基于剪切效应的加固梁弯曲性能研究*

2023-12-31 04:35李政肖珍赵恒刘意中
特种结构 2023年6期
关键词:弯曲应力材料力学剪应力

李政 肖珍 赵恒 刘意中

常德学院 415000

引言

在实际工程中,许多工程结构的构件由于修建年代已久远,常出现承载能力不足的情况,需要加固来维护结构的安全。为了对古代木建筑进行加固,阿斯哈等[1]研究了对木梁加固的试验;王磊[2]研究了混凝土加固梁抗弯性能;贺学军等[3]研究了自锁碳纤维间接加固混凝土框架中节点的抗震性能;陈超等[4]推导出了预应力CFRP 加固简支梁的弹性力学解析解;周朝阳等[5]分析计算了贴片加固混凝土梁界面粘结剪应力;瞿尔仁等[6]对FRP 加固混凝土梁层间应力的弹塑性进行了分析;欧阳煜等[7]研究了粘贴片加固混凝土梁的粘接剪应力。在以上关于加固梁的研究文献中,文献[1]关注对木梁加固的试验,文献[2 -7]关注对混凝土梁加固的理论研究计算,但是都未讨论剪力对均布载荷作用下加固梁弯曲变形的影响。经典材料力学理论[8,9]研究了加固梁的弯曲应力计算,但忽略了剪切对梁的影响。基于上述因素,本文讨论了剪切对均布载荷作用下加固梁弯曲变形的影响。

1 计算理论

以图1 所示均布载荷作用下加固梁为例,来讨论剪切对加固梁变形的影响。

图1 加固梁Fig.1 Reinforced beam

假设加固梁在纯弯曲状态下,其跨中截面应变满足平截面假定,钢板与原梁始终保持紧密连接,未发生剥离,处于共同受力状态,且钢板与原梁均满足胡克定律。由材料力学可写出加固钢板及原梁纯弯曲的正应力为:

式中:E1、E2分别为钢梁、原梁的弹性模量;ρ为曲率半径;y为梁截面上点至中性轴的距离。由材料力学可得梁的静力方程为:

式中:b为梁截面宽度。

把式(1)代入式(2)中可得拉伸区、压缩区的高度分别为:

式中:h为原梁高度;t为钢板厚度。

利用材料力学可知梁的弯矩平衡方程为:

式中:M(x)为梁截面弯矩。

把式(1)代入式(4)中可得:

利用式(1)、式(5)可得不考虑剪切影响弯曲应力为:

假设加固钢板较薄,可认为梁截面剪力全部由原梁承担。由材料力学可知图1 所示受压区(-h2≤y≤0)的剪应力为:

式中:Q为梁截面剪力;下脚2c 代表原梁的压缩区。

为推导原梁拉伸区(0≤y≤h1)的剪应力,以图2所示加固梁微段为例,梁截面左边轴向拉力为:

图2 加固梁微段Fig.2 Micro-section of reinforced beam

同理,图2所示加固梁微段右边轴向拉力为:

由于图2 所示加固梁微段静力平衡方程为:

把式(8)、式(9)代入式(10)中可得原梁拉伸区的剪应力:

下面讨论剪切对均布载荷作用下加固梁的弯曲应力及挠度的影响。

由弹性理论可知剪应力、剪应变、横向位移、轴向位移关系为:

式中:i=1 代表钢板,i=2t代表原梁拉伸区,i=2c代表原梁压缩区;G2为原梁剪切弹性模量;ui为轴向位移;w为横向位移。

把式(12)对y积一次分可得:

式中:Ci为待定常数。

加固梁的轴向位移连续条件为:

由于钢板的剪应力τ1=0,因此把τ1=0、式(7)、式(11)代入式(13)中且利用式(14),可得加固梁的钢板位移、原梁拉伸区位移、原梁压缩区位移为:

考虑剪切影响时,可知加固梁的弯矩平衡方程为:

把式(16)代入式(17)中,可得加固梁弯曲微分方程为:

把式(18)代入式(16)中可得考虑剪切影响时,加固梁的弯曲应力公式为:

把式(19)对x积分可得考虑剪切影响时,加固梁的挠曲线表达式为:

式中:B1、B2为待定常数。

以图1 所示简支加固梁为例,利用式(19)、式(20)可得梁中点的最大弯曲应力及中点挠度分别为:

为了检验本文方法的计算精度,令E1=0、t=0、E2=E、G2=G,且利用可把式(21)、式(22)化为:

式(23)、式(24)与文献[10]给出的结果是一样的,而文献[10]已利用弹性理论证明了式(23)、式(24)的计算精度是比较高的。

2 算例讨论

为了讨论剪切对均布载荷作用下加固梁弯曲变形的影响,下面以图1 所示加固梁为例。加固梁的计算参数为:E1=200GPa,E2=10GPa,G2=0.5GPa,b=0.15m,h=0.2m,t=0.012m,[σ1]=110MPa,[σ2]=8MPa。

把加固梁计算参数代入式(21)、式(22)中可得:

把式(25)、式(26)计算的结果列在表1、表3 中,以便讨论分析。由式(25)、式(26)可知等号右边第一项皆为材料力学解,在表1、表3括号内的数据皆为材料力学解。计算方法所得到的应力及挠度与材料力学解的误差分别列于表2、表3 中。

表1 梁中点应力(单位:N/m2)Tab.1 Mid-point stress of beams(unit:N/m2)

表2 梁中点应力误差(单位:%)Tab.2 Mid-point stress error of beams(unit:%)

表3 梁中点的挠度(单位:m)Tab.3 Mid-point deflection of beams(unit:m)

对表1~表3 进行分析可知:在相同均布载荷作用下,随着长高比的增大,梁中点的正应力、挠度也逐渐增大。本文方法考虑剪切影响时计算出钢板的拉应力、原梁的压应力均大于材料力学解,即使长高比n=10 时(σ2t)max、(σ2c)max与材料力学解的误差也超过了5%;本文方法考虑剪切变形影响时计算出梁中点挠度大于材料力学解,即使长高比n=10 时与材料力学解的误差也有40%以上。由以上分析可知,在均布载荷作用下剪切对梁挠度、正应力都有较大的影响,其中剪切对梁挠度的影响更大些。以上分析说明材料力学解存在偏于不安全的问题,还应考虑剪切的影响。

3 结论

1.相同均布载荷作用下,随着长高比的增大,梁中点的正应力、挠度也逐渐增大。本文方法考虑剪切影响时计算出钢板的拉应力、原梁的压应力均大于材料力学解。

2.在均布载荷作用下剪切对梁挠度、正应力都有较大的影响,其中剪切对梁挠度的影响更大些。以上分析说明材料力学解存在偏于不安全的问题,建议还应考虑剪切的影响。

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