal output,SISO)系统,常用的方法包括:子载波预留[4]、星座扩展[5]、选择性映射[6]、部分序列传输[7]等.以上方法可以扩展到点对点的MIMO-OFDM系统,而对于大规模多用户MIMO-OFDM系统来说相关的研究工作相对较少.文献[8]给出了基于快速递推截断算法(fast iterative truncation algorithm,FITRA)的低PAPR非线性预编码设计,通过利用无穷范数代替PAPR,利用拉格朗日放松来求解问题,其得到信号的PAPR比迫零预编码方法得到的PAPR具有更低的数值.文献[9]将多用户预编码及降低PAPR联合成凸问题,采用最速梯度下降的方法求解,但其方法得到的SER效果较差.文献[10]在预编码后的频域信号中加入一个干扰信号,同时对该干扰信号做出限制,保证其位于每个子载波所对应的信道响应矩阵的零空间中,因此该方法在获得好的PAPR性能同时,不会为整个系统带来额外的信号失真和带外辐射.

文中基于预编码的自由度,将消除多用户间干扰、OFDM调制、降低发射信号PAPR及发射信号的功率约束建立成相应的凸优化模型.改进交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers,ADMM),避免矩阵求逆运算,设计线性交替方向乘子法(linear alternating direction method of multipliers,LADMM)解决以上的凸问题.仿真结果表明,设计的LADMM方法具有较低的计算复杂度和较快的收敛速度,在抑制发射信号的PAPR同时,也具有较低的误符号率.

1 系统模型

1.1 大规模多用户MIMO-OFDM系统模型

大规模多用户MIMO-OFDM系统下行链路模型如图1,假定基站配备有m根发射天线,经频率选择性信道后为K个单天线移动用户服务,其中天线数量远大于用户数量.信号向量sn∈￡K×1表示第n个子载波上传输的包含K个终端用户的数据,n=1,2,…,N,其中N表示OFDM子载波的个数,信号向量sn可从复值星座集Θ中选择.在实际系统,OFDM系统通常在频谱的两端指定某些未使用的子载波,用于保护频带.因此,可以将载波分为χ和χc两个集合.其中集合χ中的子载波用于数据传输,其互补集合χc中的子载波用于频带保护.在n∈χc时设为sn=0K×1,这样就不会在保护频带上传输任何信号.

图1 大规模多用户MIMO-OFDM系统模型

为了去除接收端的多用户间干扰(multi-user interference,MUI),需要在基站处对信号向量进行预编码.信号向量sn,∀n可以线性预编码为:

wn=Pnsn

(1)

式中:wn∈M×1为预编码向量,包含在第n根天线上传输M个用户的信息;Pn∈M×K为第n个载波的预编码矩阵.

文中使用迫零(zero-forced, ZF)预编码方案,旨在完全消除MUI.当天线数目远大于用户数时,有许多预编码矩阵可以实现完美的MUI消去,其中使用最广泛的形式为:

(2)

式中:Hn∈K×M是与第n个OFDM载波相关联的MIMO信道矩阵.假设信道矩阵Hn在基站处是完全已知的,可以通过时分复用系统的信道互易性来获得.

预编码之后将wn,∀n重排列到m根天线上进行OFDM调制,即:

[a1,…,am]=[w1,…,wn]T

(3)

式中:am∈N×1为第m根天线上传输的OFDM频域信号,其对应的时域信号可以通过离散傅里叶逆变换(inverse discrete Fourier tranform,IDFT)得到xm.在无线信道传输之前,为了避免码间干扰,在每个天线的时域采样中加入循环前缀.

为了简化表示,在频域内给出了无线信道的输入输出关系为:

yn=Hnwn+bnn∈χ

(4)

式中:yn∈K×1为第n个子载波上的接收信号,bn∈K×1为接收噪声,其元素服从均值为0,方差为N0的复高斯分布.因传输预编码信号可以完全消除多用户间干扰.此时终端接收到的信号为:

yn=sn+bnn∈χ

(5)

1.2 峰值平均功率比

OFDM信号由多个独立的调制信号叠加而成,能够有效地对抗频率选择性衰落,对于第m根天线上的频域信号am∈N×1,相应的时域连续信号为:

(6)

(7)

在实际系统中,通常只有发射信号ym(t)的一些离散时间样本,为了更好地近似连续时间信号的PAPR,在获得离散时间样本时采用L=4倍过采样,即:

(8)

过采样操作(8)也可以表示为:

ym=FHxmm=1,2,…,M

(9)

式中:FH∈LN×N为LN点傅里叶变换矩阵的前N列,L为过采样因子.因此具有L倍过采样的时域样本的PAPR为:

(10)

2 基于LADMM方法的低PAPR算法设计

2.1 ADMM算法框架

交替方向乘子法算法(ADMM)[11]用于求解以下形式的问题:

(11)

式中:x、t是两个优化变量;h、r:Rn→R是连续可微的凸函数.上式可以看成由式(12)分解得到:

(12)

ADMM算法其实是将只含一个变量的优化问题拆解为两个或多个独立的优化变量,即式(12)变量x被拆解为变量x和t.相应的,目标函数以及约束条件也根据这两个变量分别被分解为独立的两个子目标函数以及约束条件中的不同部分,此时子目标函数与子优化变量就分别对应.

2.2 算法设计

为了消除多用户干扰,数据传输的子载波中频域信号需满足:

sn=Hnwnn∈χ

(13)

为避免带外辐射,自由载波中的频域信号需满足:

0M×1=wnn∈χc

(14)

将上述条件合并为:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中:

(21)

为了更好地兼顾工程实际,对发射信号功率施加上限约束Pmax:

(22)

(23)

(24)

(25)

则优化问题(23)可以表示成ADMM算法的等价形式:

(26)

模型(23)的增广Lagrange函数为:

(27)

产生的迭代包括以下几个步骤:

(28)

2.3 计算步骤

求解子问题给出如下的计算过程:

(29)

算法1 12‶近端算子求解步骤1:输入z2:令b=|z|3:s=sort(b,′descending′),令sπ(i)是s中第i个最大元素4:对i=1,2,…,N,置di=∑ik=1sπ(k)5:令j=max{i:sπ(i)⩾dii+2μγ},β=djj+2μλ6:对i=1,2,…,Nuπ(i)=βzπ(i)zπ(i) i≤jzπ(i)i>jìîíïïïï

(30)

(31)

求解式(31)中逆矩阵(2AHA+ρI)-1需要较大的运算量,因此,提出了一种线性化ADMM (LADMM)方法来避免复杂度较高的逆矩阵求解,将式(30)中的二次项线性化,即:

(32)

(33)

可以得到闭式解为:

(34)

(35)

(36)

根据式(29、34、36)可以得到LADMM算法为:

算法2 求解问题(23)的LADMM算法1:初始化z1,y1,u11,u12,k=1,设置最大迭代次数Kmax2:while k≤Kmax3:使用式(29)更新xk+14:使用式(34)更新zk+15:使用式(36)更新yk+16:使用式(28)更新对偶变量uk+11,uk+127:end while8:输出xk+1

3 仿真分析

3.1 复杂度分析

将LADMM算法与削波方法、PMP方法[8]、MUPP方法[9]及P-ADMM方法[10]从计算复杂度和抑制PAPR效果方面进行对比.各种方法的最大迭代次数如表1.为验证提出方案的有效性,在大规模MIMO-OFDM系统下行链路中进行实验仿真.

表1 不同算法复杂度分析

系统仿真参数如表2,信道为频率选择性信道,在时域具有多抽头结构,且抽头数设为D=8.信道时域响应矩阵{Hd,d=1,2,…,D}的元素服从均值为0,方差为1的复高斯分布,对应的频域响应矩阵为:

表2 系统仿真参数

(37)

仿真结果表明,文中提出的降低大规模多用户MIMO-OFDM系统中发射信号PAPR的LADMM方法迭代40次左右即可获得满意的解,比PMP方法迭代次数减少37.5倍,比P-ADMM方法减少10倍.每次递推复杂度较PMP方法低35.5倍左右,比P-ADMM方法低47.8倍.LADMM方法运算总复杂度分别比PMP方法、MUPP方法和P-ADMM方法低1 300倍、8.3倍和478倍.

3.2 仿真结果分析

LADMM方法的残余误差定义为:

图2将LADMM算法迭代100次可以看到残差值达到10-7,经过28次迭代之后残差值达到10-4,LADMM算法在前40次的迭代中,残差曲线下降非常迅速.

图2 LADMM算法降低PAPR收敛速度

图3分别为信号经过ZF预编码方法、削波方法、PMP算法、LADMM算法、P-ADMM算法及MUPP算法得到的时域信号,从图3中可以看出ZF预编码方法得到的时域信号具有很高的峰值,削波方法、MUPP算法及P-ADMM算法得到的时域信号仅消除了峰值信号,而PMP算法与LADMM算法优化后的信号几乎保持恒定的峰值.

图3 不同算法的时域信号

图4将ZF预编码方法与LADMM方法得到的时域信号进行对比,可以看出所提出的LADMM方法明显的降低了时域信号的幅值,说明LADMM方法算能够有效的抑制大规模MIMO-OFDM信号的PAPR.

图4 ZF预编码方法与ADMM算法时域信号对比

图5将LADMM算法与ZF预编码方法、MF预编码方法、削波方法、PMP算法、P-ADMM方法、MUPP算法对PAPR抑制效果进行对比.在CCDF=Pr(PAPR>C)=10-3时,LADMM算法经过40次迭代可以将PAPR降低到2.3 dB,而ZF预编码方法与MF预编码方法得到的PAPR值为13 dB,MUPP方法经过50次迭代将PAPR值降低到5.2 dB,P-ADMM方法经400次迭代后将PAPR降到5.9 dB,削波方法将PAPR值降到4.9 dB,PMP方法经过1 500次迭代可以将PAPR降到3 dB.设计的LADMM算法与PMP算法、MUPP算法、P-ADMM方法、ZF预编码方法、MF预编码方法相对比,PAPR值分别降低0.7、2.6、2.9、3.6、10.7、10.7 dB.此外,文中方法还考虑发射信号的功率约束这一条件.

图5 不同算法降低PAPR对比

图6比较了不同算法的SER性能,其中信噪比(SNR)定义为SNR=E{‖ym‖}/N0,N0表示接收器的噪声方差.在SER=10-2时,可以看到与ZF预编码方法相比,LADMM算法信噪比损耗为1.5 dB左右,PMP方法信噪比损耗为2.1 dB,P-ADMM方法损耗为3.9 dB,MUPP方法信噪比损耗为7.8 dB.与以上方法相比,LADMM方法损耗最小.

图6 不同算法SER对比

4 结论

(1) 对于大规模多用户MIMO-OFDM系统中存在较高的PAPR值问题,利用5G基站天线阵列带来的多余自由度将多用户预编码、OFDM调制、发射信号峰值功率约束以及PAPR抑制联合成凸优化问题,通过改进传统ADMM方法,设计线性交替方向乘子法(LADMM)来求解该凸优化问题.

(2) 分析算法复杂性,在单次迭代中,可以看出LADMM算法比相关文献中提出的算法计算复杂度低近47.8倍;对于总计算复杂度,LADMM算法比相关算法低近1 300倍.

(3) 仿真结果表明,LADMM方法只需很少的迭代次数就可以降低发送信号的PAPR,获得好的SER性能,具有更低的计算复杂度,同时还满足发射信号的峰值功率约束,更符合工程实际中的应用.